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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-13T21:58:52Z

Massimiliano De Marchis: /* Variación de temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-\frac{\sqrt 5}{5}</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{\sqrt 5}{10}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-\frac{\sqrt 5}{5}</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se desplaza, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}\left|\begin{matrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{matrix}\right|=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{matrix}\right|=\frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:Rotacionalcorregido.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas a la deformación de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-12T22:46:17Z

Massimiliano De Marchis: /* Variación de temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-\frac{\sqrt 5}{5}</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= -\frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{\sqrt 5}{10}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-\frac{\sqrt 5}{5}</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}\left|\begin{matrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{matrix}\right|=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{matrix}\right|=\frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:Rotacionalcorregido.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-12T21:27:04Z

Massimiliano De Marchis: /* Rotacional del campo desplazamientos */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}\left|\begin{matrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{matrix}\right|=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{matrix}\right|=\frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:Rotacionalcorregido.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-12T21:16:24Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización del módulo del rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:Rotacionalcorregido.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:Rotacionalcorregido.jpg

2018-12-12T21:14:57Z

Massimiliano De Marchis:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-12T21:14:24Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización del módulo del rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-12T21:06:28Z

Massimiliano De Marchis: /* Cálculo del rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-12T20:22:15Z

Massimiliano De Marchis: /* Cálculo del gradiente */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T15:07:50Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T15:07:01Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:Maxi14.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas de nivel');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:Maxi14.jpg

2018-12-11T15:06:51Z

Massimiliano De Marchis:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:58:24Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|1000px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:56:10Z

Massimiliano De Marchis: /* Campo desplazamientos */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa y campo de desplazamientos')
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:55:01Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización e interpretación del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:Maxi13.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = ((((-cos(V)).^3)+2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))+((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))+((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = -((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))-(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))-((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
title('Placa y campo de fuerzas')
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:Maxi13.jpg

2018-12-11T14:54:45Z

Massimiliano De Marchis:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:46:17Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización e interpretación del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{-cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}+\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [-\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}-\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:43:16Z

Massimiliano De Marchis: /* Cálculo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}+\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[-\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}-\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}-\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:22:42Z

Massimiliano De Marchis: /* Cálculo de la masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = 1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4);
Mn = U;
I = Mn.*d;
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*I*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:15:22Z

Massimiliano De Marchis: /* Campo desplazamientos */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:14:38Z

Massimiliano De Marchis: /* Campo desplazamientos */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:Maxi11.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:Maxi11.jpg

2018-12-11T14:12:56Z

Massimiliano De Marchis:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-11T14:04:48Z

Massimiliano De Marchis: /* Placa antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi10.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa no desplazada');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:Maxi10.jpg

2018-12-11T14:03:33Z

Massimiliano De Marchis:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-10T22:13:43Z

Massimiliano De Marchis: /* Placa antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi7.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi8.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi9.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-10T22:06:03Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1 </math>°C , en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi4.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi5.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi6.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis equal;
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis equal;
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis equal;
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:Maxi9.jpg

2018-12-10T22:03:33Z

Massimiliano De Marchis:

Archivo:Maxi8.jpg

2018-12-10T22:03:17Z

Massimiliano De Marchis:

Archivo:Maxi7.jpg

2018-12-10T22:02:53Z

Massimiliano De Marchis:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-10T21:44:55Z

Massimiliano De Marchis: /* Placa antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]]
 
En la imagen de la izquierda, podemos ver como la temperatura es nula en la parte inferior de la placa y va aumentando a medida que subimos por esta, hasta alcanzar su máximo, con una temperatura de <math> 1°C </math>, en la parte superior de la placa.
 
La imagen de la derecha muestra las curvas de nivel, en las cuales la temperatura es constante.
 
{{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];

h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 

 

===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
 
[[File:fi3cA.jpg|800px|center|]]
 
El gradiente nos indica la dirección en la que la temperatura varía más rapidamente.
 
Una de sus propiedades es que es ortogonal a las curvas de nivel (como podemos ver en la imagen inferior).
 
 
En nuestro caso, podemos observar que donde hay más variación de temperatura es en la zona central de la placa, donde el gradiente será mayor; mientras que es menor en la zona inferior y superior de la placa, donde la variación es mínima, o nula, coincidiendo entonces con la temperatura máxima y mínima.
 
 
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis equal;
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
En la siguiente imagen vemos el desplazamiento que sufrirá la placa.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 
[[File:Maxi4.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi5.jpg|600px|center|]]
[[File:Maxi6.jpg|600px|center|]]
 
Comparando la imagen del ejercicio anterior, podemos comprobar que la zona central de la placa es la que más se deforma, por el contrario, en la parte inferior de la placa el desplazamiento es mínimo.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis equal;
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis equal;
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis equal;
axis([-4 4 -1 4]);
view(2)
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===

 
La imagen siguiente muestra el valor absoluto del rotacional.
 
El rotacional nos permite ver la tendencia que tiene un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
 
[[File:fi8aA.jpg|center|]] 
En nuestro ejercicio, la placa tendrá mayor rotacional en la parte superior izquierda y derecha; mientras que la zona superior e inferior no tendrá practicamente rotacional.
 
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = abs(3*((sin(V)).*(cos(V)))./U);

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Valor absoluto del módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
La primera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>.
 
La segunda imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>.
 
La tercera imagen muestra las tensiones que marca el vector <math>\vec g_z</math>, esta última es perpendicular al plano de la placa.
 
Las tres tensiones son debidas al desplazamiento de la placa.
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Mises representa la máxima tensión que puede soportar la placa antes de iniciar un comportamiento plástico.
 
En el ejercicio esta tensión máxima tiene un valor de 70, y se alcanza en la zona central inferior de la placa, concretamente en <math>x=0.5</math> y <math>x=-0.5</math>.
 
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial x^j} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial x^j} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial x^j} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
La imagen representa el campo de fuerzas que provoca el desplazamiento de la placa, que a su vez causa la deformación de esta.
 
Podemos ver en la siguiente imagen, que la fuerza es mayor en la zona central izquierda y derecha de la placa, coincidiendo con la zona donde hay mayor rotacional, y por tanto mayor deformación.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})dudv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}u(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})dudv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:Maxi6.jpg

2018-12-10T21:38:51Z

Massimiliano De Marchis:

Archivo:Maxi5.jpg

2018-12-10T21:36:22Z

Massimiliano De Marchis:

Archivo:Maxi4.jpg

2018-12-10T21:36:06Z

Massimiliano De Marchis:

Archivo:Maxi3.jpg

2018-12-10T21:25:22Z

Massimiliano De Marchis:

Archivo:Maxi2.jpg

2018-12-10T21:25:01Z

Massimiliano De Marchis:

Archivo:Maxi1.jpg

2018-12-10T21:24:34Z

Massimiliano De Marchis:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T22:55:51Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización e interpretación del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7ccA.jpg|center|]]
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8ccA.jpg|900px|center|]]
 
[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
Para visualizar el campo de fuerzas <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ = </math>
::: <math> =[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}][cosθ \vec i + senθ \vec j]+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}][-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]=</math>
::: <math>=[\frac{cos^3θ-2cosθsen^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^3θ+2cosθsen^2θ}{ρ^3}-\frac{4cosθsen^2θ}{ρ^4}]\vec i + </math>
::: <math> + [\frac{3cos^2θsenθ}{ρ^2}-\frac{2cos^2θsenθ+sen^3θ}{ρ^3}+\frac{4cos^2θsenθ}{ρ^4}] \vec j </math>.
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T22:38:39Z

Massimiliano De Marchis: /* Cálculo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7ccA.jpg|center|]]
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8ccA.jpg|900px|center|]]
 
[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T15:31:30Z

Massimiliano De Marchis: /* Campo desplazamientos */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T15:30:53Z

Massimiliano De Marchis: /* Visualización del gradiente */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en MatLab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en Matlab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T15:29:39Z

Massimiliano De Marchis: /* Campo desplazamientos */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en Matlab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
Para visualizar el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> en Matlab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_ρ </math> y de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ\vec g_ρ- \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ = -sen^2θ[cosθ \vec i + senθ \vec j]- \frac{cosθsenθ}{ρ}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j] = [-sen^3θ-cos^2θsenθ]\vec j </math>.
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 

==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T15:21:44Z

Massimiliano De Marchis: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en Matlab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T15:18:28Z

Massimiliano De Marchis:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura en Matlab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T15:13:05Z

Massimiliano De Marchis: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
Para visualizar el gradiente de la temperatura en Matlab hemos sustituido el valor de <math> \vec g_θ </math> :
:::<math>\nabla T(ρ,θ) = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ = \frac{2cosθsenθ}{ρ^2}[-ρsenθ \vec i + ρcosθ \vec j]= -\frac{2cosθsen^2θ}{ρ} \vec i + \frac{2cos^2θsenθ}{ρ} \vec j </math>.
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T14:52:31Z

Massimiliano De Marchis: /* Cálculo de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar <math>T(ρ,θ)=|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::<math>T(ρ,θ)=sen^2θ</math>.
 

===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T12:55:23Z

Massimiliano De Marchis: /* Cálculo del tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar \(T(ρ,θ)\)=<math>|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::\(T(ρ,θ)\)<math>=sen^2θ</math>.
 
===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ(\nabla · \vec u(ρ,θ))I+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}I-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T11:56:23Z

Massimiliano De Marchis:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar \(T(ρ,θ)\)=<math>|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::\(T(ρ,θ)\)<math>=sen^2θ</math>.
 
===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ\nabla · \vec u(ρ,θ)1+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}1-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T11:54:46Z

Massimiliano De Marchis:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de
 posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar \(T(ρ,θ)\)=<math>|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::\(T(ρ,θ)\)<math>=sen^2θ</math>.
 
===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ\nabla · \vec u(ρ,θ)1+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}1-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T11:51:52Z

Massimiliano De Marchis:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, el vector de posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dado por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar \(T(ρ,θ)\)=<math>|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::\(T(ρ,θ)\)<math>=sen^2θ</math>.
 
===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ\nabla · \vec u(ρ,θ)1+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}1-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T11:50:52Z

Massimiliano De Marchis:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, entonces el vector de posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dad0 por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar \(T(ρ,θ)\)=<math>|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::\(T(ρ,θ)\)<math>=sen^2θ</math>.
 
===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ\nabla · \vec u(ρ,θ)1+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}1-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 3C)

2018-12-09T11:49:24Z

Massimiliano De Marchis:

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 3-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | Massimiliano De Marchis Ana Daniela Mayer Erminy Mauro Alonso García Miguel Moreno Martín }}

Sea una placa plana, en dos dimensiones, que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios <math>2</math> y <math>3</math>, es decir <math>4≤x^2+y^2≤9</math>, y en el plano <math>y≥0</math>, que en coordenadas cilíndricas equivale a la región <math>(ρ,θ)∈[2,3]×[0,π]</math>.
 
En ella se tienen definidas dos cantidades físicas que dependen de las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>:
:*La temperatura \(T(ρ,θ)\).
:*El campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math> producido por la acción de una fuerza determinada.
 
De esta forma si <math>\vec r_{0}(ρ,θ) </math> es el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto \((ρ,θ)\) de la placa después de la deformación vendrá dada por:
:<math>\vec r(ρ,θ) = \vec r_{0}(ρ,θ) + \vec u(ρ,θ) </math>.
 
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el campo de desplazamientos:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -senθ \vec j </math>.
 
Dicho campo pasado a la base natural cilíndrica es igual a:
:<math>\vec u(ρ,θ) = -sen^2θ \vec g_ρ - \frac{cosθsenθ}{ρ} \vec g_θ </math>.
 

==Mallado de la placa==
 
Para la representación del mallado de la placa hemos parametrizado la superficie en coordenadas cilíndricas, posteriormente hemos introducido los datos en MatLab. 
Se ha elegido un paso de muestreo similar a otros trabajos equivalente a <math> 0.1</math>, para las variables <math>ρ</math> y <math>θ</math>, a las que nosotros hemos llamado <math>u</math> y <math>v</math> respectivamente en el programa, además hemos dibujado los ejes en el rectángulo <math> [-4,4]×[-1,4] </math>.
 

[[File:fi1A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa');
}}
 

==Temperatura de la placa==
 
===Cálculo de la temperatura===
 

La temperatura de la placa viene dada por el campo escalar \(T(ρ,θ)\)=<math>|\vec u(ρ,θ) |^2</math> en grados centígrados.
Dicho campos escalar es igual a:
:::\(T(ρ,θ)\)<math>=sen^2θ</math>.
 
===Visualización de la temperatura===
 

[[File:fi1cA.jpg|800px|center|]] {{matlab|codigo=u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

subplot(1,2,1);
mesh(x,y,t);
view(2);
colorbar;
title('Temperatura');

subplot(1,2,2);
contour(x,y,t);
title('Curvas');
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Gradiente de la temperatura==
 
===Cálculo del gradiente===
 

El gradiente de la temperatura \(T(ρ,θ)\) viene dado por el campo vectorial:
:::<math>\nabla T(ρ,θ) =\frac{1}{|\vec g_i|^2}\frac{\partial T_i(ρ,θ)}{\partial x^i} \vec g_i=\frac{1}{|\vec g_ρ|^2}\frac{\partial T_ρ(ρ,θ)}{\partial ρ} \vec g_ρ +\frac{1}{|\vec g_θ|^2} \frac{\partial T_θ(ρ,θ)}{\partial θ} \vec g_θ + \frac{1}{|\vec g_z|^2}\frac{\partial T_z(ρ,θ)}{\partial z} \vec g_z= \frac{2cosθsenθ}{ρ^2} \vec g_θ</math>.

 
Como se puede observar en el dibujo el gradiente <math>\nabla T(ρ,θ)</math> es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura \(T(ρ,θ)\), y por lo tanto también es ortogonal a la superficie de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en todos sus puntos.
 
===Visualización del gradiente===
 
[[File:fi3A.jpg|700px|center|]]
[[File:ANA.jpg|500px|thumb|Podemos observar que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura.]]
{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
t = (sin(V)).^2;

contour(x,y,t);
hold on

z = U.*0;
a = -(2*((sin(V).^2).*cos(V)))./U;
b = (2*((cos(V).^2).*sin(V)))./U;
w = a.*0;

quiver3(x,y,z,a,b,w);
axis([-4 4 -1 4]);
}}
 

==Variación de temperatura==
 
Si partiendo del punto de coordenadas <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> nos movemos en la dirección <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> con una velocidad de 2 metros por segundo la variación de temperatura en grados centígrados por segundo es: <math>-1</math> °C/s.
Para obtener dicho resultado se ha hecho lo siguiente:

1. Se calcula el vector unitario que une el punto <math>P_1(x,y)</math> con el punto <math>P_2(x,y)</math>:
<math>\vec e(x,y)= \frac{1}{\sqrt 5} (\vec i -2 \vec j) </math>.
Dicho vector en la base natural cilíndrica es: <math>\vec e(ρ,θ)= \frac{1}{\sqrt 5} [(cosθ-2senθ) \vec g_ρ +(-\frac{senθ}{ρ}-\frac{2cosθ}{ρ}) \vec g_θ] </math>.

2. Se pasan los puntos <math>P_1(x,y)=(0,1)</math> y <math>P_2(x,y)=(1,-1)</math> a coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones de paso
de coordenadas cartesianas

a coordenadas cilíndricas: <math>\ ρ=\sqrt {x^2+y^2}</math>, <math>\ θ=arctg(\frac{y}{x})</math>, <math>\ z=z</math>.

De manera que los puntos en coordenadas cilíndricas serán:
<math>P_1(ρ,θ)=(1,\frac{π}{2})</math>, <math>P_2(ρ,θ)=(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>.

3. Se calcula la derivada direccional de la temperatura \(T(ρ,θ)\) en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> y en la dirección del vector unitario <math>\vec e(ρ,θ)</math>:

<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})=-\frac{1}{2}</math> °C/m.

Multiplicando dicha derivada direccional por la velocidad, se obtiene la variación de temperatura en grados centígrados por segundo:
<math>\nabla T(ρ,θ)·\vec e(ρ,θ)(\sqrt 2,\frac{3π}{4})</math>°C/m·<math>2 </math> m/s <math> =-1</math> °C/s.

 

Como la variación de temperatura en el punto <math>P_2(ρ,θ)</math> es menor que cero, si nos movemos hacia dicho punto la placa experimentará una bajada de temperatura.
 

==Campo desplazamientos==
 
[[File:fi5A.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');

b = -((sin(V)).^3+(sin(V)).*(cos(V)).^2);
a = b.*0;
c = b.*0;

hold on
quiver3(x,y,z,a,b,c);
view([0,90]);
}}
 
==Placa antes y después del desplazamiento==
 

[[File:fi6A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

subplot(1,3,1);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa sin desplazar');

b =-((sin(V).^3)+(sin(V)).*(cos(V).^2));

yd = y+b;

subplot(1,3,2);
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Placa desplazada');

subplot(1,3,3);
i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
title('Movimiento de la placa');
hold on
j = mesh(x,yd,z);
set(j,'EdgeColor','c');
}}
 

==Divergencia del campo desplazamientos==
 
===Cálculo de la divergencia===
 
La divergencia del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dada por el campo escalar:
 
:::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{\sqrt g} \frac{\partial}{\partial x^i}({\sqrt g}{u_i})=\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({ρ}{u_ρ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({ρ}{u_θ})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial z}({ρ}{u_z})=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 

===Visualización de la divergencia===
 

[[File:fi7cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = -((cos(V)).^2)./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Divergencia');
}}
 

==Rotacional del campo desplazamientos==
 
===Cálculo del rotacional===
 
El rotacional del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)</math> viene dado por el campo vectorial:

:::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\sqrt g}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ \vec u · \vec g_1 & \vec u · \vec g_2 & \vec u · \vec g_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{ρ}</math>det<math>\begin{pmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u · \vec g_ρ & \vec u · \vec g_θ & \vec u · \vec g_z \end{pmatrix}=\frac{3cosθsenθ}{ρ} \vec g_z </math>.

 
Por lo tanto su módulo será igual a:

:::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθsenθ}{ρ}</math>.
 

===Visualización del módulo del rotacional===
 

[[File:fi8cA.jpg|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = 3*((sin(V)).*(cos(V)))./U;

mesh(x,y,z);
view(2);
colorbar;
title('Módulo del rotacional');
}}
 

==Tensiones normales==
 
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>e(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>e(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}=-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t =-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Por lo tanto el tensor de deformaciones será igual a:
:* <math>e(\vec u(ρ,θ))=-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{2ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo del tensor de tensiones===
 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> a través de la fórmula:
::: <math>\sigma(ρ,θ) = λ\nabla · \vec u(ρ,θ)1+2μe(\vec u(ρ,θ)) </math>.
 
Donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
Concretamente:
::: <math> λ=\frac{Eν}{(1+ν)(1-2ν)}, 2μ=\frac{E}{(1+ν)} </math>,
siendo <math>E</math> el módulo de Young y <math>ν</math> el parámetro de Poisson.
 
A pesar de que los desplazamientos son planos, es decir <math>\vec u(ρ,θ)</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec g_z</math>, las tensiones no tienen porque ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa.
 
Una vez calculado el tensor de deformaciones, la divergencia del campo <math>\vec u(ρ,θ)</math>, y tomando <math>λ=μ=1</math>, se calcula el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\vec g_θ,\vec g_z</math>}:
::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}1-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 
Dicho tensor en la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es igual a:

::: <math>\sigma(ρ,θ) =-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\vec g_ρ\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}-\frac{cosθsenθ}{ρ^2}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}\frac{\vec g_θ}{ρ}\otimes\frac{\vec g_θ}{ρ}=</math>
:::<math>=-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_ρ\otimes\vec g_ρ-\frac{cos^2θ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_θ-\frac{cos^2θ}{ρ}\vec g_z\otimes\vec g_z-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_ρ\otimes\vec g_θ-\frac{cosθsenθ}{ρ^3}\vec g_θ\otimes\vec g_ρ-\frac{2cos^2θ}{ρ^5}\vec g_θ\otimes\vec g_θ</math>.
 

===Cálculo de las tensiones normales===
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_ρ </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_ρ\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_ρ=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\frac{\vec g_θ}{ρ} </math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\frac{\vec g_θ}{ρ}\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\frac{\vec g_θ}{ρ}=-\frac{cos^2θ}{ρ}-\frac{2cos^2θ}{ρ^3}</math>.
 
====Tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z </math>====
 
Las tensiones normales en la dirección que marca el vector <math>\vec g_z</math> se obtienen a partir de la expresión:
:<math>\vec g_z\cdot\sigma(ρ,θ)\cdot\vec g_z=-\frac{cos^2θ}{ρ}</math>.

Para el cálculo de las tensiones normales hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 
===Visualización de las tensiones normales===
 
[[File:fi9ccA.jpg|1000px|center|]]{{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

z1 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,1);
mesh(x,y,z1);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector grho');

z2 = -((1./U).*(cos(V).^2))-((2./(U.^3)).*(cos(V).^2));
subplot(1,3,2);
mesh(x,y,z2);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gtheta/rho');

z3 = -((cos(V)).^2)./U;
subplot(1,3,3);
mesh(x,y,z3);
view(2);
axis([-4 4 -1 4]);
colorbar;
title('Dir.en el vector gz');
}}

==Tensión de Von Mises==
 
===Cálculo de la tensión de Von Mises===
 
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
:::<math>\ σ_{VM}= \sqrt {\frac{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>,
donde <math>\ σ_1,σ_2,σ_3, </math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ(ρ,θ)</math>, cuya matriz de componentes respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>} es:
:<math>\sigma_{ij}(ρ,θ)=\begin{pmatrix} -\frac{cos^2θ}{ρ} & -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & 0 \\ -\frac{cosθsenθ}{ρ^3} & -\frac{cos^2θ}{ρ^3}-\frac{2cos^2θ}{ρ^5} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{cos^2θ}{ρ} \end{pmatrix}</math>.
 
Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.
 

===Visualización de la tensión de Von Mises===
 

[[File:fi10A.jpg|900px|center|]]{{matlab|codigo=
u = 0.5:0.1:2;
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

Fx11 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a);
Fx12 = @(a,b) -((sin(2*b))/(2*a^3));
Fx22 = @(a,b) -((cos(b)^2)/a^3)-((2*cos(b)^2)/a^5);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);

sig = [];
vm = zeros(length(v), length(u));

for i = 1:length(v)
for j = 1:length(u)
sig(1,1) = Fx11(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3) = 0;
sig(2,1) = Fx12(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2) = Fx22(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3) = 0;
sig(3,1) = 0;
sig(3,2) = 0;
sig(3,3) = Fx11(U(i,j),V(i,j));

[w,d] = eig(sig);

vm(i,j) = sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);

end
end

subplot(1,2,1);
surf(x,y,vm);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,2,2)
hold on

m = vm(1:size(vm,1), 1);
e = x(1:length(x),1);

plot(e, m, 'b');

maxvm = max(m);

for k = 1:length(m)
if m(k) == maxvm
plot(e(k),maxvm,'xr','markersize',10)
end
end

xlabel('Eje x')
ylabel('Eje z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxvm)

}}
 
El máximo valor de la tensión de Von Mises es 70.
 

==Campo de fuerzas==
 
===Cálculo del campo de fuerzas===
 
El campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ)</math> que actúa sobre la placa y que provoca el desplazamiento de la misma se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:
:<math>\vec F(ρ,θ)=-\nabla\cdot\sigma(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x^j}\vec g_i</math>.
 
Lo calculamos
:*<math>\vec F_ρ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jρ}}{\partial ρ} \vec g_ρ = -[\frac{\partial \sigma_{ρρ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θρ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zρ}}{\partial z}]\vec g_ρ = [-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ </math>.
:*<math>\vec F_θ(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jθ}}{\partial θ} \vec g_θ = -[\frac{\partial \sigma_{ρθ}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θθ}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial z}]\vec g_θ = [\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
:*<math>\vec F_z(ρ,θ)=-\frac{\partial \sigma_{jz}}{\partial z} \vec g_z = -[\frac{\partial \sigma_{ρz}}{\partial ρ} + \frac{\partial \sigma_{θz}}{\partial θ} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}]\vec g_z = 0\vec g_z </math>.
 
Por lo tanto el campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> es:

:<math>\vec F(ρ,θ)=[-\frac{cos^2θ}{ρ^2}-\frac{cos^2θ-sen^2θ}{ρ^3}]\vec g_ρ+[\frac{3cosθsenθ}{ρ^4}+\frac{2cosθsenθ}{ρ^3}+\frac{4cosθsenθ}{ρ^5}]\vec g_θ </math>.
 
Para el cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F(ρ,θ) </math> hemos utilizado el tensor de tensiones <math>\sigma(ρ,θ)</math> respecto de la base {<math>\vec g_ρ,\frac{\vec g_θ}{ρ},\vec g_z</math>}.
 

===Visualización e interpretación del campo de fuerzas===
 
[[File:fi11A.jpg|700px|center|]] {{matlab|codigo=
u = [2:0.1:3];
h = round(pi/0.1);
v = linspace(0,pi,h);

[U,V]=meshgrid(u,v);

x = U.*cos(V);
y = U.*sin(V);
z = U.*0;

a = (((cos(V).^3)-2*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^2))-((2*cos(V).*(sin(V).^2)+cos(V).^3)./(U.^3))-((4*cos(V).*sin(V).^2)./(U.^4));
b = ((3*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^2))+(((sin(V).^3)+2*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^3))+((4*sin(V).*cos(V).^2)./(U.^4));
w = a.*0;

i = mesh(x,y,z);
set(i,'EdgeColor','g');
axis([-4 4 -1 4]);
hold on
quiver3(x,y,z,a,b,w);
}}
 

==Cálculo de la masa total de la placa==
 
Si la placa tiene como densidad <math>d(x,y)=1+e^{-\frac{|x|^2}{(y+1)^{4}}}</math>, para calcular la masa de dicha placa se procede de la siguiente manera:
 
1.Se parametriza la superficie en coordenadas cartesianas:
<math>\ x(u,v)=ucosv</math>,
<math>\ y(u,v)=usenv</math>,
<math>\ z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.

2. Se calculan las coordenadas cilíndricas de la placa:
<math>\ ρ(u,v)= \sqrt {(x(u,v))^2+(y(u,v))^2}=u </math>,
<math>\ θ(u,v)=arctg(\frac{y(u,v)}{x(u,v)})=v</math>,
<math>\ z(u,v)=z(u,v)=0</math>,
<math>\ u∈[2,3] </math> y <math>\ v∈[0,π]</math>.
De manera que la parametrización de la placa en coordenadas cilíndricas será igual a: <math>\vec r(u,v)=u\vec g_ρ+v\vec g_θ\ </math>.

3. Se calculan los vectores tangentes a la placa:
<math>\vec r_u(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial u}=\vec g_ρ</math>,
<math>\vec r_v(u,v)=\frac{\partial \vec r(u,v)}{\partial v}=\vec g_θ</math>.

4. Se calcula el vector normal a la placa:
<math>\vec n(u,v)=\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)=ρ(u,v)\vec g_z=u\vec g_z</math>,
cuyo módulo es: <math>|\vec n(u,v)|=|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|=u</math>.
 
La masa de la placa vendrá dada por la integral:<math>\int_{S} ddS=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec n(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}d(u,v)|\vec r_u(u,v)×\vec r_v(u,v)|dudv=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|x_1(u,v)|^2}{(x_2(u,v)+1)^{4}}})ududv=</math>
<math>=\int_{0}^{π}\int_{2}^{3}(1+e^{-\frac{|ucosv|^2}{(usenv+1)^{4}}})ududv=8,9678</math>.
 
Como en este caso, la primitiva es difícil de calcular, se ha utilizado, como método numérico, la fórmula del trapecio para aproximar la integral.
{{matlab|codigo=
n1 = 200;
n2 = 100;
a = 0;
b = pi;
c = 2;
d = 3;
h1 = (b-a)/n1;
h2 = (d-c)/n2;
u = a:h1:b;
v = c:h2:d;
[U,V] = meshgrid(u,v);
d = U.*(1+exp(-(abs((U.*cos(V)).^2))./(1+U.*sin(V)).^4));
w1 = ones(n1+1,1);
w1(1) = 1/2;
w1(n1+1) = 1/2;
w2 = ones(n2+1,1);
w2(1) = 1/2;
w2(n2+1) = 1/2;
m = h1*h2*w2'*d*w1
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]