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Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid

2016-12-09T20:18:48Z

Marta.ruizm:

{{ TrabajoSIG | Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid | Ignacio Herranz Rodas, Marta Ruiz Martinez, Daniel Pacheco Sanchez, Álvaro Roales Blanco | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 16/17]] }}

== Introducción ==
[[Archivo:SIG Herranz 1.png|sinmarco|izquierda]]
Nuestro estudio se centra en un análisis de los municipios de la zona de Madrid Oeste. Esta región de la Comunidad tiene un área de 1314,75km2 y una población de 603.521 habitantes (INE 2015), posee el 16.5% del área y el 9.35% del total de la población. La renta per cápita de la zona oeste es 17396.5€ brutos, un 0.27% por encima de la Comunidad. Lo componen 30 municipios que son: ''Alpedrete, Becerril de la Sierra, Boadilla del Monte, El Boalo, Cercedilla, Colmenarejo, Collado Mediano Collado Villalba, El Escorial, Fresnedillas de la Oliva, Galapagar, Guadarrama, Hoyo de Manzanares, Majadahonda, Los Molinos, Moralzarzal, Navacerrada, Navalagamella, Pozuelo de Alarcón, Quijorna, Robledo de Chavela, Las Rozas de Madrid, San Lorenzo de El Escorial, Santa María de la Alameda, Torrelodones, Valdemaqueda, Valdemorillo, Villanueva de la Cañada, Villanueva del Pardillo y Zarzalejo.''

Una vez descrita la zona, nos planteamos la siguiente pregunta: '''¿Qué municipio de tiene las mejores características para vivir?'''

Cada persona tiene una serie de gustos y necesidades personales muy distintas por lo que el trabajo no puede dar una respuesta personal para cada uno.

Evidentemente realizar una encuesta preguntando cuál es el mejor municipio no nos serviría, porque entra la subjetividad de las personas. Para resolver esta pregunta de una forma objetiva utilizaremos una serie de indicadores que nos ayudaran a decidir mejor qué municipio escoger. Debido a que podríamos seleccionar una gran cantidad de indicadores, hemos decidido reducirlos a los que creemos que responden mejor a las siguientes preguntas:
*¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Tiene una cobertura sanitaria óptima? Actualmente los servicios sanitarios de la Comunidad de Madrid son indiscutiblemente uno de los mejores del mundo, siempre es bueno saber si dentro del municipio recibirás una cobertura sanitaria adecuada.
*¿Edad de la población? los ayuntamientos tratan de fomentar actividades en el pueblo destinadas a las necesidades de la población, un pueblo con mayor porcentaje de gente joven destinará más recursos para este sector de la población.
*¿Densidad de población? ¿Es un municipio muy poblado o es más bien tranquilo? Este indicador representa por un lado la capacidad económica del municipio, pues cuantos más habitantes tenga, mayor será su oferta de servicios y por el otro muestra la cantidad de gente que tendrá copando los servicios que ofrezca
*¿Qué capacidad tiene el municipio de crecer? Es importante saber si el municipio puede crecer más en superficie, para saber la disponibilidad de nuevas viviendas e instalaciones públicas. A esta pregunta trataremos de responderla con un análisis de la superficie ocupada del municipio.

== Metodología ==
Los datos empleados en éste trabajo se pueden dividir en grupos:

En primer lugar tenemos los distintos mapas temáticos obtenidos para la '''localización y contabilización de edificios destinados a necesidades básicas para la calidad de vida en los municipios'''. De estos datos utilizamos las capas de ayuntamientos ''(Anejo 1)'', centros educativos tanto públicos como privados ''(Anejo 2)'', y por último hospitales, centros de salud y consultorios médicos ''(Anejo 3)''. Han sido obtenidos de la página "Nomecalles".

[[Archivo:1_Ayuntamientos.png|miniaturadeimagen|izquierda|Capa de Ayuntamientos]]
[[Archivo:2 Mapa de los colegios.png|miniaturadeimagen|derecha|Capa de centros educativos]]
[[Archivo:3 Hospitales .png|miniaturadeimagen|centro|Capa de Consultorios Médicos]]

En segundo lugar tenemos un grupo de datos fundamental para la realización de los distintos mapas temáticos. Tenemos una tabla con el '''censo de población''' de cada municipio en la que se puede observar la diferencia entre número de personas por edades, y por sexo. Estos datos se han obtenido del "INE", y están referidos al año 2015, ya que los del 2016 no se encontraban completos y hemos considerado que en un año no habría una diferencia en las proporciones significativa.

Por otro lado, mediante la herramienta QGIS hemos obtenido el área de los municipios y la de los núcleos urbanos, con los que posteriormente obtendremos el mapa de porcentaje de '''ocupación del terreno del municipio''' ''(Anejo 4)'' y la de '''densidad de población''' ''(Anejo 5)''.

[[Archivo:4 Mapa porcentajes densidad.png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de ocupación del terreno del municipio]]
[[Archivo:5 MAPA DENSIDAD DE POBLACION.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de densidad de población]]

Las operaciones realizadas para obtener los distintos mapas, han sido todas realizadas dentro del programa '''QGIS''', se han conseguido combinar los dos grupos de datos dentro de una misma capa, para que apareciesen juntos en la misma tabla de atributos, y a través de la opción "Calculadora de campos", obtenemos nuevos datos de los municipios como resultado de operaciones matemáticas entre las columnas de las que ya disponíamos.

A continuación se explicará con mayor detalle las operaciones realizadas en cada uno de los mapas.

Los mapas de, '''centros de educación y edificios destinados a sanidad''', simplemente son un recuento de la cantidad que hay en cada municipio y la asignación de esa cantidad como un valor en la tabla de atributos, para después dibujar los mapas categorizados teniendo en cuenta sólo esa columna.

Para el mapa de '''% de ocupación del terreno del municipio''' calculamos el área de los núcleos urbanos gracias al "Nomecalles", una vez obtenida hemos dividido entre el área de los municipios, todo esto con la calculadora de campos.

Para calcular la '''densidad''', sólo hay que dividir la población total de cada municipio entre el área del mismo.

El siguiente mapa es el de '''alumnos por centro educativo''' ''(Anejo 6)'', para el cual hemos tenido en cuenta la población comprendida entre los 0 años, hasta los 19, y la hemos dividido entre la suma de centros públicos y privados por municipio.

[[Archivo:6 MAPA alumnos por centro.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa alumnos por centro educativo]]

Uno de los que aporta quizás información más interesante, es el de '''posibilidad de saturación médica''', se ha obtenido dividiendo la población por municipio entre la cantidad de centros sanitarios que comprende. No es un indicador totalmente fiable, ya que a la hora de hacer los cálculos tanto los hospitales como los centros de salud tienen un valor unitario, pero realmente los primeros disponen de más consultas. Pero nos resultaba interesante ya que puede dar una idea aproximada. ''(Anejo7)''

[[Archivo:7_poblacion_entre_centros_de_salud.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de población entre centros de salud]]

Por último se han hecho seis mapas relacionados entre sí.

Tres de ellos nos muestran el porcentaje que representa '''la población joven, la población activa y la población de la tercera edad dentro de un mismo municipio''' correspondientemente. La metodología para calcularlos es el mismo por ellos se explican juntos. Consiste en sumar la población comprendida entre los 0-19 años, entre los 24-65, y de 65 en adelante, y dividir cada una de esas columnas entre la población total de ese mismo municipio. Por último multiplicar por 100.

[[Archivo:8 Porcentaje Poblacion Joven (municipio).png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de población joven]]
[[Archivo:9 Porcentaje Poblacion Activa (municipio).png|miniaturadeimagen|derecha|Mapa del porcentaje de población activa ]]
[[Archivo:10 Porcentaje Tercera Edad (municipio).png|miniaturadeimagen|centro|Mapa del porcentaje de la población de tercera edad]]

Los siguientes tres, a diferencia de los anteriores, lo que muestra es '''que porcentaje contiene cada municipio del total''' de la zona Madrid Oeste de cada uno de los tres grupos anteriormente mencionados. Como ya habíamos calculado la cantidad de población joven (Anejo 11), activa (Anejo 12), y de la tercera edad (Anejo 13) dentro de cada municipio, sólo había que dividir esa cantidad entre las sumas totales, y para finalizar multiplicar por 100.

[[Archivo:11 Porcentaje Poblacion Joven (total).png|miniaturadeimagen|izquierda|Porcentaje Población Joven del total]]
[[Archivo:12 Porcentaje Poblacion Activa (total).png|miniaturadeimagen|derecha|Porcentaje de la Población Activa del total]]
[[Archivo:13 Porcentaje Tercera Edad (total).png|miniaturadeimagen|centro|Porcentaje de la Tercera Edad]]

Tenemos en cuenta que para representar los mapas, todos ellos se han dibujado categorizados para poder observar las variaciones de los indicadores dependiendo del municipio.

== Resultados ==
Como hemos mencionado anteriormente, los resultados obtenidos son diferentes mapas temáticos que abarcan desde densidad de población por municipio hasta el porcentaje de población de tercera edad.

Comenzaremos este apartado analizando la '''densidad de población''' de cada municipio. En este mapa hemos representado el número de habitantes de cada municipio por cada Kilómetro cuadrado, Siendo Collado Villalba la localidad con mayor densidad con 2462.34 Hab/km2 y Valdemequeda el menor con 15.2 Hab/km2

Relacionado con el anterior nos encontramos con el '''mapa de porcentaje de ocupación del núcleo urbano'''. Este mapa refleja el porcentaje de ocupación del área de los núcleos urbanos del municipio respecto a la superficie total de éste. Como podemos observar, esta relación aumenta según nos vamos acercando a la capital, debido a que la mayor parte de la actividad laboral se realiza en Madrid. Como resultado Pozuelo de Alarcón es el municipio con mayor ocupación con un 56.49% mientras que la población con menor porcentaje es Fresnedillas de la Oliva con un 0.8%.

Un indicador importante (para nosotros) que influye a la hora de escoger el mejor municipio para vivir es la '''cantidad de alumnos por centro'''. Este mapa está condicionado a su vez por la cantidad de población joven de cada municipio y el número de centros educativos existentes en la zona. Observando el mapa vemos que el municipio con mayor cantidad de estudiantes por colegio es Valdemorillo no es debido a que tenga una población joven relevante sino pocos centros educativos comparado con otros municipios) siendo el menor Fresnedillas de la oliva con una relación de 138 estudiantes por centro. Cabe destacar que los municipios con mayor número de centros educativos son Las Rozas y Pozuelo, como cabe esperar pues son los más poblados.

El mapa de los '''hospitales y centros de salud''', nos muestra la cantidad de centros de salud, consultorios y hospitales que hay en la zona Oeste de Madrid. La cantidad de estos se ve reflejada mediante una escala de azules, siendo los municipios con menor número de centros de salud los de color más claro y los municipios con mayor número de centros de color más oscuro.

Robledo de Chavela o Quijorna serían de los ayuntamientos con menos cobertura médica con un centro de salud mientras que por ejemplo Collado Villalba y Santa María de la Alameda los que más cobertura tendrían (teniendo hasta cuatro centros sanitarios).

Este mapa no nos otorga una visión objetiva de la cobertura médica ya que no hemos tenido en cuenta la población de cada municipio. Para ello hemos creado un mapa que nos muestra '''la relación de habitantes entre los centros sanitarios existentes'''. El municipio con mayor cantidad de habitantes por centro sanitario es Galapagar con 32294 habitantes por centro, mientras que el municipio con mejor cobertura médica a priori es Santa María de la Alameda con 300 habitantes por centro de salud. El mapa divide en dos categorías, los grandes municipios más poblados en marrón y los menos poblados en azul.

Hemos encontrado interesante hacer un mapa indicativo de la '''cantidad de población activa''' en cada municipio, creando dos mapas a su vez: Un primer mapa que representa el porcentaje de población activa respecto del propio municipio y otro mapa que indica la cantidad de población activa respecto a la población total de la zona Madrid oeste. La cantidad de población activa variará visualmente mediante una escala de verdes.

El municipio con mayor cantidad de población activa respecto a sus habitantes es Collado Villalba con un 65.97%, mientras que el municipio con menos cantidad es Boadilla del Monte con un 59.48%.

Se puede observar que la media de población activa por municipio es de un 62%.

Ahora bien, al hablar respecto la población total de la zona oeste, estos resultados varían. Las Rozas en este caso representa el 15.51% de toda la población activa de la zona de estudio, mientras que Fresnedillas de la Oliva es el ayuntamiento que menor cantidad de población activa aporta (únicamente un 0.25%).

Otros indicadores a mencionar, son la '''''cantidad de población joven y de tercera edad.'''''

Continuando con la idea anteriormente comentada para la población activa, hemos representado dos mapas por indicador. Un primer mapa representando el porcentaje de población respecto de la población Local (población del propio ayuntamiento) y otro de población respecto a la población total de los municipios de Madrid oeste.

Comencemos por los mapas relacionados con el indicador de '''población joven''':

Los dos ayuntamientos con mayor cantidad de población joven son Villanueva de la Cañada con un 32.3% de su población total y Boadilla del Monte con un 30.15%, observando así que conforme nos vamos acercando a la capital, en términos generales, la población joven incrementa.

Analizando este indicador de forma más global, aunque Villanueva de la Cañada es el municipio con mayor cantidad de población joven, Las Rozas es el municipio que más cantidad de población joven aporta a la zona Oeste con un 16.26% siendo el municipio que menos aporta, Valdemaqueda, con un 0.1%.

Por último nos encontramos con el indicador de '''población de tercera edad''':

El primer mapa representa la concentración de tercera edad respecto de cada municipio y apoyando la idea que he comentado anteriormente, conforme nos vayamos alejando de la capital, esta población ira aumentando hasta alcanzar valores máximos en Santa María de la Alameda con un 19.35%. El municipio con menor porcentaje de tercera edad es Villanueva del Pardillo con un 6.57%.

El segundo mapa nos da un porcentaje de tercera edad respecto a la población total de Madrid oeste, por lo que los resultados variarán debido a que la población de cada municipio es diferente.

El municipio con más peso respecto de este indicador en la zona Oeste es Pozuelo de Alarcón con un 16.68%, mientras que el ayuntamiento con menos peso es Valdemaqueda con un 0.19%.

Podemos añadir que como era esperado, los mapas de población joven, activa, y tercera edad son muy similares. A excepción de Santa María de la Alameda que en el mapa de la tercera edad destaca por encima de los municipios cuya población está por debajo de la media.

== Conclusiones ==

A partir de los resultados obtenidos podemos afirmar:
* Los municipios con mayor población, mayor densidad de población y mayor área de núcleos urbanos son los más cercanos a la capital y se va reduciendo conforme nos separamos debido a que muchos habitantes de esta zona trabajan en la capital. Esta es la principal razón por la que mucha gente decide localizar su residencia fuera del ajetreo de la capital pero sin perder tanto tiempo en los desplazamientos.
* La Autovía del Noroeste (A-6) es la responsable de la configuración de la población ya que mejora la comunicación de los municipios por los que pasa reduciendo el tiempo de viaje.
* Podemos definir entonces el área de influencia de la autopista que será la suma de las áreas de los municipios por donde pasa y produce un gran aumento de la población. El área de influencia sobre la zona será de 378km2.

Creemos que existe la posibilidad de continuar con nuestro estudio realizándolo en las diferentes zonas de la Comunidad para obtener una comparativa de las distintas regiones de ésta. Además se pueden añadir distintos indicadores a los realizados en este trabajo y así poder ayudar a las personas interesadas en conocer mejor las distintas regiones de la Comunidad y determinar cuál es la más adecuada para cada persona.

== Anejos ==

Anejo 1: Mapa de la localización de los ayuntamientos dentro del núcleo urbano

[[Archivo:1_Ayuntamientos.png|sinmarco|centro]]

Anejo 2: Mapa de la localización de los centros educativos de los municipios

[[Archivo:2 Mapa de los colegios.png|sinmarco|centro]]

Anejo 3: Mapa de los hospitales y centros de salud de cada municipio

[[Archivo:3 Hospitales .png|sinmarco|centro]]

Anejo 4: Mapa que muestra en porcentajes la superficie ocupada del municipio

[[Archivo:4 Mapa porcentajes densidad.png|sinmarco|centro]]

Anejo 5: Mapa de la densidad de población de Madrid Oeste

[[Archivo:5 MAPA DENSIDAD DE POBLACION.png|sinmarco|centro]]

Anejo 6: Mapa que muestra la media de alumnos por centro educativo de cada municipio

[[Archivo:6 MAPA alumnos por centro.png|sinmarco|centro]]

Anejo 7: Mapa de la población de cada municipio entre la cantidad centros sanitarios disponibles

[[Archivo:7_poblacion_entre_centros_de_salud.png|sinmarco|centro]]

Anejo 8: Porcentaje de población joven del municipio

[[Archivo:8 Porcentaje Poblacion Joven (municipio).png|sinmarco|centro]]

Anejo 9: Porcentaje de población joven en la zona oeste

[[Archivo:9 Porcentaje Poblacion Activa (municipio).png|sinmarco|centro]]

Anejo 10: Porcentaje de población activa del municipio

[[Archivo:10 Porcentaje Tercera Edad (municipio).png|sinmarco|centro]]

Anejo 11: Porcentaje de población activa en la zona oeste

[[Archivo:11 Porcentaje Poblacion Joven (total).png|sinmarco|centro]]

Anejo 12: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad del municipio

[[Archivo:12 Porcentaje Poblacion Activa (total).png|sinmarco|centro]]

Anejo 13: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad en la zona oeste.

[[Archivo:13 Porcentaje Tercera Edad (total).png|sinmarco|centro]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_16/17]]

Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid

2016-12-09T20:09:21Z

Marta.ruizm:

{{ TrabajoSIG | Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid | Ignacio Herranz Rodas, Marta Ruiz Martinez, Daniel Pacheco Sanchez, Álvaro Roales Blanco | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 16/17]] }}

== Introducción ==
[[Archivo:SIG Herranz 1.png|sinmarco|izquierda]]
Nuestro estudio se centra en un análisis de los municipios de la zona de Madrid Oeste. Esta región de la Comunidad tiene un área de 1314,75km2 y una población de 603.521 habitantes (INE 2015), posee el 16.5% del área y el 9.35% del total de la población. La renta per cápita de la zona oeste es 17396.5€ brutos, un 0.27% por encima de la Comunidad. Lo componen 30 municipios que son: ''Alpedrete, Becerril de la Sierra, Boadilla del Monte, El Boalo, Cercedilla, Colmenarejo, Collado Mediano Collado Villalba, El Escorial, Fresnedillas de la Oliva, Galapagar, Guadarrama, Hoyo de Manzanares, Majadahonda, Los Molinos, Moralzarzal, Navacerrada, Navalagamella, Pozuelo de Alarcón, Quijorna, Robledo de Chavela, Las Rozas de Madrid, San Lorenzo de El Escorial, Santa María de la Alameda, Torrelodones, Valdemaqueda, Valdemorillo, Villanueva de la Cañada, Villanueva del Pardillo y Zarzalejo.''

Una vez descrita la zona, nos planteamos la siguiente pregunta: '''¿Qué municipio de tiene las mejores características para vivir?'''

Cada persona tiene una serie de gustos y necesidades personales muy distintas por lo que el trabajo no puede dar una respuesta personal para cada uno.

Evidentemente realizar una encuesta preguntando cuál es el mejor municipio no nos serviría, porque entra la subjetividad de las personas. Para resolver esta pregunta de una forma objetiva utilizaremos una serie de indicadores que nos ayudaran a decidir mejor qué municipio escoger. Debido a que podríamos seleccionar una gran cantidad de indicadores, hemos decidido reducirlos a los que creemos que responden mejor a las siguientes preguntas:
*¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Tiene una cobertura sanitaria óptima? Actualmente los servicios sanitarios de la Comunidad de Madrid son indiscutiblemente uno de los mejores del mundo, siempre es bueno saber si dentro del municipio recibirás una cobertura sanitaria adecuada.
*¿Edad de la población? los ayuntamientos tratan de fomentar actividades en el pueblo destinadas a las necesidades de la población, un pueblo con mayor porcentaje de gente joven destinará más recursos para este sector de la población.
*¿Densidad de población? ¿Es un municipio muy poblado o es más bien tranquilo? Este indicador representa por un lado la capacidad económica del municipio, pues cuantos más habitantes tenga, mayor será su oferta de servicios y por el otro muestra la cantidad de gente que tendrá copando los servicios que ofrezca
*¿Qué capacidad tiene el municipio de crecer? Es importante saber si el municipio puede crecer más en superficie, para saber la disponibilidad de nuevas viviendas e instalaciones públicas. A esta pregunta trataremos de responderla con un análisis de la superficie ocupada del municipio.

== Metodología ==
Los datos empleados en éste trabajo se pueden dividir en grupos:

En primer lugar tenemos los distintos mapas temáticos obtenidos para la '''localización y contabilización de edificios destinados a necesidades básicas para la calidad de vida en los municipios'''. De estos datos utilizamos las capas de ayuntamientos ''(Anejo 1)'', centros educativos tanto públicos como privados ''(Anejo 2)'', y por último hospitales, centros de salud y consultorios médicos ''(Anejo 3)''. Han sido obtenidos de la página "Nomecalles".

[[Archivo:1_Ayuntamientos.png|miniaturadeimagen|izquierda|Capa de Ayuntamientos]]
[[Archivo:2 Mapa de los colegios.png|miniaturadeimagen|derecha|Capa de centros educativos]]
[[Archivo:3 Hospitales .png|miniaturadeimagen|centro|Capa de Consultorios Médicos]]

En segundo lugar tenemos un grupo de datos fundamental para la realización de los distintos mapas temáticos. Tenemos una tabla con el '''censo de población''' de cada municipio en la que se puede observar la diferencia entre número de personas por edades, y por sexo. Estos datos se han obtenido del "INE", y están referidos al año 2015, ya que los del 2016 no se encontraban completos y hemos considerado que en un año no habría una diferencia en las proporciones significativa.

Por otro lado, mediante la herramienta QGIS hemos obtenido el área de los municipios y la de los núcleos urbanos, con los que posteriormente obtendremos el mapa de porcentaje de '''ocupación del terreno del municipio''' ''(Anejo 4)'' y la de '''densidad de población''' ''(Anejo 5)''.

[[Archivo:4 Mapa porcentajes densidad.png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de ocupación del terreno del municipio]]
[[Archivo:5 MAPA DENSIDAD DE POBLACION.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de densidad de población]]

Las operaciones realizadas para obtener los distintos mapas, han sido todas realizadas dentro del programa '''QGIS''', se han conseguido combinar los dos grupos de datos dentro de una misma capa, para que apareciesen juntos en la misma tabla de atributos, y a través de la opción "Calculadora de campos", obtenemos nuevos datos de los municipios como resultado de operaciones matemáticas entre las columnas de las que ya disponíamos.

A continuación se explicará con mayor detalle las operaciones realizadas en cada uno de los mapas.

Los mapas de, '''centros de educación y edificios destinados a sanidad''', simplemente son un recuento de la cantidad que hay en cada municipio y la asignación de esa cantidad como un valor en la tabla de atributos, para después dibujar los mapas categorizados teniendo en cuenta sólo esa columna.

Para el mapa de '''% de ocupación del terreno del municipio''' calculamos el área de los núcleos urbanos gracias al "Nomecalles", una vez obtenida hemos dividido entre el área de los municipios, todo esto con la calculadora de campos.

Para calcular la '''densidad''', sólo hay que dividir la población total de cada municipio entre el área del mismo.

El siguiente mapa es el de '''alumnos por centro educativo''' ''(Anejo 6)'', para el cual hemos tenido en cuenta la población comprendida entre los 0 años, hasta los 19, y la hemos dividido entre la suma de centros públicos y privados por municipio.

[[Archivo:6 MAPA alumnos por centro.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa alumnos por centro educativo]]

Uno de los que aporta quizás información más interesante, es el de '''posibilidad de saturación médica''', se ha obtenido dividiendo la población por municipio entre la cantidad de centros sanitarios que comprende. No es un indicador totalmente fiable, ya que a la hora de hacer los cálculos tanto los hospitales como los centros de salud tienen un valor unitario, pero realmente los primeros disponen de más consultas. Pero nos resultaba interesante ya que puede dar una idea aproximada. ''(Anejo7)''

[[Archivo:7_poblacion_entre_centros_de_salud.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de población entre centros de salud]]

Por último se han hecho seis mapas relacionados entre sí.

Tres de ellos nos muestran el porcentaje que representa '''la población joven, la población activa y la población de la tercera edad dentro de un mismo municipio''' correspondientemente. La metodología para calcularlos es el mismo por ellos se explican juntos. Consiste en sumar la población comprendida entre los 0-19 años, entre los 24-65, y de 65 en adelante, y dividir cada una de esas columnas entre la población total de ese mismo municipio. Por último multiplicar por 100.

[[Archivo:8 Porcentaje Poblacion Joven (municipio).png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de población joven]]
[[Archivo:9 Porcentaje Poblacion Activa (municipio).png|miniaturadeimagen|derecha|Mapa del porcentaje de población activa ]]
[[Archivo:10 Porcentaje Tercera Edad (municipio).png|miniaturadeimagen|centro|Mapa del porcentaje de la población de tercera edad]]

Los siguientes tres, a diferencia de los anteriores, lo que muestra es '''que porcentaje contiene cada municipio del total''' de la zona Madrid Oeste de cada uno de los tres grupos anteriormente mencionados. Como ya habíamos calculado la cantidad de población joven (Anejo 11), activa (Anejo 12), y de la tercera edad (Anejo 13) dentro de cada municipio, sólo había que dividir esa cantidad entre las sumas totales, y para finalizar multiplicar por 100.

[[Archivo:11 Porcentaje Poblacion Joven (total).png|miniaturadeimagen|izquierda|Porcentaje Población Joven del total]]
[[Archivo:12 Porcentaje Poblacion Activa (total).png|miniaturadeimagen|derecha|Porcentaje de la Población Activa del total]]
[[Archivo:13 Porcentaje Tercera Edad (total).png|miniaturadeimagen|centro|Porcentaje de la Tercera Edad]]

Tenemos en cuenta que para representar los mapas, todos ellos se han dibujado categorizados para poder observar las variaciones de los indicadores dependiendo del municipio.

== Resultados ==
Como hemos mencionado anteriormente, los resultados obtenidos son diferentes mapas temáticos que abarcan desde densidad de población por municipio hasta el porcentaje de población de tercera edad.

Comenzaremos este apartado analizando la '''densidad de población''' de cada municipio. En este mapa hemos representado el número de habitantes de cada municipio por cada Kilómetro cuadrado, Siendo Collado Villalba la localidad con mayor densidad con 2462.34 Hab/km2 y Valdemequeda el menor con 15.2 Hab/km2

Relacionado con el anterior nos encontramos con el '''mapa de porcentaje de ocupación del núcleo urbano'''. Este mapa refleja el porcentaje de ocupación del área de los núcleos urbanos del municipio respecto a la superficie total de éste. Como podemos observar, esta relación aumenta según nos vamos acercando a la capital, debido a que la mayor parte de la actividad laboral se realiza en Madrid. Como resultado Pozuelo de Alarcón es el municipio con mayor ocupación con un 56.49% mientras que la población con menor porcentaje es Fresnedillas de la Oliva con un 0.8%.

Un indicador importante (para nosotros) que influye a la hora de escoger el mejor municipio para vivir es la '''cantidad de alumnos por centro'''. Este mapa está condicionado a su vez por la cantidad de población joven de cada municipio y el número de centros educativos existentes en la zona. Observando el mapa vemos que el municipio con mayor cantidad de estudiantes por colegio es Valdemorillo no es debido a que tenga una población joven relevante sino pocos centros educativos comparado con otros municipios) siendo el menor Fresnedillas de la oliva con una relación de 138 estudiantes por centro. Cabe destacar que los municipios con mayor número de centros educativos son Las Rozas y Pozuelo, como cabe esperar pues son los más poblados.

El mapa de los '''hospitales y centros de salud''', nos muestra la cantidad de centros de salud, consultorios y hospitales que hay en la zona Oeste de Madrid. La cantidad de estos se ve reflejada mediante una escala de azules, siendo los municipios con menor número de centros de salud los de color más claro y los municipios con mayor número de centros de color más oscuro.

Robledo de Chavela o Quijorna serían de los ayuntamientos con menos cobertura médica con un centro de salud mientras que por ejemplo Collado Villalba y Santa María de la Alameda los que más cobertura tendrían (teniendo hasta cuatro centros sanitarios).

Este mapa no nos otorga una visión objetiva de la cobertura médica ya que no hemos tenido en cuenta la población de cada municipio. Para ello hemos creado un mapa que nos muestra '''la relación de habitantes entre los centros sanitarios existentes'''. El municipio con mayor cantidad de habitantes por centro sanitario es Galapagar con 32294 habitantes por centro, mientras que el municipio con mejor cobertura médica a priori es Santa María de la Alameda con 300 habitantes por centro de salud. El mapa divide en dos categorías, los grandes municipios más poblados en marrón y los menos poblados en azul.

Hemos encontrado interesante hacer un mapa indicativo de la '''cantidad de población activa''' en cada municipio, creando dos mapas a su vez: Un primer mapa que representa el porcentaje de población activa respecto del propio municipio y otro mapa que indica la cantidad de población activa respecto a la población total de la zona Madrid oeste. La cantidad de población activa variará visualmente mediante una escala de verdes.

El municipio con mayor cantidad de población activa respecto a sus habitantes es Collado Villalba con un 65.97%, mientras que el municipio con menos cantidad es Boadilla del Monte con un 59.48%.

Se puede observar que la media de población activa por municipio es de un 62%.

Ahora bien, al hablar respecto la población total de la zona oeste, estos resultados varían. Las Rozas en este caso representa el 15.51% de toda la población activa de la zona de estudio, mientras que Fresnedillas de la Oliva es el ayuntamiento que menor cantidad de población activa aporta (únicamente un 0.25%).

Otros indicadores a mencionar, son la '''''cantidad de población joven y de tercera edad.'''''

Continuando con la idea anteriormente comentada para la población activa, hemos representado dos mapas por indicador. Un primer mapa representando el porcentaje de población respecto de la población Local (población del propio ayuntamiento) y otro de población respecto a la población total de los municipios de Madrid oeste.

Comencemos por los mapas relacionados con el indicador de '''población joven''':

Los dos ayuntamientos con mayor cantidad de población joven son Villanueva de la Cañada con un 32.3% de su población total y Boadilla del Monte con un 30.15%, observando así que conforme nos vamos acercando a la capital, en términos generales, la población joven incrementa.

Analizando este indicador de forma más global, aunque Villanueva de la Cañada es el municipio con mayor cantidad de población joven, Las Rozas es el municipio que más cantidad de población joven aporta a la zona Oeste con un 16.26% siendo el municipio que menos aporta, Valdemaqueda, con un 0.1%.

Por último nos encontramos con el indicador de '''población de tercera edad''':

El primer mapa representa la concentración de tercera edad respecto de cada municipio y apoyando la idea que he comentado anteriormente, conforme nos vayamos alejando de la capital, esta población ira aumentando hasta alcanzar valores máximos en Santa María de la Alameda con un 19.35%. El municipio con menor porcentaje de tercera edad es Villanueva del Pardillo con un 6.57%.

El segundo mapa nos da un porcentaje de tercera edad respecto a la población total de Madrid oeste, por lo que los resultados variarán debido a que la población de cada municipio es diferente.

El municipio con más peso respecto de este indicador en la zona Oeste es Pozuelo de Alarcón con un 16.68%, mientras que el ayuntamiento con menos peso es Valdemaqueda con un 0.19%.

Podemos añadir que como era esperado, los mapas de población joven, activa, y tercera edad son muy similares. A excepción de Santa María de la Alameda que en el mapa de la tercera edad destaca por encima de los municipios cuya población está por debajo de la media.

== Conclusiones ==

Además podemos determinar a partir de los resultados obtenidos, que la Autovía del Noroeste (A-6) es la responsable de la configuración de la población ya que mejora la comunicación de los municipios por los que pasa reduciendo el tiempo de viaje. Los municipios con mayor población, mayor densidad de población y mayor área de núcleos urbanos son los más cercanos a la capital y se va reduciendo conforme nos separamos de ésta. Podemos definir entonces el área de influencia de la autopista que será la suma de las áreas de los municipios por donde pasa y produce un gran aumento de la población. El área de influencia sobre la zona será de 378km2.

Creemos que existe la posibilidad de continuar con nuestro estudio realizándolo en las diferentes zonas de la Comunidad para obtener una comparativa de las distintas regiones de ésta. Además se pueden añadir distintos indicadores a los realizados en este trabajo y así poder ayudar a las personas interesadas en conocer mejor las distintas regiones de la Comunidad y determinar cuál es la más adecuada para cada persona.

En los municipios más cercanos a la capital, también se puede observar que hay una mayor inversión de dinero por parte del gobierno para infraestructuras, tanto médicas como educativas, lo que produce una necesidad de las personas que viven más cercanos a la zona de sierra de poseer vehículo propio, coste que se ve compensado porque el precio de la vivienda y del suelo se abarata según sea mayor la distancia a la ciudad de Madrid.

== Anejos ==

Anejo 1: Mapa de la localización de los ayuntamientos dentro del núcleo urbano

[[Archivo:1_Ayuntamientos.png|sinmarco|centro]]

Anejo 2: Mapa de la localización de los centros educativos de los municipios

[[Archivo:2 Mapa de los colegios.png|sinmarco|centro]]

Anejo 3: Mapa de los hospitales y centros de salud de cada municipio

[[Archivo:3 Hospitales .png|sinmarco|centro]]

Anejo 4: Mapa que muestra en porcentajes la superficie ocupada del municipio

[[Archivo:4 Mapa porcentajes densidad.png|sinmarco|centro]]

Anejo 5: Mapa de la densidad de población de Madrid Oeste

[[Archivo:5 MAPA DENSIDAD DE POBLACION.png|sinmarco|centro]]

Anejo 6: Mapa que muestra la media de alumnos por centro educativo de cada municipio

[[Archivo:6 MAPA alumnos por centro.png|sinmarco|centro]]

Anejo 7: Mapa de la población de cada municipio entre la cantidad centros sanitarios disponibles

[[Archivo:7_poblacion_entre_centros_de_salud.png|sinmarco|centro]]

Anejo 8: Porcentaje de población joven del municipio

[[Archivo:8 Porcentaje Poblacion Joven (municipio).png|sinmarco|centro]]

Anejo 9: Porcentaje de población joven en la zona oeste

[[Archivo:9 Porcentaje Poblacion Activa (municipio).png|sinmarco|centro]]

Anejo 10: Porcentaje de población activa del municipio

[[Archivo:10 Porcentaje Tercera Edad (municipio).png|sinmarco|centro]]

Anejo 11: Porcentaje de población activa en la zona oeste

[[Archivo:11 Porcentaje Poblacion Joven (total).png|sinmarco|centro]]

Anejo 12: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad del municipio

[[Archivo:12 Porcentaje Poblacion Activa (total).png|sinmarco|centro]]

Anejo 13: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad en la zona oeste.

[[Archivo:13 Porcentaje Tercera Edad (total).png|sinmarco|centro]]

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_16/17]]

AYUNTAMIENTOS MADRID

2016-12-09T13:33:28Z

Marta.ruizm: Página blanqueada

Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid

2016-12-09T13:30:50Z

Marta.ruizm: Página creada con «{{ TrabajoSIG | Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid | Ignacio Herranz Rodas, Marta Ruiz Martinez, Daniel Pacheco Sanchez, Álva...»

{{ TrabajoSIG | Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid | Ignacio Herranz Rodas, Marta Ruiz Martinez, Daniel Pacheco Sanchez, Álvaro Roales Blanco | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 16/17]] }}

== Introducción ==
[[Archivo:SIG Herranz 1.png|sinmarco|izquierda]]
Nuestro estudio se centra en un análisis de los municipios de la zona de Madrid Oeste. Esta región de la Comunidad tiene un área de 1314,75km2 y una población de 603.521 habitantes (INE 2015), posee el 16.5% del área y el 9.35% del total de la población. La renta per cápita de la zona oeste es 17396.5€ brutos, un 0.27% por encima de la Comunidad. Lo componen 30 municipios que son: ''Alpedrete, Becerril de la Sierra, Boadilla del Monte, El Boalo, Cercedilla, Colmenarejo, Collado Mediano Collado Villalba, El Escorial, Fresnedillas de la Oliva, Galapagar, Guadarrama, Hoyo de Manzanares, Majadahonda, Los Molinos, Moralzarzal, Navacerrada, Navalagamella, Pozuelo de Alarcón, Quijorna, Robledo de Chavela, Las Rozas de Madrid, San Lorenzo de El Escorial, Santa María de la Alameda, Torrelodones, Valdemaqueda, Valdemorillo, Villanueva de la Cañada, Villanueva del Pardillo y Zarzalejo.''

Una vez descrita la zona, nos planteamos la siguiente pregunta: '''¿Qué municipio de tiene las mejores características para vivir?'''

Cada persona tiene una serie de gustos y necesidades personales muy distintas por lo que el trabajo no puede dar una respuesta personal para cada uno.

Evidentemente realizar una encuesta preguntando cuál es el mejor municipio no nos serviría, porque entra la subjetividad de las personas. Para resolver esta pregunta de una forma objetiva utilizaremos una serie de indicadores que nos ayudaran a decidir mejor qué municipio escoger. Debido a que podríamos seleccionar una gran cantidad de indicadores, hemos decidido reducirlos a los que creemos que responden mejor a las siguientes preguntas:
*¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Tiene una cobertura sanitaria óptima? Actualmente los servicios sanitarios de la Comunidad de Madrid son indiscutiblemente uno de los mejores del mundo, siempre es bueno saber si dentro del municipio recibirás una cobertura sanitaria adecuada.
*¿Edad de la población? los ayuntamientos tratan de fomentar actividades en el pueblo destinadas a las necesidades de la población, un pueblo con mayor porcentaje de gente joven destinará más recursos para este sector de la población.
*¿Densidad de población? ¿Es un municipio muy poblado o es más bien tranquilo? Este indicador representa por un lado la capacidad económica del municipio, pues cuantos más habitantes tenga, mayor será su oferta de servicios y por el otro muestra la cantidad de gente que tendrá copando los servicios que ofrezca
*¿Qué capacidad tiene el municipio de crecer? Es importante saber si el municipio puede crecer más en superficie, para saber la disponibilidad de nuevas viviendas e instalaciones públicas. A esta pregunta trataremos de responderla con un análisis de la superficie ocupada del municipio.

== Metodología ==
Los datos empleados en éste trabajo se pueden dividir en grupos:

En primer lugar tenemos los distintos mapas temáticos obtenidos para la '''localización y contabilización de edificios destinados a necesidades básicas para la calidad de vida en los municipios'''. De estos datos utilizamos las capas de ayuntamientos ''(Anejo 1)'', centros educativos tanto públicos como privados ''(Anejo 2)'', y por último hospitales, centros de salud y consultorios médicos ''(Anejo 3)''. Han sido obtenidos de la página "Nomecalles".

[[Archivo:1_Ayuntamientos.png|miniaturadeimagen|izquierda|Capa de Ayuntamientos]]
[[Archivo:2 Mapa de los colegios.png|miniaturadeimagen|derecha|Capa de centros educativos]]
[[Archivo:3 Hospitales .png|miniaturadeimagen|centro|Capa de Consultorios Médicos]]

En segundo lugar tenemos un grupo de datos fundamental para la realización de los distintos mapas temáticos. Tenemos una tabla con el '''censo de población''' de cada municipio en la que se puede observar la diferencia entre número de personas por edades, y por sexo. Estos datos se han obtenido del "INE", y están referidos al año 2015, ya que los del 2016 no se encontraban completos y hemos considerado que en un año no habría una diferencia en las proporciones significativa.

Por otro lado, mediante la herramienta QGIS hemos obtenido el área de los municipios y la de los núcleos urbanos, con los que posteriormente obtendremos el mapa de porcentaje de '''ocupación del terreno del municipio''' ''(Anejo 4)'' y la de '''densidad de población''' ''(Anejo 5)''.

[[Archivo:4 Mapa porcentajes densidad.png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de ocupación del terreno del municipio]]
[[Archivo:5 MAPA DENSIDAD DE POBLACION.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de densidad de población]]

Las operaciones realizadas para obtener los distintos mapas, han sido todas realizadas dentro del programa '''QGIS''', se han conseguido combinar los dos grupos de datos dentro de una misma capa, para que apareciesen juntos en la misma tabla de atributos, y a través de la opción "Calculadora de campos", obtenemos nuevos datos de los municipios como resultado de operaciones matemáticas entre las columnas de las que ya disponíamos.

A continuación se explicará con mayor detalle las operaciones realizadas en cada uno de los mapas.

Los mapas de, '''centros de educación y edificios destinados a sanidad''', simplemente son un recuento de la cantidad que hay en cada municipio y la asignación de esa cantidad como un valor en la tabla de atributos, para después dibujar los mapas categorizados teniendo en cuenta sólo esa columna.

Para el mapa de '''% de ocupación del terreno del municipio''' calculamos el área de los núcleos urbanos gracias al "Nomecalles", una vez obtenida hemos dividido entre el área de los municipios, todo esto con la calculadora de campos.

Para calcular la '''densidad''', sólo hay que dividir la población total de cada municipio entre el área del mismo.

El siguiente mapa es el de '''alumnos por centro educativo''' ''(Anejo 6)'', para el cual hemos tenido en cuenta la población comprendida entre los 0 años, hasta los 19, y la hemos dividido entre la suma de centros públicos y privados por municipio.

[[Archivo:6 MAPA alumnos por centro.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa alumnos por centro educativo]]

Uno de los que aporta quizás información más interesante, es el de '''posibilidad de saturación médica''', se ha obtenido dividiendo la población por municipio entre la cantidad de centros sanitarios que comprende. No es un indicador totalmente fiable, ya que a la hora de hacer los cálculos tanto los hospitales como los centros de salud tienen un valor unitario, pero realmente los primeros disponen de más consultas. Pero nos resultaba interesante ya que puede dar una idea aproximada. ''(Anejo7)''

[[Archivo:7_poblacion_entre_centros_de_salud.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de población entre centros de salud]]

Por último se han hecho seis mapas relacionados entre sí.

Tres de ellos nos muestran el porcentaje que representa '''la población joven, la población activa y la población de la tercera edad dentro de un mismo municipio''' correspondientemente. La metodología para calcularlos es el mismo por ellos se explican juntos. Consiste en sumar la población comprendida entre los 0-19 años, entre los 24-65, y de 65 en adelante, y dividir cada una de esas columnas entre la población total de ese mismo municipio. Por último multiplicar por 100.

[[Archivo:8 Porcentaje Poblacion Joven (municipio).png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de población joven]]
[[Archivo:9 Porcentaje Poblacion Activa (municipio).png|miniaturadeimagen|derecha|Mapa del porcentaje de población activa ]]
[[Archivo:10 Porcentaje Tercera Edad (municipio).png|miniaturadeimagen|centro|Mapa del porcentaje de la población de tercera edad]]

Los siguientes tres, a diferencia de los anteriores, lo que muestra es '''que porcentaje contiene cada municipio del total''' de la zona Madrid Oeste de cada uno de los tres grupos anteriormente mencionados. Como ya habíamos calculado la cantidad de población joven (Anejo 11), activa (Anejo 12), y de la tercera edad (Anejo 13) dentro de cada municipio, sólo había que dividir esa cantidad entre las sumas totales, y para finalizar multiplicar por 100.

[[Archivo:11 Porcentaje Poblacion Joven (total).png|miniaturadeimagen|izquierda|Porcentaje Población Joven del total]]
[[Archivo:12 Porcentaje Poblacion Activa (total).png|miniaturadeimagen|derecha|Porcentaje de la Población Activa del total]]
[[Archivo:13 Porcentaje Tercera Edad (total).png|miniaturadeimagen|centro|Porcentaje de la Tercera Edad]]

Tenemos en cuenta que para representar los mapas, todos ellos se han dibujado categorizados para poder observar las variaciones de los indicadores dependiendo del municipio.

== Resultados ==
Como hemos mencionado anteriormente, los resultados obtenidos son diferentes mapas temáticos que abarcan desde densidad de población por municipio hasta el porcentaje de población de tercera edad.

Comenzaremos este apartado analizando la '''densidad de población''' de cada municipio. En este mapa hemos representado el número de habitantes de cada municipio por cada Kilómetro cuadrado, Siendo Collado Villalba la localidad con mayor densidad con 2462.34 Hab/km2 y Valdemequeda el menor con 15.2 Hab/km2

Relacionado con el anterior nos encontramos con el '''mapa de porcentaje de ocupación del núcleo urbano'''. Este mapa refleja el porcentaje de ocupación del área de los núcleos urbanos del municipio respecto a la superficie total de éste. Como podemos observar, esta relación aumenta según nos vamos acercando a la capital, debido a que la mayor parte de la actividad laboral se realiza en Madrid. Como resultado Pozuelo de Alarcón es el municipio con mayor ocupación con un 56.49% mientras que la población con menor porcentaje es Fresnedillas de la Oliva con un 0.8%.

Un indicador importante (para nosotros) que influye a la hora de escoger el mejor municipio para vivir es la '''cantidad de alumnos por centro'''. Este mapa está condicionado a su vez por la cantidad de población joven de cada municipio y el número de centros educativos existentes en la zona. Observando el mapa vemos que el municipio con mayor cantidad de estudiantes por colegio es Valdemorillo no es debido a que tenga una población joven relevante sino pocos centros educativos comparado con otros municipios) siendo el menor Fresnedillas de la oliva con una relación de 138 estudiantes por centro. Cabe destacar que los municipios con mayor número de centros educativos son Las Rozas y Pozuelo, como cabe esperar pues son los más poblados.

El mapa de los '''hospitales y centros de salud''', nos muestra la cantidad de centros de salud, consultorios y hospitales que hay en la zona Oeste de Madrid. La cantidad de estos se ve reflejada mediante una escala de azules, siendo los municipios con menor número de centros de salud los de color más claro y los municipios con mayor número de centros de color más oscuro.

Robledo de Chavela o Quijorna serían de los ayuntamientos con menos cobertura médica con un centro de salud mientras que por ejemplo Collado Villalba y Santa María de la Alameda los que más cobertura tendrían (teniendo hasta cuatro centros sanitarios).

Este mapa no nos otorga una visión objetiva de la cobertura médica ya que no hemos tenido en cuenta la población de cada municipio. Para ello hemos creado un mapa que nos muestra '''la relación de habitantes entre los centros sanitarios existentes'''. El municipio con mayor cantidad de habitantes por centro sanitario es Galapagar con 32294 habitantes por centro, mientras que el municipio con mejor cobertura médica a priori es Santa María de la Alameda con 300 habitantes por centro de salud. El mapa divide en dos categorías, los grandes municipios más poblados en marrón y los menos poblados en azul.

Hemos encontrado interesante hacer un mapa indicativo de la '''cantidad de población activa''' en cada municipio, creando dos mapas a su vez: Un primer mapa que representa el porcentaje de población activa respecto del propio municipio y otro mapa que indica la cantidad de población activa respecto a la población total de la zona Madrid oeste. La cantidad de población activa variará visualmente mediante una escala de verdes.

El municipio con mayor cantidad de población activa respecto a sus habitantes es Collado Villalba con un 65.97%, mientras que el municipio con menos cantidad es Boadilla del Monte con un 59.48%.

Se puede observar que la media de población activa por municipio es de un 62%.

Ahora bien, al hablar respecto la población total de la zona oeste, estos resultados varían. Las Rozas en este caso representa el 15.51% de toda la población activa de la zona de estudio, mientras que Fresnedillas de la Oliva es el ayuntamiento que menor cantidad de población activa aporta (únicamente un 0.25%).

Otros indicadores a mencionar, son la '''''cantidad de población joven y de tercera edad.'''''

Continuando con la idea anteriormente comentada para la población activa, hemos representado dos mapas por indicador. Un primer mapa representando el porcentaje de población respecto de la población Local (población del propio ayuntamiento) y otro de población respecto a la población total de los municipios de Madrid oeste.

Comencemos por los mapas relacionados con el indicador de '''población joven''':

Los dos ayuntamientos con mayor cantidad de población joven son Villanueva de la Cañada con un 32.3% de su población total y Boadilla del Monte con un 30.15%, observando así que conforme nos vamos acercando a la capital, en términos generales, la población joven incrementa.

Analizando este indicador de forma más global, aunque Villanueva de la Cañada es el municipio con mayor cantidad de población joven, Las Rozas es el municipio que más cantidad de población joven aporta a la zona Oeste con un 16.26% siendo el municipio que menos aporta, Valdemaqueda, con un 0.1%.

Por último nos encontramos con el indicador de '''población de tercera edad''':

El primer mapa representa la concentración de tercera edad respecto de cada municipio y apoyando la idea que he comentado anteriormente, conforme nos vayamos alejando de la capital, esta población ira aumentando hasta alcanzar valores máximos en Santa María de la Alameda con un 19.35%. El municipio con menor porcentaje de tercera edad es Villanueva del Pardillo con un 6.57%.

El segundo mapa nos da un porcentaje de tercera edad respecto a la población total de Madrid oeste, por lo que los resultados variarán debido a que la población de cada municipio es diferente.

El municipio con más peso respecto de este indicador en la zona Oeste es Pozuelo de Alarcón con un 16.68%, mientras que el ayuntamiento con menos peso es Valdemaqueda con un 0.19%.

Podemos añadir que como era esperado, los mapas de población joven, activa, y tercera edad son muy similares. A excepción de Santa María de la Alameda que en el mapa de la tercera edad destaca por encima de los municipios cuya población está por debajo de la media.

== Conclusiones ==

Además podemos determinar a partir de los resultados obtenidos, que la Autovía del Noroeste (A-6) es la responsable de la configuración de la población ya que mejora la comunicación de los municipios por los que pasa reduciendo el tiempo de viaje. Los municipios con mayor población, mayor densidad de población y mayor área de núcleos urbanos son los más cercanos a la capital y se va reduciendo conforme nos separamos de ésta. Podemos definir entonces el área de influencia de la autopista que será la suma de las áreas de los municipios por donde pasa y produce un gran aumento de la población. El área de influencia sobre la zona será de 378km2.

Creemos que existe la posibilidad de continuar con nuestro estudio realizándolo en las diferentes zonas de la Comunidad para obtener una comparativa de las distintas regiones de ésta. Además se pueden añadir distintos indicadores a los realizados en este trabajo y así poder ayudar a las personas interesadas en conocer mejor las distintas regiones de la Comunidad y determinar cuál es la más adecuada para cada persona.

En los municipios más cercanos a la capital, también se puede observar que hay una mayor inversión de dinero por parte del gobierno para infraestructuras, tanto médicas como educativas, lo que produce una necesidad de las personas que viven más cercanos a la zona de sierra de poseer vehículo propio, coste que se ve compensado porque el precio de la vivienda y del suelo se abarata según sea mayor la distancia a la ciudad de Madrid.

== Anejos ==

Anejo 1: Mapa de la localización de los ayuntamientos dentro del núcleo urbano

Anejo 2: Mapa de la localización de los centros educativos de los municipios

Anejo 3: Mapa de los hospitales y centros de salud de cada municipio

Anejo 4: Mapa que muestra en porcentajes la superficie ocupada del municipio

Anejo 5: Mapa de la densidad de población de Madrid Oeste

Anejo 6: Mapa que muestra la media de alumnos por centro educativo de cada municipio

Anejo 7: Mapa de la población de cada municipio entre la cantidad centros sanitarios disponibles

Anejo 8: Porcentaje de población joven del municipio

Anejo 9: Porcentaje de población joven en la zona oeste

Anejo 10: Porcentaje de población activa del municipio

Anejo 11: Porcentaje de población activa en la zona oeste

Anejo 12: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad del municipio

Anejo 13: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad en la zona oeste.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_16/17]]

AYUNTAMIENTOS MADRID

2016-12-09T13:24:11Z

Marta.ruizm:

{{ TrabajoSIG | Localización y características de los Ayuntamientos de la Zona Oeste de Madrid | Ignacio Herranz Rodas, Marta Ruiz Martinez, Daniel Pacheco Sanchez, Álvaro Roales Blanco | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 16/17]] }}

== Introducción ==
[[Archivo:SIG Herranz 1.png|sinmarco|izquierda]]
Nuestro estudio se centra en un análisis de los municipios de la zona de Madrid Oeste. Esta región de la Comunidad tiene un área de 1314,75km2 y una población de 603.521 habitantes (INE 2015), posee el 16.5% del área y el 9.35% del total de la población. La renta per cápita de la zona oeste es 17396.5€ brutos, un 0.27% por encima de la Comunidad. Lo componen 30 municipios que son: ''Alpedrete, Becerril de la Sierra, Boadilla del Monte, El Boalo, Cercedilla, Colmenarejo, Collado Mediano Collado Villalba, El Escorial, Fresnedillas de la Oliva, Galapagar, Guadarrama, Hoyo de Manzanares, Majadahonda, Los Molinos, Moralzarzal, Navacerrada, Navalagamella, Pozuelo de Alarcón, Quijorna, Robledo de Chavela, Las Rozas de Madrid, San Lorenzo de El Escorial, Santa María de la Alameda, Torrelodones, Valdemaqueda, Valdemorillo, Villanueva de la Cañada, Villanueva del Pardillo y Zarzalejo.''

Una vez descrita la zona, nos planteamos la siguiente pregunta: '''¿Qué municipio de tiene las mejores características para vivir?'''

Cada persona tiene una serie de gustos y necesidades personales muy distintas por lo que el trabajo no puede dar una respuesta personal para cada uno.

Evidentemente realizar una encuesta preguntando cuál es el mejor municipio no nos serviría, porque entra la subjetividad de las personas. Para resolver esta pregunta de una forma objetiva utilizaremos una serie de indicadores que nos ayudaran a decidir mejor qué municipio escoger. Debido a que podríamos seleccionar una gran cantidad de indicadores, hemos decidido reducirlos a los que creemos que responden mejor a las siguientes preguntas:
*¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Qué nivel de oferta educativa dispone? Este indicador va destinado sobre todo a futuras familias, trataremos de analizar el nivel de disponibilidad de centros educativos de cada municipio
* ¿Tiene una cobertura sanitaria óptima? Actualmente los servicios sanitarios de la Comunidad de Madrid son indiscutiblemente uno de los mejores del mundo, siempre es bueno saber si dentro del municipio recibirás una cobertura sanitaria adecuada.
*¿Edad de la población? los ayuntamientos tratan de fomentar actividades en el pueblo destinadas a las necesidades de la población, un pueblo con mayor porcentaje de gente joven destinará más recursos para este sector de la población.
*¿Densidad de población? ¿Es un municipio muy poblado o es más bien tranquilo? Este indicador representa por un lado la capacidad económica del municipio, pues cuantos más habitantes tenga, mayor será su oferta de servicios y por el otro muestra la cantidad de gente que tendrá copando los servicios que ofrezca
*¿Qué capacidad tiene el municipio de crecer? Es importante saber si el municipio puede crecer más en superficie, para saber la disponibilidad de nuevas viviendas e instalaciones públicas. A esta pregunta trataremos de responderla con un análisis de la superficie ocupada del municipio.

== Metodología ==
Los datos empleados en éste trabajo se pueden dividir en grupos:

En primer lugar tenemos los distintos mapas temáticos obtenidos para la '''localización y contabilización de edificios destinados a necesidades básicas para la calidad de vida en los municipios'''. De estos datos utilizamos las capas de ayuntamientos ''(Anejo 1)'', centros educativos tanto públicos como privados ''(Anejo 2)'', y por último hospitales, centros de salud y consultorios médicos ''(Anejo 3)''. Han sido obtenidos de la página "Nomecalles".

[[Archivo:1_Ayuntamientos.png|miniaturadeimagen|izquierda|Capa de Ayuntamientos]]
[[Archivo:2 Mapa de los colegios.png|miniaturadeimagen|derecha|Capa de centros educativos]]
[[Archivo:3 Hospitales .png|miniaturadeimagen|centro|Capa de Consultorios Médicos]]

En segundo lugar tenemos un grupo de datos fundamental para la realización de los distintos mapas temáticos. Tenemos una tabla con el '''censo de población''' de cada municipio en la que se puede observar la diferencia entre número de personas por edades, y por sexo. Estos datos se han obtenido del "INE", y están referidos al año 2015, ya que los del 2016 no se encontraban completos y hemos considerado que en un año no habría una diferencia en las proporciones significativa.

Por otro lado, mediante la herramienta QGIS hemos obtenido el área de los municipios y la de los núcleos urbanos, con los que posteriormente obtendremos el mapa de porcentaje de '''ocupación del terreno del municipio''' ''(Anejo 4)'' y la de '''densidad de población''' ''(Anejo 5)''.

[[Archivo:4 Mapa porcentajes densidad.png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de ocupación del terreno del municipio]]
[[Archivo:5 MAPA DENSIDAD DE POBLACION.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de densidad de población]]

Las operaciones realizadas para obtener los distintos mapas, han sido todas realizadas dentro del programa '''QGIS''', se han conseguido combinar los dos grupos de datos dentro de una misma capa, para que apareciesen juntos en la misma tabla de atributos, y a través de la opción "Calculadora de campos", obtenemos nuevos datos de los municipios como resultado de operaciones matemáticas entre las columnas de las que ya disponíamos.

A continuación se explicará con mayor detalle las operaciones realizadas en cada uno de los mapas.

Los mapas de, '''centros de educación y edificios destinados a sanidad''', simplemente son un recuento de la cantidad que hay en cada municipio y la asignación de esa cantidad como un valor en la tabla de atributos, para después dibujar los mapas categorizados teniendo en cuenta sólo esa columna.

Para el mapa de '''% de ocupación del terreno del municipio''' calculamos el área de los núcleos urbanos gracias al "Nomecalles", una vez obtenida hemos dividido entre el área de los municipios, todo esto con la calculadora de campos.

Para calcular la '''densidad''', sólo hay que dividir la población total de cada municipio entre el área del mismo.

El siguiente mapa es el de '''alumnos por centro educativo''' ''(Anejo 6)'', para el cual hemos tenido en cuenta la población comprendida entre los 0 años, hasta los 19, y la hemos dividido entre la suma de centros públicos y privados por municipio.

[[Archivo:6 MAPA alumnos por centro.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa alumnos por centro educativo]]

Uno de los que aporta quizás información más interesante, es el de '''posibilidad de saturación médica''', se ha obtenido dividiendo la población por municipio entre la cantidad de centros sanitarios que comprende. No es un indicador totalmente fiable, ya que a la hora de hacer los cálculos tanto los hospitales como los centros de salud tienen un valor unitario, pero realmente los primeros disponen de más consultas. Pero nos resultaba interesante ya que puede dar una idea aproximada. ''(Anejo7)''

[[Archivo:7_poblacion_entre_centros_de_salud.png|miniaturadeimagen|centro|Mapa de población entre centros de salud]]

Por último se han hecho seis mapas relacionados entre sí.

Tres de ellos nos muestran el porcentaje que representa '''la población joven, la población activa y la población de la tercera edad dentro de un mismo municipio''' correspondientemente. La metodología para calcularlos es el mismo por ellos se explican juntos. Consiste en sumar la población comprendida entre los 0-19 años, entre los 24-65, y de 65 en adelante, y dividir cada una de esas columnas entre la población total de ese mismo municipio. Por último multiplicar por 100.

[[Archivo:8 Porcentaje Poblacion Joven (municipio).png|miniaturadeimagen|izquierda|Mapa del porcentaje de población joven]]
[[Archivo:9 Porcentaje Poblacion Activa (municipio).png|miniaturadeimagen|derecha|Mapa del porcentaje de población activa ]]
[[Archivo:10 Porcentaje Tercera Edad (municipio).png|miniaturadeimagen|centro|Mapa del porcentaje de la población de tercera edad]]

Los siguientes tres, a diferencia de los anteriores, lo que muestra es '''que porcentaje contiene cada municipio del total''' de la zona Madrid Oeste de cada uno de los tres grupos anteriormente mencionados. Como ya habíamos calculado la cantidad de población joven (Anejo 11), activa (Anejo 12), y de la tercera edad (Anejo 13) dentro de cada municipio, sólo había que dividir esa cantidad entre las sumas totales, y para finalizar multiplicar por 100.

[[Archivo:11 Porcentaje Poblacion Joven (total).png|miniaturadeimagen|izquierda|Porcentaje Población Joven del total]]
[[Archivo:12 Porcentaje Poblacion Activa (total).png|miniaturadeimagen|derecha|Porcentaje de la Población Activa del total]]
[[Archivo:13 Porcentaje Tercera Edad (total).png|miniaturadeimagen|centro|Porcentaje de la Tercera Edad]]

Tenemos en cuenta que para representar los mapas, todos ellos se han dibujado categorizados para poder observar las variaciones de los indicadores dependiendo del municipio.

== Resultados ==
Como hemos mencionado anteriormente, los resultados obtenidos son diferentes mapas temáticos que abarcan desde densidad de población por municipio hasta el porcentaje de población de tercera edad.

Comenzaremos este apartado analizando la '''densidad de población''' de cada municipio. En este mapa hemos representado el número de habitantes de cada municipio por cada Kilómetro cuadrado, Siendo Collado Villalba la localidad con mayor densidad con 2462.34 Hab/km2 y Valdemequeda el menor con 15.2 Hab/km2

Relacionado con el anterior nos encontramos con el '''mapa de porcentaje de ocupación del núcleo urbano'''. Este mapa refleja el porcentaje de ocupación del área de los núcleos urbanos del municipio respecto a la superficie total de éste. Como podemos observar, esta relación aumenta según nos vamos acercando a la capital, debido a que la mayor parte de la actividad laboral se realiza en Madrid. Como resultado Pozuelo de Alarcón es el municipio con mayor ocupación con un 56.49% mientras que la población con menor porcentaje es Fresnedillas de la Oliva con un 0.8%.

Un indicador importante (para nosotros) que influye a la hora de escoger el mejor municipio para vivir es la '''cantidad de alumnos por centro'''. Este mapa está condicionado a su vez por la cantidad de población joven de cada municipio y el número de centros educativos existentes en la zona. Observando el mapa vemos que el municipio con mayor cantidad de estudiantes por colegio es Valdemorillo no es debido a que tenga una población joven relevante sino pocos centros educativos comparado con otros municipios) siendo el menor Fresnedillas de la oliva con una relación de 138 estudiantes por centro. Cabe destacar que los municipios con mayor número de centros educativos son Las Rozas y Pozuelo, como cabe esperar pues son los más poblados.

El mapa de los '''hospitales y centros de salud''', nos muestra la cantidad de centros de salud, consultorios y hospitales que hay en la zona Oeste de Madrid. La cantidad de estos se ve reflejada mediante una escala de azules, siendo los municipios con menor número de centros de salud los de color más claro y los municipios con mayor número de centros de color más oscuro.

Robledo de Chavela o Quijorna serían de los ayuntamientos con menos cobertura médica con un centro de salud mientras que por ejemplo Collado Villalba y Santa María de la Alameda los que más cobertura tendrían (teniendo hasta cuatro centros sanitarios).

Este mapa no nos otorga una visión objetiva de la cobertura médica ya que no hemos tenido en cuenta la población de cada municipio. Para ello hemos creado un mapa que nos muestra '''la relación de habitantes entre los centros sanitarios existentes'''. El municipio con mayor cantidad de habitantes por centro sanitario es Galapagar con 32294 habitantes por centro, mientras que el municipio con mejor cobertura médica a priori es Santa María de la Alameda con 300 habitantes por centro de salud. El mapa divide en dos categorías, los grandes municipios más poblados en marrón y los menos poblados en azul.

Hemos encontrado interesante hacer un mapa indicativo de la '''cantidad de población activa''' en cada municipio, creando dos mapas a su vez: Un primer mapa que representa el porcentaje de población activa respecto del propio municipio y otro mapa que indica la cantidad de población activa respecto a la población total de la zona Madrid oeste. La cantidad de población activa variará visualmente mediante una escala de verdes.

El municipio con mayor cantidad de población activa respecto a sus habitantes es Collado Villalba con un 65.97%, mientras que el municipio con menos cantidad es Boadilla del Monte con un 59.48%.

Se puede observar que la media de población activa por municipio es de un 62%.

Ahora bien, al hablar respecto la población total de la zona oeste, estos resultados varían. Las Rozas en este caso representa el 15.51% de toda la población activa de la zona de estudio, mientras que Fresnedillas de la Oliva es el ayuntamiento que menor cantidad de población activa aporta (únicamente un 0.25%).

Otros indicadores a mencionar, son la '''''cantidad de población joven y de tercera edad.'''''

Continuando con la idea anteriormente comentada para la población activa, hemos representado dos mapas por indicador. Un primer mapa representando el porcentaje de población respecto de la población Local (población del propio ayuntamiento) y otro de población respecto a la población total de los municipios de Madrid oeste.

Comencemos por los mapas relacionados con el indicador de '''población joven''':

Los dos ayuntamientos con mayor cantidad de población joven son Villanueva de la Cañada con un 32.3% de su población total y Boadilla del Monte con un 30.15%, observando así que conforme nos vamos acercando a la capital, en términos generales, la población joven incrementa.

Analizando este indicador de forma más global, aunque Villanueva de la Cañada es el municipio con mayor cantidad de población joven, Las Rozas es el municipio que más cantidad de población joven aporta a la zona Oeste con un 16.26% siendo el municipio que menos aporta, Valdemaqueda, con un 0.1%.

Por último nos encontramos con el indicador de '''población de tercera edad''':

El primer mapa representa la concentración de tercera edad respecto de cada municipio y apoyando la idea que he comentado anteriormente, conforme nos vayamos alejando de la capital, esta población ira aumentando hasta alcanzar valores máximos en Santa María de la Alameda con un 19.35%. El municipio con menor porcentaje de tercera edad es Villanueva del Pardillo con un 6.57%.

El segundo mapa nos da un porcentaje de tercera edad respecto a la población total de Madrid oeste, por lo que los resultados variarán debido a que la población de cada municipio es diferente.

El municipio con más peso respecto de este indicador en la zona Oeste es Pozuelo de Alarcón con un 16.68%, mientras que el ayuntamiento con menos peso es Valdemaqueda con un 0.19%.

Podemos añadir que como era esperado, los mapas de población joven, activa, y tercera edad son muy similares. A excepción de Santa María de la Alameda que en el mapa de la tercera edad destaca por encima de los municipios cuya población está por debajo de la media.

== Conclusiones ==

Además podemos determinar a partir de los resultados obtenidos, que la Autovía del Noroeste (A-6) es la responsable de la configuración de la población ya que mejora la comunicación de los municipios por los que pasa reduciendo el tiempo de viaje. Los municipios con mayor población, mayor densidad de población y mayor área de núcleos urbanos son los más cercanos a la capital y se va reduciendo conforme nos separamos de ésta. Podemos definir entonces el área de influencia de la autopista que será la suma de las áreas de los municipios por donde pasa y produce un gran aumento de la población. El área de influencia sobre la zona será de 378km2.

Creemos que existe la posibilidad de continuar con nuestro estudio realizándolo en las diferentes zonas de la Comunidad para obtener una comparativa de las distintas regiones de ésta. Además se pueden añadir distintos indicadores a los realizados en este trabajo y así poder ayudar a las personas interesadas en conocer mejor las distintas regiones de la Comunidad y determinar cuál es la más adecuada para cada persona.

En los municipios más cercanos a la capital, también se puede observar que hay una mayor inversión de dinero por parte del gobierno para infraestructuras, tanto médicas como educativas, lo que produce una necesidad de las personas que viven más cercanos a la zona de sierra de poseer vehículo propio, coste que se ve compensado porque el precio de la vivienda y del suelo se abarata según sea mayor la distancia a la ciudad de Madrid.

== Anejos ==

Anejo 1: Mapa de la localización de los ayuntamientos dentro del núcleo urbano

Anejo 2: Mapa de la localización de los centros educativos de los municipios

Anejo 3: Mapa de los hospitales y centros de salud de cada municipio

Anejo 4: Mapa que muestra en porcentajes la superficie ocupada del municipio

Anejo 5: Mapa de la densidad de población de Madrid Oeste

Anejo 6: Mapa que muestra la media de alumnos por centro educativo de cada municipio

Anejo 7: Mapa de la población de cada municipio entre la cantidad centros sanitarios disponibles

Anejo 8: Porcentaje de población joven del municipio

Anejo 9: Porcentaje de población joven en la zona oeste

Anejo 10: Porcentaje de población activa del municipio

Anejo 11: Porcentaje de población activa en la zona oeste

Anejo 12: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad del municipio

Anejo 13: Porcentaje de población que se encuentra en la tercera edad en la zona oeste.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_16/17]]

AYUNTAMIENTOS MADRID

2016-12-09T13:20:00Z

2014-12-04T18:57:41Z

Marta.ruizm: /* Lineas de coordenadas y vectores de la base natural */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico2.1.png|800px|centro]]

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

[[Archivo:Grafico2.2.png|800px|centro|Lineas de Coordenadas]]

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)}\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectoral: \(\nabla T\). Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos (partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

Para obtener estos datos, hemos llevado a cabo el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Grafico2.1.png

2014-12-04T18:56:27Z

Marta.ruizm:

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T18:54:31Z

Marta.ruizm: /* Lineas de coordenadas y vectores de la base natural */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

[[Archivo:Grafico2.2.png|800px|centro|Lineas de Coordenadas]]

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)}\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectoral: \(\nabla T\). Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos (partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

Para obtener estos datos, hemos llevado a cabo el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Grafico2.2.png

2014-12-04T18:53:26Z

Marta.ruizm:

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:52:50Z

Marta.ruizm: /* Masa total y centro de masas de la placa */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)}\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectoral: \(\nabla T\). Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos (partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

Para obtener estos datos, hemos llevado a cabo el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:51:45Z

Marta.ruizm: /* Visualización de un campo escalar en el sólido */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)}\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectoral: \(\nabla T\). Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos (partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:51:08Z

Marta.ruizm: /* Visualización de un campo vectorial en el sólido */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectoral: \(\nabla T\). Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos (partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:50:04Z

Marta.ruizm: /* Por el campo de desplazamiento */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectorail. Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos (partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:49:41Z

Marta.ruizm: /* Por el rotacional */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectorail. Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos(partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo \(\vec u(u,v)\). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:49:10Z

Marta.ruizm: /* Por la divergencia */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectorail. Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos(partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obtenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo u(u,v). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:48:48Z

Marta.ruizm: /* Por la divergencia */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectorail. Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos(partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo \(\vec u(u,v)\).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo u(u,v). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:47:37Z

Marta.ruizm: /* Masa total y centro de masas de la placa */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectorail. Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos(partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo u(u,v).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo u(u,v). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^{03}\)
\(y=0.0011\)

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:33:39Z

Marta.ruizm: /* Masa total y centro de masas de la placa */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectorail. Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos(partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo u(u,v).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo u(u,v). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es '''0.0242 u'''.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

\(x=5.425*e^03)\);
y=0.0011

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c)); %centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Placa con forma de corona elíptica. Grupo 12C

2014-12-04T09:30:36Z

Marta.ruizm: /* Masa total y centro de masas de la placa */

{{ TrabajoED |Deformaciones de una placa plana corona elíptica. Grupo 12C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Isabel García Bernardez, Mairena Pérez López, Marta Ruiz Martinez }}

== Introducción ==
La realización del trabajo consiste en estudiar las modificaciones producidas en el sólido que nos dan en el enunciado de dicho trabajo. El sólido que nos dan se trata de una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico:
'''x = cosh(u) cos(v)'''
'''y = sinh(u) sin(v)''' [[Archivo:Jajaja.png]]

[[Archivo:Graficomallado.campos.png|600px|sinmarco|centro]]

El sólido va a variar por la acción de dos cantidades físicas: la temperatura '''T(u,v)''', que depende de las dos coordenadas curvilíneas '''(u,v)''', y los desplazamientos '''u(x,y)'''. De esta forma, si definimos '''r0(u,v)''' como el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto '''(u,v)''' de la placa después de la deformación viene dada por: [[Archivo:Posicion1.png|800px|sinmarco|centro]]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos: [[Archivo:Desplazamiento.png|800px|sinmarco|centro]]

== Mallado del sólido ==
En primer lugar definiremos los vectores '''u''' y '''v''' tiendo como toma de muestreo h=1/10. Además sabemos que el comando 'meshgrid' define dos matrices en las coordenadas '''u''' y '''v''' de los puntos de la malla de la región entre las dos elipses. A continuación realizamos el programa en Matlab para visualizar nuestra placa:

{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %realizamos el mallado
axis([-4,4,-4,4]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Mallado12.png|500px|sinmarco|centro]]

== Lineas de coordenadas y vectores de la base natural ==
Los vectores de la base natural consiste en las derivadas parciales respectivas de las coordenadas elípticas dadas en el enunciado y con los cuales dibujaremos el campo de vectores en el mallado.

Para obtener dicha gráfica realizamos a continuación este programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(2)
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
hold on
Gvv=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
Gvu=sinh(U).*cos(V);
quiver(X,Y,Gvv,Gvu);
hold on
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural respecto gu
Guv=cosh(U).*sin(V);
quiver(X,Y,Guu,Guv);
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región sobre la que dibujamos
title('Vectores de la base natural'); %ponemos título a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

Las lineas de coordenadas asociadas al sistema de coordenadas elíptico son las que se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y hacer variar la segunda.

== Visualización de un campo escalar en el sólido ==

Siendo '''T(x,y)''' la función que determina la temperatura existente en nuestro sólido, \(T(x,y) = e^{-(x.^2+(y-2).^2)})\), definimos esta función en formato Matlab y realizamos la superficie usando el comando 'surf', le añadimos a la gráfica una escala de color con el comando 'colorbar' para poder indentificar mejor las diferentes temperaturas que se dan en nuestro sólido. Ya que la temperatura será un foco calorífico en el origen que nos vendrá dada según la posición.Diremos que los colores más cálidos nos indicaran las zonas de mayor temperatura, siendo el rojo el más cálido.En nuestro sólido existe un diferenciación clara de dicha zona, siendo el resto de la placa azul, color que determina los colores más fríos, es decir, menor temperatura.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(3);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %definimos nuestra función de temperatura
surf(X,Y,F); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la región donde dibujar
colorbar; %introducimos una escala de color a nuestro sólido
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:Grafico3.png|800px|marco|centro]]

== Visualización de un campo vectorial en el sólido ==

A continuación, tenemos que calcular el gradiente de la función temperatura, con el que obtenemos un campo vectorail. Ésta nos aporta las direcciones de máxima variación de la temperatura en cada punto de nuestro sólido. Dicha dirección está representada por las flechas que se pueden ver en el gráfico, lo que nos indica que la mayor diferencia de temperatura se dará hacia el interior de la placa, zona superior (como pudimos observar en el gráfico del apartado anterior). Además, se puede observar que las curvas de nivel son siempre perpendiculares a los vectores que definen el gradiente, porque es perpendicular al vector tangente a la curva (y por lo tanto, a la respectiva curva de nivel), luego su producto escalar resulta 0.

Por otro lado, las curvas de nivel no tienen una separación lineal entre ellas. Es decir, a medida que se avanza hacia la zona de máxima variación de la temperatura (máximo gradiente de la función), la separación entre ellas se hace más pequeña. Si la placa contara con una pendiente lineal, las curvas de nivel serían equidistantes.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos el matrices U y V
figure(4);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
F=exp(-(X.^2+(Y-2).^2)); %nuestra función de temperatura
contour(X,Y,F); %definimos las lineas de nivel de la temperatura en el mallado
hold on %superponemos los gráficos
%El gradiente estará definido por los vectores Fx y Fy (sus derivadas
%parciales)
Fx=(-2*X).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
Fy=(-2.*(Y-2)).*exp(-(X.^2+(Y-2).^2));
quiver(X,Y,Fx,Fy); %creamos el campo de vectores
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %ajustamos la región en la que dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
colorbar; %damos una escala de color a nuestro sólido
}}

[[Archivo:Graficotemperatura.png|1000px|marco|centro]]

== Campo de desplazamiento ==

El campo de desplazamiento se repite dos veces en nuestra corona elíptica, tiene una periodicidad diferenciable , se puede ver claramente en nuestro gráfico siguiente

{{matlab|codigo=
h=0.1; %tomamos espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices del mallado
figure(5);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo1.png|600px|centro]]

== Deformación de la placa ==
=== Por el campo de desplazamiento ===
A continuacón comparamos la gráfica del sólido inicial, y la del sólido con el campo de desplazamientos aplicado. Para ello, utilizamos el comando "subplot". Podemos ver que se da un mayor desplazamiento en el perímetro interior del sólido, ya que los módulos de los vectores del campo son mayores. El sólido es desplazado en todos sus puntos(partículas) en mayor o menor medida.
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos nuestro espacio de muestro
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos las matrices
figure(6)
subplot(1,3,1) %primera subventana de 3 en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %dibujamos el mallado
title('solido inicial') %titulo de la primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos las region del grafico
view(2) %punto de vista del mallado desde arriba
subplot(1,3,2); %segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural respecto gv
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %mallado del desplazamiento
title('solido con desplazamiento') %titulo de la segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %definimos la region del grafico
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %tercera subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %vectores de la base natural
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RY); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo de desplazamiento
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos un campo de vectores
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %ponemos titulo a nuestro ultimo gráfico
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la regon donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo2.png|1000px|centro]]

=== Por la divergencia ===

Al calcular la divergencia del campo, obenemos el valor 0. Este operador diferencial mide el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos.Esto nos indica que el sólido estudiado no sufrirá cambios de volumen debido al desplazamiento producido sobre él por el campo u(u,v).

=== Por el rotacional ===
Por otro lado, el operador rotacional nos aporta la capacidad de rotación alrededor de un punto en el sólido (giros) producida, en nuestro caso, por el campo u(u,v). En la gráfica se puede observar que el módulo del rotacional es mayor en el interior del sólido. En el gráfico a su derecha se muestra el campo con el operador rotacional aplicado sobre él. Se puede comprobar cómo la inducción al giro alrededor de un punto se aplica en las zonas superior e inferior del interior del sólido, dejando zonas sin ningún tipo de deformación por el operador rotacional.

{{matlab|codigo=
h=0.1; %toma de muestreo
u=0.5:h:2; %definimos los vectores u y v con separacion h
v=0:h:2*pi+h;
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(8)
subplot(1,2,1) %primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
ROT=(1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %establecemos la funcion del rotacional
surf(X,Y,ROT); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region sobre la que dibujamos
colorbar %damos una escala de color a nuestra superficie
title('Rotacional del campo del desplazamiento'); %ponemos titulo a la figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=-cosh(U).*sin(V); %definimos los vectores en la base natural (gv)
YY=sinh(U).*cos(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %para superponer la siguiente figura con la anterior
X=cosh(U).*cos(V);
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX); %vectores del campo u dado
FY=((U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %dibujamos el campo de vectores
title('Solido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento'); %añadimos titulo a nuestra figura ultima
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]);%seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo3.png|900px|centro]]

== Nuevo campo de desplazamiento ==
Nos aportan un nuevo campo de desplazamiento que de nuevo depende de los parámetros '''u,v'''. Nuestro campo produce una nueva fuerza, y con ello, un nuevo desplazamiento en el sólido inicial. Podemos observar la representación del desplazamiento de dicho campo en el siguiente gráfico, que representa su campo de vectores, del cual al observamos no vemos que tenga ninguna periodicidad. Vemos que las partículas se mueven haciendo el interior del agujero, provocando un cambio en el volumen.

Escribimos el programa siguiente en Matlab para obtener dicho gráfico:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(9);
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %establecemos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo4.png|800px|centro]]

=== Deformación por el desplazamiento ===
Al darnos un nuevo campo de desplazamiento, el sólido inicial variará de forma distinta al caso anterior. Al fijarnos en las gráficas, comparando el sólido antes y después del desplazamiento junto con el campo de vectores, observamos que se produce una contracción, ya que la figura pasa a ser mas pequeña. Siendo mayor la contracción en la parte cercana al agujero, ya que es la zona en la que vemos que se juntan más vectores del campo.

Para realizar las tres gráficas hemos hecho el siguiente programa en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %establecemos un espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %matrices U y V
figure(10)
subplot(1,3,1) %abrimos primera subventana de tres en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); %mallado
title('solido inicial') %incorporamos titulo a nuestra primera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,2); %abrimos segunda subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
title('solido con desplazamiento') %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2) %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,3,3); %abrimos tercera subventana de tres en una fila
Guu=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
Guv=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la siguiente figura a la anterior
X=cosh(U).*cos(V); %parametrización del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guu);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(Guv);
quiver(X,Y,FX,FY); %realizamos el campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra tercera figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo5.png|1000px|centro]]

=== Deformación por la divergencia ===
El operador de la divergencia mide el cambio de volumen local en el sólido debido al campo de desplazamientos. Si además ponemos en la misma pantalla la gráfica de la divergencia en el sólido y la del campo de desplazamientos nos ayudará a la observación de dichos cambios:
* Perderá volumen en las zonas del sólido que se contraen. Es decir, en las zonas en las que se observan mayor cantidad de vectores de desplazamiento al ser su módulo menor, llegando a empujarse las unas a las otras lo que provoca una contracción del sólido en esos puntos.
* Aumentará volumen en las zonas del sólido que se expandan. Es decir, en las zonas en las que el módulo de los vectores de desplazamiento sea mayor llegando a separarse, lo que provoca que se ensanche en esos puntos. Pero podemos observar en la leyenda de nuestro gráfico que no va hay valores positivos, ya que nos damos cuenta de que no hay zonas en las que se separen los vectores. El sólido entero se contrae, en mayor o menos medida.
Por estas razones tiene sentido que la divergencia sea negativa en los puntos cercanos al agujero, y cercana a cero en los puntos más alejados, ya que la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en el que los vectores se juntan o se separan. Y como los vectores de mayor módulo se encuentran en los puntos más alejados, la divergencia se aproxima más a cero en dichos puntos.

Para crear ambos gráficos, el de la divergencia y el del campo de desplazamientos, hemos realizado el programa en Matlab puesto a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %definimos el espacio de muestreo
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi+h; %definimos los vectores u y v con separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v); %definimos matrices U y V
figure(11)
subplot(1,2,1) %abrimos primera subventana de dos en una fila
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
DIV=(-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2); %definimos la divergencia del solido
surf(X,Y,DIV); %dibujamos la superficie
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde vamos a dibujar
colorbar %damos una escala de color a nuestra anterior superficie
title('Divergencia del campo del desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra anerior figura
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
subplot(1,2,2); %abrimos la segunda subventana
XX=sinh(U).*cos(V); %vectores base natural
YY=cosh(U).*sin(V);
RX=(cosh(U).*cos(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
RY=(sinh(U).*sin(V))+(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
mesh(RX,RY,0*RX); %realizamos el mallado
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
hold on %superponemos la anterior figura a la siguiente
X=cosh(U).*cos(V); %parametrizacion del mallado
Y=sinh(U).*sin(V);
FX=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(XX);
FY=(-(U-0.5)./((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*(YY);
quiver(X,Y,FX,FY); %campo vectorial
title('solido con desplazamiento y el campo de desplazamiento'); %incorporamos titulo a nuestra segunda figura
axis([-3.8,3.8,-3.8,3.8]); %seleccionamos la region donde dibujamos
view(2); %situamos el punto de vista desde arriba
}}

[[Archivo:pantallazo6.png|1000px|centro]]

=== Deformación por el rotacional ===
Al calcular el rotacional, nos saldrá 0. Esto tiene sentido, ya que como hemos podido observar en el gráfico de desplazamiento provocado por '''u'(u,v)''', se produce un variación de volumen pero no hay ningun signo que muestre que se haya producido un giro en el sólido y por lo tanto el rotacional tendrá que ser cero, ya que éste operador mide la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación a un punto.
También sabemos que al tener una curva cerrada y un campo vectorial, realizamos el rotacional, este campo irá en la dirección del vector tangente a nuestra curva. Medimos la circulación media de las partículas a lo largo de nuestro campo cerrado, en este caso particular, al valer 0 nuestro rotacional la divergencia(ver figura anterior), produce una deformación en nuestro sólido inicial pero este no sufre ningún giro.

== Masa total y centro de masas de la placa ==
Para poder hallar la masa utilizamos el concepto de integración,necesitamos constituir la masa, un todo, a partir de pequeñas partes, por eso utilizamos el comando 'sum' en MATLAB, con una precisión de h/1000, obteniendo un resultado aproximado muy aceptable. En nuestro caso, la masa total de nuestra placa es 0.0242 u.

Para calcular el centro de masas, debemos incluir en nuestra integrar las coordenadas x,y. Además, dicha integral será dividida por la masa total, obteniendo así un resultado en parámetros x e y de nuestro centro de masas. El resultado del centro de masas es:

x=5.425e+03;
y=0.0011

{{matlab|codigo=
%Calculamos la masa total del sóldio
h=1/1000;
u=0.5:h:2;
v=0:h:2*pi; %definimos nuestros vectores u y v con una separacion h
[U,V]=meshgrid(u,v);
F=((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2));
a=h^2*F;
masa=sum(sum(a)) %masa total
%Calculamos el centro de masas del sólido
F1=(cosh(U).*cos(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
b=h^2*F1;
xi=sum(sum(b));
x=(xi)./masa %centro de masas eje x
F2=(sinh(U).*sin(V)).*(((cosh(U).*cos(V)).*((cosh(U).^2)-(cos(V).^2))).*exp((-1)./((cosh(U)).^2-(cos(V)).^2)));
c=h^2*F2;
yi=sum(sum(c));%centro de masas eje y
y=(yi)./masa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]