MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T17:56:37Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg]]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:z018.jpg]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Zzz.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:tensionesbc.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente.

[[Archivo:resolucion.jpg]][[Archivo:massa.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]
Así con la función de densidad obtenemos que la masa total del sólido es 800.88

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T17:55:19Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg]]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Zzz.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:tensionesbc.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente.

[[Archivo:resolucion.jpg]][[Archivo:massa.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]
Así con la función de densidad obtenemos que la masa total del sólido es 800.88

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T17:53:45Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg]]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Zzz.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:tensionesbc.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente.Así con la función de densidad obtenemos que la masa total del sólido es 800.88

[[Archivo:rresolucion.jpg]][[Archivo:massa.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Archivo:Massa.jpg

2019-12-12T17:51:28Z

Marta Nogal:

Archivo:Resolucion.jpg

2019-12-12T17:50:19Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T17:42:34Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg]]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Zzz.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:tensionesbc.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Archivo:Tensionesbc.jpg

2019-12-12T17:41:20Z

Marta Nogal:

Archivo:Rrr.jpg

2019-12-12T16:30:18Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T14:08:24Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg]]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Zzz.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T14:06:42Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg]]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Zzz.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Archivo:Zzz.jpg

2019-12-12T14:05:18Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T14:02:11Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg]]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T14:00:37Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:ssss.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Archivo:Ssss.jpg

2019-12-12T13:58:54Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T13:45:35Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:punto4.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-12T13:43:31Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:punto4.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Archivo:Punto4.jpg

2019-12-12T13:39:44Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T16:49:07Z

Marta Nogal:

{{ TrabajoED | VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN UN CUARTO DE ANILLO. Grupo 5C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | José Manuel Lazaro Ortega, Alejandro Requena Martín, Alberto Forte Ulloa, Marta Nogal Prata }}

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T01:33:07Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z0025.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

Archivo:Z0025.jpg

2019-12-05T01:29:55Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T01:28:47Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z024.jpg]][[Archivo:Z025.jpg|800px|thumb|right|TENSOR DE TENSIONES]]

[[Archivo:Z025.jpg]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T01:10:21Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.

Para ello estudiaremos en nuestro sólido:
# MALLADO DE LA SUPERFICIE
# DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
# GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
# CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
# MOVIMIENTO DEL SOLIDO
# DIVERGENCIA
# ROTACIONAL
# TENSOR DE TENSIONES
# TENSIONES TANGENCIALES
# TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
# TENSIÓN DE VON MISES
# MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z024.jpg]]

[[Archivo:Z025.jpg]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T01:05:23Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.
.

Para ello estudiaremos en nuestro solido:
MALLADO DE LA SUPERFICIE
DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
MOVIMIENTO DEL SOLIDO
DIVERGENCIA
ROTACIONAL
TENSOR DE TENSIONES
TENSIONES TANGENCIALES
TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
TENSIÓN DE VON MISES
MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|1000px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z024.jpg]]

[[Archivo:Z025.jpg]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]][[Archivo:Z031.jpg|800px|thumb|right|TENSIÓN DE VON MISES]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

Archivo:Z0027.jpg

2019-12-05T01:00:46Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T01:00:15Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.
.

Para ello estudiaremos en nuestro solido:
MALLADO DE LA SUPERFICIE
DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
MOVIMIENTO DEL SOLIDO
DIVERGENCIA
ROTACIONAL
TENSOR DE TENSIONES
TENSIONES TANGENCIALES
TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
TENSIÓN DE VON MISES
MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z0014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]][[Archivo:Z017.jpg|800px|thumb|right|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]][[Archivo:Z020.jpg|800px|thumb|right|ROTACIONAL DE EL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z024.jpg]]

[[Archivo:Z025.jpg]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]][[Archivo:Z0027.jpg|800px|thumb|right|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL gp]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]]

[[Archivo:Z031.jpg]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]][[Archivo:Z033.jpg|800px|thumb|right|MASA TOTAL DE EL SÓLIDO]]

Archivo:Z0014.jpg

2019-12-05T00:46:42Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T00:45:27Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.
.

Para ello estudiaremos en nuestro solido:
MALLADO DE LA SUPERFICIE
DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
MOVIMIENTO DEL SOLIDO
DIVERGENCIA
ROTACIONAL
TENSOR DE TENSIONES
TENSIONES TANGENCIALES
TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
TENSIÓN DE VON MISES
MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z007.jpg|800px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]][[Archivo:Z011.jpg|800px|thumb|right|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]][[Archivo:Z014.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO EN REPOSO]]

[[Archivo:Z013.jpg]][[Archivo:Z015.jpg|800px|thumb|right|SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO]]

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]]
<gallery>
Z017.jpg|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<gallery>
Z020.jpg|ROTACIONAL
</gallery>

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z024.jpg]]

[[Archivo:Z025.jpg]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]]

[[Archivo:Z027.jpg]]

[[Archivo:Z028.jpg]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]]

[[Archivo:Z031.jpg]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]]

[[Archivo:Z033.jpg]]

Archivo:Z007.jpg

2019-12-05T00:32:55Z

Marta Nogal:

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T00:32:30Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.
.

Para ello estudiaremos en nuestro solido:
MALLADO DE LA SUPERFICIE
DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
MOVIMIENTO DEL SOLIDO
DIVERGENCIA
ROTACIONAL
TENSOR DE TENSIONES
TENSIONES TANGENCIALES
TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
TENSIÓN DE VON MISES
MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].

[[Archivo:Z01.jpg]][[Archivo:Z02.jpg|400px|thumb|right|MALLADO DE UN CUARTO DE ANILLO]]

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]][[Archivo:Z04.jpg|400px|thumb|right|DISTRIBUCION DE LA TEMPERATURA]]
[[Archivo:Z05.jpg|400px|thumb|right|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO]

Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]][[Archivo:Z07.jpg|400px|thumb|right|GRADIENTE DE TEMPERATURA ]],[[Archivo:Z08.jpg|400px|thumb|right|GRADIENTE APLICADO A CURVAS DE NIVEL]]

Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<gallery>
Z010.jpg|VECTOR DE DESPLAZAMIENTO
Z011.jpg|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<gallery>
Z014.jpg|SÓLIDO EN REPOSO
Z015.jpg|SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]]
<gallery>
Z017.jpg|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<gallery>
Z020.jpg|ROTACIONAL
</gallery>

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z024.jpg]]

[[Archivo:Z025.jpg]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]]

[[Archivo:Z027.jpg]]

[[Archivo:Z028.jpg]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]]

[[Archivo:Z031.jpg]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]]

[[Archivo:Z033.jpg]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-05T00:14:31Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.
.

Para ello estudiaremos en nuestro solido:
MALLADO DE LA SUPERFICIE
DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
MOVIMIENTO DEL SOLIDO
DIVERGENCIA
ROTACIONAL
TENSOR DE TENSIONES
TENSIONES TANGENCIALES
TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
TENSIÓN DE VON MISES
MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].
[[Archivo:Z01.jpg]]
<gallery>

Z02.jpg|MALLADO DE CUARTO DE ANILLO
</gallery>

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura
[[Archivo:Z03.jpg]]

<gallery>
Z04.jpg|DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
Z05.jpg|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO
</gallery>
Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.

[[Archivo:Z006.jpg]]

<gallery>
Z07.jpg|GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
Z08.jpg|GRADIENTE APLICADO EN LAS CURVAS DE NIVEL

</gallery>
Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente

[[Archivo:Z009.jpg]]

[[Archivo:Z012.jpg]]

<gallery>
Z010.jpg|VECTOR DE DESPLAZAMIENTO
Z011.jpg|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:

[[Archivo:Z010.jpg]]

[[Archivo:Z013.jpg]]

<gallery>
Z014.jpg|SÓLIDO EN REPOSO
Z015.jpg|SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
[[Archivo:Z016.jpg]]
<gallery>
Z017.jpg|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido

[[Archivo:.jpgZ018]]

[[Archivo:Z019.jpg]]

<gallery>
Z020.jpg|ROTACIONAL
</gallery>

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:

[[Archivo:Z021.jpg]]

Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.

[[Archivo:Z022.jpg]]

Representaremos las tensiones del sÓlido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2

[[Archivo:Z023.jpg]]

[[Archivo:Z024.jpg]]

[[Archivo:Z025.jpg]]

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

[[Archivo:Z026.jpg]]

[[Archivo:Z027.jpg]]

[[Archivo:Z028.jpg]]

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión

[[Archivo:Z030.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

[[Archivo:Z029.jpg]]

[[Archivo:Z031.jpg]]

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente

[[Archivo:Z032.jpg]]

[[Archivo:Z033.jpg]]

VISUALIZACION CAMPOS ESCALARES GRUPO 5.C

2019-12-04T23:59:27Z

Marta Nogal:

<big><big>'''VISUALIZACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES EN ELASTICIDAD'''</big></big>

En la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones conexas planas. Siendo un campo escalar una función de varias variables en la que a cada punto del solido se un escalar , mientras que un campo vectorial asignara a cada punto un vector
Particularmente estudiaremos diferentes campos en un solido circular con forma de un cuarto de anillo situado en el primer cuadrante y comprendido entre los radios 1 y 3.
Para facilitar el trabajo con dicho sólido usaremos coordenadas cilíndricas con radio 1 y 3 y ángulo comprendido entre 0 y π/2.
.

Para ello estudiaremos en nuestro solido:
MALLADO DE LA SUPERFICIE
DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
MOVIMIENTO DEL SOLIDO
DIVERGENCIA
ROTACIONAL
TENSOR DE TENSIONES
TENSIONES TANGENCIALES
TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL
TENSIÓN DE VON MISES
MASA TOTAL DEL SÓLIDO

<big>'''1. MALLADO DE UNA SUPERFICIE CIRCULAR'''</big>

El mallado expresa los puntos interiores de un solido. Por tanto representaremos una malla que refleje dichos puntos de una superficie circular centrada en el origen delimitada por las circunferencias de radio 1 y 3 y ángulo de 0 a π/2. Dicho mallado lo expresaremos en coordenadas cilíndricas siendo p[1,3] y θ Є [0,π/2].
estableciendo los limites de los ejes de representación en (x, y) ∈ [−1, 4] × [-1, 4].
<gallery>
Z01.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z02.jpg|MALLADO DE CUARTO DE ANILLO
</gallery>

ES IMPORTANTE REALIZAR EL MALLADO DEL SOLIDO A ESTUDIAR PUES PRETENDEMOS OBTENER EL MAYOR NUMERO DE PUNTOS DEL OBJETO PARA APLICAR A CADA UNO DE ELLOS LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES CORRESPONDIENTES
Podemos observar que la frontera izquierda del anillo no llega a completar el ángulo de π/2. Este error se debe a la imprecisión del paso de muestro de h=0.1, si el valor de dicha variable fuera menor por ejemplo h=0.01 observaríamos como si se completaría el cuarto de anillo.

<big>'''2. DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS A LO LARGO DEL CUARTO DEL ANILLO.'''</big>

La temperatura se distribuye dentro del cuarto de anillo siguiendo la siguiente función T(x, y) = (y + 2)x 2
Mediante curvas de nivel que observamos en la siguiente imagen, podemos intuir la distribución de temperaturas a lo largo del solido, ya que dichas curvas muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura

<gallery>
Z03.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z04.jpg|DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA
Z05.jpg|CURVAS DE NIVEL DEL ANILLO
</gallery>
Observamos en la primera imagen la distribución de temperatura ,mientras que en la gráfica de la izquierda las curvas de nivel del solido.

Gracias al comando máx de MaTlab obtenemos que la máxima temperatura alcanzada por el sólido tiene valor de 24.1902 K

<big>'''3. GRADIENTE DE LA TEMPERATURA ∇T'''</big>

Gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia. La unidad de gradiente térmico en el SI es [K/m]. Normalmente, la existencia de un gradiente térmico provoca la transferencia de calor desde los puntos mas calientes del cuerpo hacia los mas fríos. El módulo de los vectores del gradiente representa la rapidez con la que varía la
temperatura , es decir apunta hacia
donde la derivada dirección es máxima.
<gallery>
Z006.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z07.jpg|GRADIENTE DE LA TEMPERATURA
Z08.jpg|GRADIENTE APLICADO EN LAS CURVAS DE NIVEL
</gallery>
Gráficamente podemos observar que los vectores del gradiente son perpendiculares a la superficie del sólido

<big>'''4. CAMPO DE DESPLAZAMIENTO'''</big>

Cada vector del campo de desplazamiento representa la fuerza aplicada en cada punto del solido y nos indica a dirección de desplazamiento que lleva cada uno.
Consideramos el campo de desplazamiento u ⃗con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que ∇·u= θ(2 − 1/ρ)/5. Para calcular el campo de desplazamiento lo resolveremos primero analíticamente
[[Archivo:Z009.jpg]]
<gallery>
Z010.jpg|VECTOR DE DESPLAZAMIENTO
Z011.jpg|CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
Z012.jpg|RESOLUCION NUMÉRICA
</gallery>

<big>'''5. SÓLIDO EN REPOSO Y SOLIDO DESPLAZADO'''</big>

En el apartado anterior calculamos el vector desplazamiento del sólido u con condiciones establecidas como que los puntos situados en ρ = 1 no sufren desplazamiento y que
∇· u= θ(2 − 1/ρ)/5.

Con estas condiciones obteníamos que la expresión del campo de desplazamiento es:
<gallery>
Z013.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z014.jpg|SÓLIDO EN REPOSO
Z015.jpg|SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''6. DIVERGENCIA ∇·u'''</big>

La divergencia del campo térmico mide la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea, por tanto si el campo tiene ‘’ fuentes’’ tendrá signo positivo por lo contrario, si tiene ‘’sumideros’’ tendrá signo negativo.
Podríamos decir que la divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la temperatura al exterior en cada punto, en el caso de ser igual a cero, describe al flujo incompresible de la temperatura, también conocido como campo solenoidal

La divergencia se expreso anteriormente con la siguiente expresión ∇· u ⃗= (θ(2 - 1/p))/5 evaluaremos los máximos mínimos y nulos de la divergencia con el gradiente de la divergencia que adquiere la siguiente expresión
'''∇(∇·(u))'''= θ/(5ρ^2 ) '''(gρ)''' +(2-1/ρ)/5 1/ρ^2 '''(gθ)'''+0 '''(gz)''' .

Puesto que e dominio de ((ρ,σ)ϵ[(1,3)x(0,π/2] la derivada direccional de (gρ) y (gθ) son positivas, también podemos deducir que cuanto mayor sean el valor de dichas variables mayor será su divergencia, alcanzado su divergencia máxima en (ρ=3,σ=π/2) ∇· u ⃗= 0.5236 , siendo así su valor menor en θ=0 con ∇· u ⃗= 0 conocido como dijimos antes como campo solenoidal.
<gallery>
Z016.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z017.jpg|DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTO
</gallery>

<big>'''7. ROTACIONAL ∇ x u'''</big>

Rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como circulación el vector sobre el camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
En el caso de que el campo fura conservativo el rotacional sería cero.

Así pues, procederemos a calcular el rotacional analíticamente del campo de desplazamientos (u ) en todos los puntos del sólido
<gallery>
Z018.jpg|CALCULO DE EL ROTACIONAL
Z019.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z020.jpg|ROTACIONAL
</gallery>

<big>'''8. TENSOR DE TENSIONES'''</big>

En mecánica de medios continuos ''σ'' representa el tensor de tensiones que define la distribución de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i , es decir i · σ ·i , las tensiones normales en la dirección que marca el eje j , es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k , es decir k · σ · k
Esta distribución se puede calcular mediante la fórmula:
<gallery>
21.jpg|DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES
</gallery>
Para resolver dicha ecuación trabajaremos con matrices para simplificar el cálculo del tensor de tensiones.
<gallery>
Z022.jpg|RESOLUCIÓN MATRICIAL
</gallery>

Representaremos las tensiones del solido en las tres dimensiones del espacio, trabajando en coordenadas cilíndricas . por lo que tendremos que calcular las tensiones respecto a las direcciones dadas por los vectores unitarios del sistema cilíndrico [(gρ ),(gσ) ,(gz)]. Para ello multiplicaremos cada componente de la matriz σ por cada uno de los vectores de la base física. Siendo la tensión normal a la dirección gj=(gi)*σ*(gj )

Puesto que σ es simétrica las tensiones tangenciales son iguales
τ(1,2)=τ(2,1)=((ρ-1))/5ρ^2
<gallery>
Z023.jpg|TENSIONES EN LA DIRECCIÓN DE LA BASE CILÍNDRICA
</gallery>
<gallery>
Z024.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z025.jpg|TENSIONES EN 2D Y 3D
</gallery>

<big>'''9.TENSIONES TANGENCIALES Y TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL (gρ)''' </big>

El esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado) es aquel que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Si la matriz del tensor de tensiones es simétrica entonces podemos considerar que las tensiones tangenciales son iguales

<gallery>
Z026.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z027.jpg|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A gρ EN 3D
Z028.jpg|TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A gρ EN 2D
</gallery>

<big>'''10. TENSIÓN DE VON MISES''' </big>

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto del solido deformable, mediante la siguiente expresión
<gallery>
Z030.jpg|ECUACION VON MISES (TENSIONES PRINCIPALES)
</gallery>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
Con el comando max obtenemos la tensión máxima de Von Mises que resulta ser 0,4793

<gallery>
Z029.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z031.jpg|TENSIÓN DE VON MISES
</gallery>

<big>'''11. MASA TOTAL DEL SÓLIDO''' </big>

Calcularemos la masa total del solido a través de la función densidad expresada en coordenadas cartesianas a través de la ecuación d(x,y)=1+e ^[−|x|/(y+1)^2] . Así calcularemos la masa aproximando la integral correspondiente numéricamente
<gallery>
Z032.jpg|RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Z033.jpg|MASA TOTAL DEL SÓLIDO
</gallery>

Archivo:Z009.jpg

2019-12-04T23:55:10Z

Marta Nogal:

Archivo:Z033.jpg

2019-12-04T23:06:09Z

Marta Nogal:

Archivo:Z032.jpg

2019-12-04T23:05:52Z

Marta Nogal:

Archivo:Z031.jpg

2019-12-04T23:05:36Z

Marta Nogal:

Archivo:Z030.jpg

2019-12-04T23:05:00Z

Marta Nogal:

Archivo:Z029.jpg

2019-12-04T23:04:34Z

Marta Nogal:

Archivo:Z028.jpg

2019-12-04T23:03:37Z

Marta Nogal:

Archivo:Z027.jpg

2019-12-04T23:03:18Z

Marta Nogal:

Archivo:Z026.jpg

2019-12-04T23:03:01Z

Marta Nogal:

Archivo:Z025.jpg

2019-12-04T23:02:29Z

Marta Nogal:

Archivo:Z024.jpg

2019-12-04T23:02:08Z

Marta Nogal:

Archivo:Z023.jpg

2019-12-04T23:01:47Z

Marta Nogal:

Archivo:Z022.jpg

2019-12-04T23:01:17Z

Marta Nogal:

Archivo:Z021.jpg

2019-12-04T23:00:56Z

Marta Nogal:

Archivo:Z020.jpg

2019-12-04T23:00:36Z

Marta Nogal:

Archivo:Z019.jpg

2019-12-04T23:00:09Z

Marta Nogal:

Archivo:Z018.jpg

2019-12-04T22:59:48Z

Marta Nogal:

Archivo:Z017.jpg

2019-12-04T22:59:19Z

Marta Nogal:

Archivo:Z016.jpg

2019-12-04T22:58:44Z

Marta Nogal: