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Campos de temperaturas y deformaciones en un cuarto de anillo (32)

2023-12-14T14:23:17Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 32 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Maleno Ayala, Rubén
* Sánchez Gil, Miguel
* González López, Mario
* Ruiz López, Álvaro}}
Un '''Campo de Temperaturas''' es un '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar Campo Escalar]''' aplicado a un objeto físico con el objetivo de representar las temperaturas propias de los puntos del objeto.

La representación visual de un campo escalar puede hacerse mediante programas como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], los cuales utilizan operaciones escalares y elementos matriciales para realizar cálculos complejos.

== Mallado de la placa (Rubén) ==
Para generar el mallado del '''cuarto de anillo circular''' usaremos el comando ''meshgrid'' en Matlab.
El cuarto de anillo está centrado en \((0,0)\) y sus radios son \(R_{1} = 1\) y \(R_{2} = 2\). Además, se encuentra en el plano \(y ≥\frac{|x|}{2}\).

Su representación está encuadrado en la región \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\).
El paso de muestreo se refiere a las subdivisiones deseadas por unidad en ambos ejes, en este caso, \(h = 2/10\).

Ahora pasaremos estas características a coordenadas cilíndricas, donde \(ρ\) ''conservará'' el radio del anillo y \(θ\) dependerá del ángulo que forme las rectas \(y =\frac{x}{2}\) e \(y =\frac{-x}{2}\) con los ejes \(X\) e \(Y\), cuyo valor es \(α = tg(\frac{1}{2}) ≈ 26,6°\), por tanto:

<center><math>(ρ,θ) ∈ [1; 2] × [α,π-α]</math></center>

[[Archivo:Grupo32 anillo.png|350px|thumb|right|''Figura 1'']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
distancia = 1:paso_muestreo:2;
a = atan(1/2);
angulo = linspace(a,pi-a,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(distancia,angulo);
% Conversión a cilíndricas
x = D.*cos(A);
y = D.*sin(A);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
% Definición del título
title('CUARTO DE ANILLO CIRCULAR')
}}

== Curvas isotermas (Ruiz) ==


Una vez hemos representado el sólido, podemos dibujar las curvas de nivel de la temperatura. La distribución de la temperatura en el sólido viene dada por el campo escalar: <center><math>T(x,y)=cos(x^2)+sin((y−1)^2)</math> </center>

A partir de este campo escalar, podemos definir el gradiente de T como <math>\nabla T</math>. El gradiente de nuestro campo escalar indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su módulo indica cuánto aumenta.

Este gradiente se puede calcular mediante la siguiente fórmula: <center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k</math></center>
Con lo cual, obtenemos la siguiente expresión: <center><math>\nabla T = -2xsin(x^2)\vec i+2cos((y-1)^2)(y-1)\vec j</math></center>
Para visualizar las curvas isotermas, se ha empleado el siguiente código.
[[Archivo:Curvas_Isotermas_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Curvas de Nivel''' Curvas de nivel de la función temperatura T ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cilíndricas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Campo de temparatura
T=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
% Representación de las curvas de nivel
figure
mesh(X,Y,0*X);
hold on
contour(X,Y,T,20)
colorbar
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')
axis ([-3, 3, -1, 3,])
view(0,90);
hold off
Tmax=max(max(T));
}}
A partir de la imagen superior derecha, se puede ver que las temperaturas más altas se encuentran en la parte superior del sólido. En concreto, la temperatura máxima es de 1.8150 grados en el punto (0,2), obtenido en la línea 24 del código superior.

A continuación, habiendo calculado previamente el gradiente de la temperatura, se puede comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradiente_Curvas_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Gradiente de la temperatura''' Gradiente y curvas de nivel de la función temperatura T ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cilíndricas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Campo de temparatura
T=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
% Representación de las curvas de nivel
figure
mesh(X,Y,0*X);
hold on
% Cálculo del gradiente
Gx=-2.*X.*sin(X.^2);
Gy=2.*cos((Y-1).^2).*(Y-1);
contour(X,Y,T,20)
quiver(X,Y,Gx,Gy);
colorbar
title('CURVAS DE NIVEL Y GRADIENTE')
axis ([-3, 3, -1, 3,])
view(0,90);
hold off
}}

== Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) ==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec Q</math> viaja siguiendo la expresión: <math> \vec Q =-k▽T</math>, siendo k la constante de conductividad térmica del material.
Para este ejemplo supondremos la constante de conductividad térmica de la placa como k=1, por lo que nuestra ecuación queda como: <math>\vec Q=-▽T</math>.

Tomando el gradiente del campo de temperaturas en coordenadas cartesianas: <math>▽T(x,y)=-2xsen(x^2)\vec i +2(y-1)cos((y-1)^2)\vec j </math>:

<center><math>\vec Q =2xsen(x^2)\vec i -2(y-1)cos((y-1)^2)\vec j </math></center>

[[Archivo:ENERGÍA CALORÍFICA DE LA PLACA.png|600px|thumb|right|'''''Energía calorífica de la placa''' '']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
ang = atan(1/2);
theta = linspace(ang,pi-ang,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(rho,theta);

% Conversión a cartesianas
X = D.*cos(A);
Y = D.*sin(A);
mesh(X,Y,0*X);

% Aplicación del campo vectorial a los puntos de la placa
Qx = 2.*X.*sin(X.^2);
Qy = 2.*(Y-1).*cos((Y-1).^2);
hold on
quiver(X,Y,Qx,Qy);
hold off

view(2)
axis([-3,3,-1,3])
% Definición del título
title('ENERGÍA CALORÍFICA DE LA PLACA')
}}

== Representación del campo de vectores en los puntos del sólido (Miguel)==
Representamos el campo de vectores de deslizamiento en el cuarto de anillo, para eso nos ofrecen un campo que va a ser: <math> \vec u = \frac{1}{2}sen(θ) \vec e_ρ </math>. Pasamos nuestro \vec u a cartesianas, sabiendo que <math> \vec e_ρ= cos(θ) \vec i + sin(θ)\vec j</math>

[[Archivo:CampoVectore.png|600px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clc
paso_muestreo = 2/10;
distancia = 1:paso_muestreo:2;
a = atan(1/2);
angulo = linspace(a,pi-a,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(distancia,angulo);
% Conversión a cilíndricas
x = D.*cos(A);
y = D.*sin(A);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
hold on
mx=0.5.*sin(A).*cos(A);
my=0.5.*sin(A).*sin(A);
quiver(x,y,mx,my);
% Definición del título
title('CAMPO DE VECTORES')
}}

== Imagen del sólido antes y después del desplazamiento (Rubén) ==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math> \vec u </math> en coordenadas cartesianas (''calculado en el apartado anterior'').
Se puede observar además que la deformación solo irá en la dirección <math> \vec e_{\rho} </math> al ser <math> \vec e_{\theta} </math> nula.
[[Archivo:Separadas2_32.png|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clc
% PLACA SIN DEFORMAR
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
subplot(1,2,1)
Q = mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(Q,'EdgeColor','b');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA SIN DEFORMAR');
% PLACA DEFORMADA
subplot(1,2,2)
A = (sin(THETA).*cos(THETA))./2;
B = (sin(THETA).^2)./2;
X = x+A;
Y = y+B;
S = mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA DEFORMADA');
% COMPARACIÓN AMBAS PLACAS
hold on
figure
S = mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
title('COMPARACIÓN DE AMBAS PLACAS');
hold on
Q = mesh(x,y,0*x);
set(Q,'EdgeColor','b');
hold off
}}
[[Archivo:Comparacion3_32.png|500px|thumb|center]]

== Divergencia y sus mínimos y máximos (Ruiz) ==


Para calcular la divergencia, empleamos la siguiente expresión: <center><math>\nabla ·u = \frac{1}{\rho} (\frac{\partial }{\partial \rho} (\rho u_\rho)+\frac{\partial }{\partial θ} (u_θ)+\frac{\partial }{\partial z} (\rho u_z))</math></center>
Una vez operado, obtenemos
<center><math>\nabla ·u = \frac{senθ}{2\rho}</math></center>

Con ello, representamos gráficamente la divergencia en Matlab
[[Archivo:Divergencia_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Divergencia''' Representa la medida de cómo un campo se desplaza. Cuanto mayor el número, más se desplaza ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cartesianas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Cálculo de la divergencia
D=(sin(Th)./2./R);
surf(X,Y,D)
view(0,90);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('DIVERGENCIA')
% Obtención de máximos y mínimos
Dmax=max(max(D));
Dmin=min(min(D));
}}
A partir de la imagen superior derecha, se puede ver que las divergencias más altas se encuentran en la parte central del sólido. En concreto, la divergencia máxima es de 0,5 en el punto (0,1), y la mínima es de 0,1118 en los dos extremos longitudinales, obtenido en la línea 21 y 22 del código superior. Como la divergencia mínima es mayor a 0, no existe ningún punto de divergencia nula.

== Rotacional en ''t'' = 0 (Mario) ==

Sea <math> ∇ × \vec u </math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Continuando con nuestro ejemplo, calcularemos el rotacional del campo vectorial <math> \vec u (ρ,θ,z) = \frac{1}{2}sen(θ)·{\vec e_ρ} </math> como:

<math> \mathbb{\nabla \times \vec u} = {1 \over ρ} \;
\begin{vmatrix}
{\vec e_ρ} & {ρ· \vec e_θ} & {\vec e_z}\\
{\partial \over \partial ρ} & {\partial \over \partial θ} & {\partial \over \partial z}\\
{\frac{1}{2}sen(θ)} & {0} & {0}\\
\end{vmatrix} </math> = <math> -{1 \over ρ}·{\partial \over \partial θ}[{\frac{1}{2}sen(θ)}]·{\vec e_z} = [\frac{-1}{2} \frac{cos(θ)}{ρ}]·{\vec e_z}</math>

Por lo tanto, <math> |∇ × \vec u |= \frac{1}{2} \frac{cos(θ)}{ρ} </math>

[[Archivo:REPRESENTACIÓN_GRÁFICA_DEL_ROTACIONAL_DEL_CAMPO.png|555px|thumb|right|'''Rotacional del campo vectorial en la placa''' ]]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
ang = atan(1/2);
theta = linspace(ang,pi-ang,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(rho,theta);

% Conversión a cartesianas
X = D.*cos(A);
Y = D.*sin(A);
mesh(X,Y,0*X);

% Definición del rotacional del campo
ROTu = 1/2.*cos(A)./D;

% Representación gráfica del rotacional
surf(X,Y,ROTu);
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
% Definición del título
title('REPRESENTACIÓN DEL ROTACIONAL DEL CAMPO')
}}

Como podemos observar en la gráfica, los puntos con un mayor rotacinal son aquellos con menor ángulo θ, que darán un mayor valor al coseno; y con menor ρ.

== Tensiones normales (Miguel) ==
Sea <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}Ι + 2µε</math> el campo de tensiones en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde <math>ε=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math>, los coeficientes de Lamé <math>λ,µ =1</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> se puede proceder a los cálculos de las deformacciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec e_ρ,\vec e_θ,\vec e_z</math>. Para ello, se hacen unos cálculos intermedios que facilitan la operación:

Calculamos el gradiente del campo y su traspuesto:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>\bigtriangledown\vec{u^t}=\begin{pmatrix} \ 0 & 0 & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>ε=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{4\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{4\rho} & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
––––––––––><math>2ε=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

A continuación calculamos la divergencia que resulta igual a:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{sen(θ)}{2\rho}.</math>

Por tanto ya podemos calcular σ:

<math> σ= \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Por tanto, representaremos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.
A continuación las calculamos y representamos:

En primer lugar, dirección de <math>\vec e_\rho</math>-->

<math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>

En segundo lugar, dirección de <math>\vec e_\theta</math>-->

<math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{3sen(θ)}{2\rho}</math>

Por último, dirección de <math>\vec e_z</math>-->

<math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>

== Tensiones tangenciales (Rubén) ==
Se calculará las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>. Se pide además las '''no nulas'''.

Del apartado anterior sacamos que <math> σ= \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}</math> y
<math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>. Por tanto:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
% Tensiones tangenciales respecto al eje RHO
Sigma = cos(THETA)./(2.*RHO);
surf(x,y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('TENSIONES TANGENCIALES');
}}

== Tensión de ''Von Mises'' (Ruiz) ==
[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]
La tensión de Von Mises debe su nombre al ingeniero austrohúngaro Richard Von Mises, del cual podemos encontrar una foto a la derecha.

Es una magnitud que se utiliza en la mecánica de materiales y el análisis de estructuras, que se emplea para anticipar el fallo de un material que está soportando una carga, y que puede llegar a sufrir deformaciones permanentes. Por lo tanto, si la tensión de Von Mises supera el límite de fluencia, dejará de deformarse elásticamente para empezar a deformarse plásticamente.

Esta viene determinada por la siguiente fórmula en la que σ1, σ2 y σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> </center>
ALVARO CABRON

== Velocidad de propagación de las ondas (Mario) ==

== Módulo del desplazamiento transversal (Miguel) ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Campos de temperaturas y deformaciones en un cuarto de anillo (32)

2023-12-14T14:22:13Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 32 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Maleno Ayala, Rubén
* Sánchez Gil, Miguel
* González López, Mario
* Ruiz López, Álvaro}}
Un '''Campo de Temperaturas''' es un '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar Campo Escalar]''' aplicado a un objeto físico con el objetivo de representar las temperaturas propias de los puntos del objeto.

La representación visual de un campo escalar puede hacerse mediante programas como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], los cuales utilizan operaciones escalares y elementos matriciales para realizar cálculos complejos.

== Mallado de la placa (Rubén) ==
Para generar el mallado del '''cuarto de anillo circular''' usaremos el comando ''meshgrid'' en Matlab.
El cuarto de anillo está centrado en \((0,0)\) y sus radios son \(R_{1} = 1\) y \(R_{2} = 2\). Además, se encuentra en el plano \(y ≥\frac{|x|}{2}\).

Su representación está encuadrado en la región \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\).
El paso de muestreo se refiere a las subdivisiones deseadas por unidad en ambos ejes, en este caso, \(h = 2/10\).

Ahora pasaremos estas características a coordenadas cilíndricas, donde \(ρ\) ''conservará'' el radio del anillo y \(θ\) dependerá del ángulo que forme las rectas \(y =\frac{x}{2}\) e \(y =\frac{-x}{2}\) con los ejes \(X\) e \(Y\), cuyo valor es \(α = tg(\frac{1}{2}) ≈ 26,6°\), por tanto:

<center><math>(ρ,θ) ∈ [1; 2] × [α,π-α]</math></center>

[[Archivo:Grupo32 anillo.png|350px|thumb|right|''Figura 1'']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
distancia = 1:paso_muestreo:2;
a = atan(1/2);
angulo = linspace(a,pi-a,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(distancia,angulo);
% Conversión a cilíndricas
x = D.*cos(A);
y = D.*sin(A);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
% Definición del título
title('CUARTO DE ANILLO CIRCULAR')
}}

== Curvas isotermas (Ruiz) ==


Una vez hemos representado el sólido, podemos dibujar las curvas de nivel de la temperatura. La distribución de la temperatura en el sólido viene dada por el campo escalar: <center><math>T(x,y)=cos(x^2)+sin((y−1)^2)</math> </center>

A partir de este campo escalar, podemos definir el gradiente de T como <math>\nabla T</math>. El gradiente de nuestro campo escalar indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su módulo indica cuánto aumenta.

Este gradiente se puede calcular mediante la siguiente fórmula: <center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k</math></center>
Con lo cual, obtenemos la siguiente expresión: <center><math>\nabla T = -2xsin(x^2)\vec i+2cos((y-1)^2)(y-1)\vec j</math></center>
Para visualizar las curvas isotermas, se ha empleado el siguiente código.
[[Archivo:Curvas_Isotermas_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Curvas de Nivel''' Curvas de nivel de la función temperatura T ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cilíndricas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Campo de temparatura
T=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
% Representación de las curvas de nivel
figure
mesh(X,Y,0*X);
hold on
contour(X,Y,T,20)
colorbar
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')
axis ([-3, 3, -1, 3,])
view(0,90);
hold off
Tmax=max(max(T));
}}
A partir de la imagen superior derecha, se puede ver que las temperaturas más altas se encuentran en la parte superior del sólido. En concreto, la temperatura máxima es de 1.8150 grados en el punto (0,2), obtenido en la línea 24 del código superior.

A continuación, habiendo calculado previamente el gradiente de la temperatura, se puede comprobar como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradiente_Curvas_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Gradiente de la temperatura''' Gradiente y curvas de nivel de la función temperatura T ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cilíndricas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Campo de temparatura
T=cos(X.^2)+sin((Y-1).^2);
% Representación de las curvas de nivel
figure
mesh(X,Y,0*X);
hold on
% Cálculo del gradiente
Gx=-2.*X.*sin(X.^2);
Gy=2.*cos((Y-1).^2).*(Y-1);
contour(X,Y,T,20)
quiver(X,Y,Gx,Gy);
colorbar
title('CURVAS DE NIVEL Y GRADIENTE')
axis ([-3, 3, -1, 3,])
view(0,90);
hold off
}}

== Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) ==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec Q</math> viaja siguiendo la expresión: <math> \vec Q =-k▽T</math>, siendo k la constante de conductividad térmica del material.
Para este ejemplo supondremos la constante de conductividad térmica de la placa como k=1, por lo que nuestra ecuación queda como: <math>\vec Q=-▽T</math>.

Tomando el gradiente del campo de temperaturas en coordenadas cartesianas: <math>▽T(x,y)=-2xsen(x^2)\vec i +2(y-1)cos((y-1)^2)\vec j </math>:

<center><math>\vec Q =2xsen(x^2)\vec i -2(y-1)cos((y-1)^2)\vec j </math></center>

[[Archivo:ENERGÍA CALORÍFICA DE LA PLACA.png|600px|thumb|right|'''''Energía calorífica de la placa''' '']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
ang = atan(1/2);
theta = linspace(ang,pi-ang,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(rho,theta);

% Conversión a cartesianas
X = D.*cos(A);
Y = D.*sin(A);
mesh(X,Y,0*X);

% Aplicación del campo vectorial a los puntos de la placa
Qx = 2.*X.*sin(X.^2);
Qy = 2.*(Y-1).*cos((Y-1).^2);
hold on
quiver(X,Y,Qx,Qy);
hold off

view(2)
axis([-3,3,-1,3])
% Definición del título
title('ENERGÍA CALORÍFICA DE LA PLACA')
}}

== Representación del campo de vectores en los puntos del sólido (Miguel)==
Representamos el campo de vectores de deslizamiento en el cuarto de anillo, para eso nos ofrecen un campo que va a ser: <math> \vec u = \frac{1}{2}sen(θ) \vec e_ρ </math>. Pasamos nuestro \vec u a cartesianas, sabiendo que <math> \vec e_ρ= cos(θ) \vec i + sin(θ)\vec j</math>

[[Archivo:CampoVectore.png|600px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clc
paso_muestreo = 2/10;
distancia = 1:paso_muestreo:2;
a = atan(1/2);
angulo = linspace(a,pi-a,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(distancia,angulo);
% Conversión a cilíndricas
x = D.*cos(A);
y = D.*sin(A);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
hold on
mx=0.5.*sin(A).*cos(A);
my=0.5.*sin(A).*sin(A);
quiver(x,y,mx,my);
% Definición del título
title('CAMPO DE VECTORES')
}}

== Imagen del sólido antes y después del desplazamiento (Rubén) ==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math> \vec u </math> en coordenadas cartesianas (''calculado en el apartado anterior'').
Se puede observar además que la deformación solo irá en la dirección <math> \vec e_{\rho} </math> al ser <math> \vec e_{\theta} </math> nula.
[[Archivo:Separadas2_32.png|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clc
% PLACA SIN DEFORMAR
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
subplot(1,2,1)
Q = mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(Q,'EdgeColor','b');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA SIN DEFORMAR');
% PLACA DEFORMADA
subplot(1,2,2)
A = (sin(THETA).*cos(THETA))./2;
B = (sin(THETA).^2)./2;
X = x+A;
Y = y+B;
S = mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA DEFORMADA');
% COMPARACIÓN AMBAS PLACAS
hold on
figure
S = mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
title('COMPARACIÓN DE AMBAS PLACAS');
hold on
Q = mesh(x,y,0*x);
set(Q,'EdgeColor','b');
hold off
}}
[[Archivo:Comparacion3_32.png|500px|thumb|center]]

== Divergencia y sus mínimos y máximos (Ruiz) ==


Para calcular la divergencia, empleamos la siguiente expresión: <center><math>\nabla ·u = \frac{1}{\rho} (\frac{\partial }{\partial \rho} (\rho u_\rho)+\frac{\partial }{\partial θ} (u_θ)+\frac{\partial }{\partial z} (\rho u_z))</math></center>
Una vez operado, obtenemos
<center><math>\nabla ·u = \frac{senθ}{2\rho}</math></center>

Con ello, representamos gráficamente la divergencia en Matlab
[[Archivo:Divergencia_G32.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Divergencia''' Representa la medida de cómo un campo se desplaza. Cuanto mayor el número, más se desplaza ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir la placa
h=0.2;
r=1:h:2;
a=atan(1/2);
t=linspace(a,pi-a,pi/h);
[R,Th]=meshgrid(r,t);
% Conversión a cartesianas
X=R.*cos(Th);
Y=R.*sin(Th);
% Cálculo de la divergencia
D=(sin(Th)./2./R);
surf(X,Y,D)
view(0,90);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('DIVERGENCIA')
% Obtención de máximos y mínimos
Dmax=max(max(D));
Dmin=min(min(D));
}}
A partir de la imagen superior derecha, se puede ver que las divergencias más altas se encuentran en la parte central del sólido. En concreto, la divergencia máxima es de 0,5 en el punto (0,1), y la mínima es de 0,1118 en los dos extremos longitudinales, obtenido en la línea 21 y 22 del código superior. Como la divergencia mínima es mayor a 0, no existe ningún punto de divergencia nula.

== Rotacional en ''t'' = 0 (Mario) ==

Sea <math> ∇ × \vec u </math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Continuando con nuestro ejemplo, calcularemos el rotacional del campo vectorial <math> \vec u (ρ,θ,z) = \frac{1}{2}sen(θ)·{\vec e_ρ} </math> como:

<math> \mathbb{\nabla \times \vec u} = {1 \over ρ} \;
\begin{vmatrix}
{\vec e_ρ} & {ρ· \vec e_θ} & {\vec e_z}\\
{\partial \over \partial ρ} & {\partial \over \partial θ} & {\partial \over \partial z}\\
{\frac{1}{2}sen(θ)} & {0} & {0}\\
\end{vmatrix} </math> = <math> -{1 \over ρ}·{\partial \over \partial θ}[{\frac{1}{2}sen(θ)}]·{\vec e_z} = [\frac{-1}{2} \frac{cos(θ)}{ρ}]·{\vec e_z}</math>

Por lo tanto, <math> |∇ × \vec u |= \frac{1}{2} \frac{cos(θ)}{ρ} </math>

[[Archivo:REPRESENTACIÓN_GRÁFICA_DEL_ROTACIONAL_DEL_CAMPO.png|555px|thumb|right|''Figura 9'']]
{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
ang = atan(1/2);
theta = linspace(ang,pi-ang,pi/paso_muestreo);
[D,A] = meshgrid(rho,theta);

% Conversión a cartesianas
X = D.*cos(A);
Y = D.*sin(A);
mesh(X,Y,0*X);

% Definición del rotacional del campo
ROTu = 1/2.*cos(A)./D;

% Representación gráfica del rotacional
surf(X,Y,ROTu);
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
% Definición del título
title('REPRESENTACIÓN DEL ROTACIONAL DEL CAMPO')
}}

Como podemos observar en la gráfica, los puntos con un mayor rotacinal son aquellos con menor ángulo θ, que darán un mayor valor al coseno; y con menor ρ.

== Tensiones normales (Miguel) ==
Sea <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}Ι + 2µε</math> el campo de tensiones en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde <math>ε=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math>, los coeficientes de Lamé <math>λ,µ =1</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> se puede proceder a los cálculos de las deformacciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec e_ρ,\vec e_θ,\vec e_z</math>. Para ello, se hacen unos cálculos intermedios que facilitan la operación:

Calculamos el gradiente del campo y su traspuesto:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>\bigtriangledown\vec{u^t}=\begin{pmatrix} \ 0 & 0 & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>ε=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{4\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{4\rho} & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
––––––––––><math>2ε=\begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

A continuación calculamos la divergencia que resulta igual a:
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{sen(θ)}{2\rho}.</math>

Por tanto ya podemos calcular σ:

<math> σ= \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ 0 & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{sen(θ)}{\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Por tanto, representaremos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.
A continuación las calculamos y representamos:

En primer lugar, dirección de <math>\vec e_\rho</math>-->

<math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>

En segundo lugar, dirección de <math>\vec e_\theta</math>-->

<math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}=\frac{3sen(θ)}{2\rho}</math>

Por último, dirección de <math>\vec e_z</math>-->

<math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>

== Tensiones tangenciales (Rubén) ==
Se calculará las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>. Se pide además las '''no nulas'''.

Del apartado anterior sacamos que <math> σ= \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}</math> y
<math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}=\frac{sen(θ)}{2\rho}</math>. Por tanto:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

{{matlab|codigo=
clc
% Definición de variables
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
% Tensiones tangenciales respecto al eje RHO
Sigma = cos(THETA)./(2.*RHO);
surf(x,y,Sigma);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('TENSIONES TANGENCIALES');
}}

== Tensión de ''Von Mises'' (Ruiz) ==
[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]
La tensión de Von Mises debe su nombre al ingeniero austrohúngaro Richard Von Mises, del cual podemos encontrar una foto a la derecha.

Es una magnitud que se utiliza en la mecánica de materiales y el análisis de estructuras, que se emplea para anticipar el fallo de un material que está soportando una carga, y que puede llegar a sufrir deformaciones permanentes. Por lo tanto, si la tensión de Von Mises supera el límite de fluencia, dejará de deformarse elásticamente para empezar a deformarse plásticamente.

Esta viene determinada por la siguiente fórmula en la que σ1, σ2 y σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> </center>
ALVARO CABRON

== Velocidad de propagación de las ondas (Mario) ==

== Módulo del desplazamiento transversal (Miguel) ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T13:10:46Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T13:07:28Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T13:06:45Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T13:06:33Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T13:06:13Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Archivo:REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ROTACIONAL DEL CAMPO.png

2023-12-08T13:05:10Z

Mario González:

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T13:04:05Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:55:08Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:52:57Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:52:22Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:51:40Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:51:03Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:50:39Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:47:57Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:47:06Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:45:26Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:44:39Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:44:13Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:43:18Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:38:49Z

Mario González: /* Rotacional en t = 0 (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:00:56Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:00:38Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:00:25Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T12:00:04Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:59:29Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:59:02Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:58:44Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:57:28Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Archivo:ENERGÍA CALORÍFICA DE LA PLACA.png

2023-12-08T11:56:05Z

Mario González:

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:50:57Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:08:57Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:08:35Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

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Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:06:59Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:04:40Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:04:18Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:02:51Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:02:02Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T11:01:38Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T10:59:50Z

Mario González: /* Campo vectorial de la energía calorífica (Mario) */

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-12-08T10:28:52Z

Mario González:

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-11-30T11:41:03Z

Mario González:

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Maleno Ayala, Rubén
* Sánchez Gil, Miguel
* González López, Mario
* Ruiz López, Álvaro}}
Un '''Campo de Temperaturas''' es un '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar Campo Escalar]''' aplicado a un objeto físico con el objetivo de representar las temperaturas propias de los puntos del objeto.

La representación visual de un campo escalar puede hacerse mediante programas como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], los cuales utilizan operaciones escalares y elementos matriciales para realizar cálculos complejos.

[[Archivo:Mallado_2D_32.png|50px|marco|centro|Mallado 2D]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-11-30T11:40:31Z

Mario González:

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Maleno Ayala, Rubén
* Sánchez Gil, Miguel
* González López, Mario
* Ruiz López, Álvaro}}
Un '''Campo de Temperaturas''' es un '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar Campo Escalar]''' aplicado a un objeto físico con el objetivo de representar las temperaturas propias de los puntos del objeto.

La representación visual de un campo escalar puede hacerse mediante programas como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], los cuales utilizan operaciones escalares y elementos matriciales para realizar cálculos complejos.

[[Archivo:Mallado_2D_32.png|200px|marco|centro|Mallado 2D]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-11-30T11:01:01Z

Mario González:

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Rubén Maleno Ayala
* Miguel Sánchez Gil
* Mario González López
* Álvaro Ruiz López }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-11-30T10:57:00Z

Mario González:

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Rubén Maleno Ayala, Miguel Sánchez Gil, Mario González López, Álvaro Ruiz López }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
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Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-D (32)

2023-11-30T10:56:17Z

Mario González:

{{ TrabajoED | Campos de temperaturas y deformaciones en una placa 2-d. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Rubén Maleno Ayala
Miguel Sánchez Gil
Mario González López
Álvaro Ruiz López }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
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