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Ecuacion del calor MAM

2026-04-12T20:23:13Z

Mario Alonso:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAM| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Mario ALonso Rodríguez
Adrián Moreno Nieto

Matías Martínez Mancebo }}

[[Archivo:Ecuación del calor MAM.png||800px]]
[[Medio:Ecuación del calor MAM.pdf| PDF del póster]]

Abajo se puede ver el código que se ha utilizado para conseguir las gráficas.

<source lang="python" line>

import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

import matplotlib.pyplot as plt

# Define the heat equation solution
def heat_solution(x, t):
if t <= 0:
return 0
return (1 / np.sqrt(2 * t)) * np.exp(-x**2 / (4 * t))

# Create grid
x = np.linspace(-5, 5, 100)
t = np.linspace(0.1, 2, 50) # Avoid t=0
X, T = np.meshgrid(x, t)
Z = np.vectorize(heat_solution)(X, T)

# Plot 3D surface
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, T, Z, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('t')
ax.set_zlabel('u(x,t)')
ax.set_title('Solución fundamental de la ecuación del calor')
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Solución fundamental correcta de la ecuación del calor
def G(x, t):
return (1 / np.sqrt(4 * np.pi * t)) * np.exp(-x**2 / (4 * t))

# Tiempos que queremos comparar
times = [0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2]

# Dominio espacial
x = np.linspace(-10, 10, 2000)

# Crear una sola gráfica
plt.figure(figsize=(7, 5))

# -------------------------
# Perfiles originales
# -------------------------
for t in times:
plt.plot(x, G(x, t), label=f"t = {t}")

plt.title("Solución fundamental para distintos tiempos")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("G(x,t)")
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

</source>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Archivo:Ecuación del calor MAM.png

2026-04-12T20:22:32Z

Mario Alonso:

Archivo:Ecuación del calor MAM.pdf

2026-04-12T20:20:20Z

Mario Alonso:

Ecuacion del calor MAM

2026-04-12T20:19:14Z

Mario Alonso: Página creada con «{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo LÁJ| EDP|2025-26 | Mario ALonso Rodríguez Adrián Moreno Nieto Matías Martínez M...»

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Adrián Moreno Nieto

Matías Martínez Mancebo }}

[[Archivo:Ecuación del calor MAM.png||800px]]
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Abajo se puede ver el código que se ha utilizado para conseguir las gráficas.

<source lang="python" line>

import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

import matplotlib.pyplot as plt

# Define the heat equation solution
def heat_solution(x, t):
if t <= 0:
return 0
return (1 / np.sqrt(2 * t)) * np.exp(-x**2 / (4 * t))

# Create grid
x = np.linspace(-5, 5, 100)
t = np.linspace(0.1, 2, 50) # Avoid t=0
X, T = np.meshgrid(x, t)
Z = np.vectorize(heat_solution)(X, T)

# Plot 3D surface
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, T, Z, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('t')
ax.set_zlabel('u(x,t)')
ax.set_title('Solución fundamental de la ecuación del calor')
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Solución fundamental correcta de la ecuación del calor
def G(x, t):
return (1 / np.sqrt(4 * np.pi * t)) * np.exp(-x**2 / (4 * t))

# Tiempos que queremos comparar
times = [0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2]

# Dominio espacial
x = np.linspace(-10, 10, 2000)

# Crear una sola gráfica
plt.figure(figsize=(7, 5))

# -------------------------
# Perfiles originales
# -------------------------
for t in times:
plt.plot(x, G(x, t), label=f"t = {t}")

plt.title("Solución fundamental para distintos tiempos")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("G(x,t)")
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

</source>

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Series de Fourier MAM

2026-02-23T21:16:30Z

Mario Alonso:

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAM| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Mario Alonso Rodríguez

Adrián Nieto Moreno

Matías Martínez Mancebo}}

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[[Archivo:POSTERFOURIER_mam.pdf]]

Abajo se puede ver el código que se ha utilizado para conseguir las gráficas:

<source lang="python" line>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -----------------------------
# Funciones objetivo
# -----------------------------
def signo(x):
return np.sign(x)

def integral_signo(x):
return np.abs(x)

def derivada_signo(x):
# Derivada clásica: 0 para x != 0 (en x=0 no existe; ignoramos el delta)
return np.zeros_like(x)

# -----------------------------
# Serie de Fourier de signo(x)
# signo(x) ~ (4/pi) * sum_{k=1..n} sin((2k-1)x)/(2k-1)
# -----------------------------
def serie_fourier_signo(x, n):
k = np.arange(1, n + 1)
m = 2 * k - 1 # impares
# sum over m: sin(m x)/m
return (4 / np.pi) * np.sum(np.sin(np.outer(m, x)) / m[:, None], axis=0)

# -----------------------------
# Integral de la serie (aprox de |x|)
# |x| = pi/2 - (4/pi) * sum_{k=1..∞} cos((2k-1)x)/(2k-1)^2
# -----------------------------
def integral_serie_fourier_signo(x, n):
k = np.arange(1, n + 1)
m = 2 * k - 1
return (np.pi / 2) - (4 / np.pi) * np.sum(np.cos(np.outer(m, x)) / (m[:, None] ** 2), axis=0)

# -----------------------------
# Derivada de la serie (ojo: no converge a la derivada clásica en x=0)
# d/dx [serie] = (4/pi) * sum_{k=1..n} cos((2k-1)x)
# -----------------------------
def derivada_serie_fourier_signo(x, n):
k = np.arange(1, n + 1)
m = 2 * k - 1
return (4 / np.pi) * np.sum(np.cos(np.outer(m, x)), axis=0)

# -----------------------------
# Norma L2: ||f-g||_2 = sqrt( ∫ |f-g|^2 dx )
# (integral numérica con trapecios)
# -----------------------------
def l2_error(x, f, g):
return np.sqrt(np.trapz((f - g) ** 2, x))

# -----------------------------
# Plantilla: figura (aprox) + (error L2 vs n)
# -----------------------------
def figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func,
f_aprox_func,
titulo_izq,
titulo_der,
n_list_plot=(5, 10, 30),
n_max_error=200,
ylims_izq=None
):
f_true = f_true_func(x)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- Izquierda: curvas ---
ax1.plot(x, f_true, linewidth=3, label="Función objetivo", color="black")
for n in n_list_plot:
ax1.plot(x, f_aprox_func(x, n), linewidth=2, label=f"Fourier (n={n})")

ax1.set_title(titulo_izq)
ax1.set_xlabel("x")
ax1.set_ylabel("y")
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()
if ylims_izq is not None:
ax1.set_ylim(ylims_izq)

# --- Derecha: error L2 vs n ---
ns = np.arange(1, n_max_error + 1)
errs = np.array([l2_error(x, f_true, f_aprox_func(x, n)) for n in ns])

ax2.plot(ns, errs, linewidth=2, label=r"Error $L^2$: $||f - S_n||_2$")

# marcar los n usados en la izquierda
for n in n_list_plot:
ax2.scatter([n], [errs[n - 1]], s=60)

ax2.set_title(titulo_der)
ax2.set_xlabel("n")
ax2.set_ylabel(r"$||f - S_n||_2$")
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

# -----------------------------
# Dominio (más puntos => integral numérica más estable)
# -----------------------------
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 4000)

# Elige los n que quieres dibujar en la izquierda
n_list = (5, 10, 30)

# 1) signo(x)
figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func=signo,
f_aprox_func=serie_fourier_signo,
titulo_izq="Aproximación por series de Fourier de la función signo",
titulo_der=r"Error $L^2$ vs $n$",
n_list_plot=n_list,
n_max_error=200,
ylims_izq=(-1.5, 1.5)
)

# 2) Integral -> |x|
figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func=integral_signo,
f_aprox_func=integral_serie_fourier_signo,
titulo_izq="Integral: aproximación de |x| mediante Fourier",
titulo_der=r"Error $L^2$ vs $n$ (integral)",
n_list_plot=(1, 3, 5), # menos n porque converge más rápido
n_max_error=200,
ylims_izq=(0, np.pi)
)

# 3) Derivada (comparada con 0)
# Nota: este “error” no tenderá a 0, porque la derivada real incluye una singularidad en 0.
figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func=derivada_signo,
f_aprox_func=derivada_serie_fourier_signo,
titulo_izq="Derivada de la serie de Fourier (comparada con 0)",
titulo_der=r"Error $L^2$ vs $n$ (derivada)",
n_list_plot=n_list,
n_max_error=200,
ylims_izq=(-10, 10)
)
</source>

== Bibliografía ==

* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Categor%C3%ADa:EDP Categoría: EDP], MateWiki, Universidad Politécnica de Madrid.

* Sanders, J. A.; Verhulst, F.; Murdock, J., ''Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory'', Springer, 2016.

* Evans, L. C., ''Partial Differential Equations'', Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, American Mathematical Society, 2010.

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Archivo:POSTERFOURIER mam.pdf

2026-02-23T21:16:00Z

Mario Alonso:

Series de Fourier MAM

2026-02-19T07:51:34Z

Mario Alonso:

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAM| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Mario Alonso Rodríguez

Adrián Nieto Moreno

Matías Martínez Mancebo}}

[[Archivo:POSTER_FOURIER_MAM.png||800px]]
[[Archivo:PosterFourierMAM.pdf]]

Abajo se puede ver el código que se ha utilizado para conseguir las gráficas:

<source lang="python" line>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -----------------------------
# Funciones objetivo
# -----------------------------
def signo(x):
return np.sign(x)

def integral_signo(x):
return np.abs(x)

def derivada_signo(x):
# Derivada clásica: 0 para x != 0 (en x=0 no existe; ignoramos el delta)
return np.zeros_like(x)

# -----------------------------
# Serie de Fourier de signo(x)
# signo(x) ~ (4/pi) * sum_{k=1..n} sin((2k-1)x)/(2k-1)
# -----------------------------
def serie_fourier_signo(x, n):
k = np.arange(1, n + 1)
m = 2 * k - 1 # impares
# sum over m: sin(m x)/m
return (4 / np.pi) * np.sum(np.sin(np.outer(m, x)) / m[:, None], axis=0)

# -----------------------------
# Integral de la serie (aprox de |x|)
# |x| = pi/2 - (4/pi) * sum_{k=1..∞} cos((2k-1)x)/(2k-1)^2
# -----------------------------
def integral_serie_fourier_signo(x, n):
k = np.arange(1, n + 1)
m = 2 * k - 1
return (np.pi / 2) - (4 / np.pi) * np.sum(np.cos(np.outer(m, x)) / (m[:, None] ** 2), axis=0)

# -----------------------------
# Derivada de la serie (ojo: no converge a la derivada clásica en x=0)
# d/dx [serie] = (4/pi) * sum_{k=1..n} cos((2k-1)x)
# -----------------------------
def derivada_serie_fourier_signo(x, n):
k = np.arange(1, n + 1)
m = 2 * k - 1
return (4 / np.pi) * np.sum(np.cos(np.outer(m, x)), axis=0)

# -----------------------------
# Norma L2: ||f-g||_2 = sqrt( ∫ |f-g|^2 dx )
# (integral numérica con trapecios)
# -----------------------------
def l2_error(x, f, g):
return np.sqrt(np.trapz((f - g) ** 2, x))

# -----------------------------
# Plantilla: figura (aprox) + (error L2 vs n)
# -----------------------------
def figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func,
f_aprox_func,
titulo_izq,
titulo_der,
n_list_plot=(5, 10, 30),
n_max_error=200,
ylims_izq=None
):
f_true = f_true_func(x)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- Izquierda: curvas ---
ax1.plot(x, f_true, linewidth=3, label="Función objetivo", color="black")
for n in n_list_plot:
ax1.plot(x, f_aprox_func(x, n), linewidth=2, label=f"Fourier (n={n})")

ax1.set_title(titulo_izq)
ax1.set_xlabel("x")
ax1.set_ylabel("y")
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend()
if ylims_izq is not None:
ax1.set_ylim(ylims_izq)

# --- Derecha: error L2 vs n ---
ns = np.arange(1, n_max_error + 1)
errs = np.array([l2_error(x, f_true, f_aprox_func(x, n)) for n in ns])

ax2.plot(ns, errs, linewidth=2, label=r"Error $L^2$: $||f - S_n||_2$")

# marcar los n usados en la izquierda
for n in n_list_plot:
ax2.scatter([n], [errs[n - 1]], s=60)

ax2.set_title(titulo_der)
ax2.set_xlabel("n")
ax2.set_ylabel(r"$||f - S_n||_2$")
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

# -----------------------------
# Dominio (más puntos => integral numérica más estable)
# -----------------------------
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 4000)

# Elige los n que quieres dibujar en la izquierda
n_list = (5, 10, 30)

# 1) signo(x)
figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func=signo,
f_aprox_func=serie_fourier_signo,
titulo_izq="Aproximación por series de Fourier de la función signo",
titulo_der=r"Error $L^2$ vs $n$",
n_list_plot=n_list,
n_max_error=200,
ylims_izq=(-1.5, 1.5)
)

# 2) Integral -> |x|
figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func=integral_signo,
f_aprox_func=integral_serie_fourier_signo,
titulo_izq="Integral: aproximación de |x| mediante Fourier",
titulo_der=r"Error $L^2$ vs $n$ (integral)",
n_list_plot=(1, 3, 5), # menos n porque converge más rápido
n_max_error=200,
ylims_izq=(0, np.pi)
)

# 3) Derivada (comparada con 0)
# Nota: este “error” no tenderá a 0, porque la derivada real incluye una singularidad en 0.
figura_aprox_y_error(
x,
f_true_func=derivada_signo,
f_aprox_func=derivada_serie_fourier_signo,
titulo_izq="Derivada de la serie de Fourier (comparada con 0)",
titulo_der=r"Error $L^2$ vs $n$ (derivada)",
n_list_plot=n_list,
n_max_error=200,
ylims_izq=(-10, 10)
)
</source>

== Bibliografía ==

* [https://mat.caminos.upm.es/wiki/Categor%C3%ADa:EDP Categoría: EDP], MateWiki, Universidad Politécnica de Madrid.

* Sanders, J. A.; Verhulst, F.; Murdock, J., ''Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory'', Springer, 2016.

* Evans, L. C., ''Partial Differential Equations'', Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, American Mathematical Society, 2010.

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]