MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T10:10:54Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:38:26Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3*(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:33:06Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100}} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:25:41Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:17:32Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:17:07Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:13:34Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:11:08Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:09:50Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>
:::::::::::::::<math> \sigma_V = \sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:05:20Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo tensiones normales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:05:03Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo tensiones normales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u\)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:02:58Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:02:39Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: <math> \sigma_V_M =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:02:16Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: <math> \sigma_VM =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T16:01:23Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: <math> sigma_VM=\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:58:59Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: σ(VM) = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:58:12Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: Von Mises = <math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:54:22Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del gradiente */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:54:05Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo campo de vectores */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:53:46Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:53:33Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

:::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:53:20Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

:::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:53:03Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:52:49Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo de la divergencia */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:52:12Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo tensiones normales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:51:53Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Dibujo tensiones normales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:51:05Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:50:04Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:49:40Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:49:23Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
:::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:48:54Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:45:48Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:44:51Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:44:30Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F= <math>\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:43:57Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal \vec F= <math>\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:42:59Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal F= <math>\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:35:58Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal F= <math>\nabla·\vec σ </math>

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:35:29Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
:::::::::::F= <math>\nabla·\vec σ </math>

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:34:31Z

Maria.rodriguez.dejuan:

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F= <math>\nabla·\vec σ </math>

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:33:09Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F~ que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
F= −∇ · σ = −∂σji/∂xj.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂3y}{50}}{∂y}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂y}\vec i- \frac{∂0}{∂z}\vec i- \frac{\frac{∂x}{100}}{∂x}\vec j- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec j- 0 -0 -0- \frac{\frac{∂y}{50}}{∂y}\vec k = - \frac{1}{100}\vec j - \frac{1}{50}\vec j - \frac{3}{100}\vec j = F = - \frac{3}{100}\vec j </math>

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:29:18Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo y dibujo del campo vectorial */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:26:01Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:25:09Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})| </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:24:35Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*\(\vec e_{ρ})+(\(\vec e_{ρ})*σ*\(\vec e_{ρ}))\(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})| </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:22:49Z

Maria.rodriguez.dejuan:

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*\(\vec e_{rho}\)+(\(\vec e_{rho}\)*σ*\(\vec e_{rho}\))\(\vec e_{rho}\)|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})| </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:19:30Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo de la divergencia */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*\(\vec e_{rho}\)+(\(\vec e_{rho}\)*σ*\(\vec e_{rho}\))\(\vec e_{rho}\)|= || </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:18:14Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*\(\vec e_{rho}\)+(\(\vec e_{rho}\)*σ*\(\vec e_{rho}\))\(\vec e_{rho}\)|= || </math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:16:22Z

Maria.rodriguez.dejuan: /* Cálculo tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*\(\vec e_{rho}\)+(\(\vec e_{rho}\)*σ*\(\vec e_{rho}\))\(\vec e_{rho}\)|=</math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:15:29Z

Maria.rodriguez.dejuan:

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)|=</math>.

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-06T15:13:59Z

Maria.rodriguez.dejuan:

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|400px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
 <math>
σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με</math> 
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}
<gallery>
File:tenero2d.jpg|300px|right
File:tenero3d.jpg|300px|right
</gallery>

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}
<gallery>
File:teneteta2d.jpg|300px|right
File:teneteta3d.jpg|300px|right
</gallery>

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

<math>|σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)| =

[[File:tentang.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
[[File:vonmises12.jpg|320px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(1/25).*(sin(teta).^2);
y=(1/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo vectorial ==

[[File:campof.jpg|300px|thumb|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}