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Impacto de la crisis económica en Andalucía

2016-12-08T17:53:46Z

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{{ TrabajoSIG | Impacto de la crisis económica en Andalucía | Sara González Bravo, Alba García Guijarro, María Pablos Romero y Nahuel García Fernández | [[:Categoría:SIGAIC_16/17|Curso 16/17]] }}

El objetivo del trabajo es estudiar la evolución que ha tenido la economía en Andalucía en cada una de las provincias a lo largo de la crisis. Se busca también comprobar la contribución que tiene cada una de las provincias al cómputo general de la comunidad de Andalucía y cómo se ha visto afectada por la crisis cada una de ellas.
Para ello tomaremos datos del INE de diferentes años sobre parámetros económicos, los cuales estudiaremos comprobando unos resultados más desfavorables en plena crisis (año 2011-2012) y una posterior evolución positiva. Con estos datos se han realizado diversas operaciones, ayudándonos de hojas de cálculo de excel, que serán detalladas a lo largo del trabajo, buscando llegar a variables que han resultado ser, a posteriori, más representativas de este estudio. Para representar estos datos visualmente hemos usado como base el plano ráster de la comunidad de Andalucía, obtenido en IDEandalucia, cargado en QGIS y sobre él hemos ido representando los distintos datos ampliando la tabla de atributos.
Hemos obtenido resultados sobre variables como el IPC, incremento de empresas, tasa de empleo, etc. que serán comentados posteriormente. Estos resultados eran los esperados, ya que reflejan unos valores que se corresponden con cada etapa de la crisis.
Este trabajo podría ser ampliado en un futuro tomando valores de más variables que también sean representativas de la economía. También podría ser completado cogiendo una mayor
franja temporal o centrándose en municipios acotando más cada uno de los datos y realizando
un estudio más local.

== Introducción ==

Durante el desarrollo económico español de los últimos años, el sector inmobiliario se desarrolla convirtiéndose en uno de los motores de la economía española, forjando alrededor una potente industria de materias primas, un potente sector de la construcción, un potente sector inmobiliario y un potente sector de bienes de equipo – que se dedicaban a abastecer todas las necesidades de la actividad -, así como múltiples servicios relacionados con la misma. La cantidad de empleo concentrado en estos sectores fue inmensa, afectando así al sistema financiero. La crisis económica que vive en España se empezó a manifestar en 2008, aunque no es hasta un año más tarde cuando se manifiesta de forma ya evidente. El paro se ha convertido en la consecuencia más visible de la recesión y el endeudamiento de las empresas españolas en proyectos poco rentables, sin cuantificar el riesgo real de forma correcta hizo que muchos proyectos fracasaran y que muchas empresas quebraran, generando destrucción de valor, incrementando el paro y produciendo el impago de sus deudas (morosidad).
Sin embargo, a partir de 2014 se empieza a observar una ligera mejora en la economía, leve descenso del paro y un aumento de la rentabilidad de los proyectos de las empresas, estrechamente relacionado con la creación de nuevas empresas.
El objetivo del trabajo ha sido tratar de representar lo expuesto anteriormente con datos reales de manera que sea fácil observar la variación de estos a lo largo de los años. Se podría haber realizado un estudio de España en su totalidad, así como de todas sus Comunidades Autónomas. Sin embargo, nos hemos centrado solamente en Andalucía y cada una de sus provincias.
Además, se busca ver las diferencias entre las provincias, ya que cada una ha sido afectada por la crisis de una manera distinta, siendo diferente su contribución al total de la economía andaluza.

== Metodología ==

A la hora de realizar el estudio hemos trabajado con diferentes aspectos de la economía y los datos han sido recogidos del INE. Se ha estudiado su variación en el tiempo, por lo que se han recogido datos desde 2007 hasta la actualidad. Una de las variables que hemos empleado ha sido el número de empresas de cada una de las provincias, el cual ha sido empleado para operar posteriormente y calcular los incrementos de este número de empresas. Este parámetro se considera un claro indicador de la evolución de la economía, ya que se encuentra directamente relacionado con los beneficios obtenidos por las empresas en cada provincia. También se ha empleado el número de empresas/100habitantes en cada una de las provincias, de manera que se observe la contribución que tiene cada una de ellas al total de la economía andaluza. Para calcular esta variable se han empleado los datos de población de 2015 y de número de empresas del mismo año.

Otra variable empleada ha sido la tasa de empleo que mide el porcentaje de la población en edad de trabajar (mayor de 16 y menor de 65 años) que realmente lo está haciendo, y por tanto mide el grado en que una economía aprovecha sus recursos humanos para producir bienes y servicios. Esta variable se calcula relacionando la tasa de paro y la tasa de actividad:
Te = (1-Tp) x Ta
Entendiendo como tasa de actividad el porcentaje de activos sobre los potencialmente activos, es decir, el porcentaje de personas que está trabajando frente a las personas que están en edad de trabajar. Puede darse la situación de que, pese a estar en edad de trabajar, la persona no encuentre un empleo. El porcentaje de personas que se encuentran en esta situación es lo que representa la tasa de paro.

Puede ocurrir que la tasa de paro no esté variando realmente, pero que lo haga en los datos registrados porque las personas que pierden su empleo se desaniman y dejan de buscar otro. O podría ser incluso que la tasa de paro se redujese no porque aumentase el empleo, sino porque disminuyese la participación en el mercado de trabajo. Estos problemas sí serían percibidos en cambio por la tasa de empleo, que se estaría reduciendo, y por ello se ha escogido esta variable.

Por último se han empleado también datos del IPC. El Índice de Precios de Consumo (IPC) es una medida estadística de la evolución del conjunto de precios de los bienes y servicios que consume la población residente en viviendas familiares en España. Uno de sus fines es calcular mensualmente la inflación, pero por comodidad a la hora de realizar el trabajo se ha tomado un valor por año, correspondiente a la media de los distintos valores registrados. De esta forma, si un conjunto de productos o servicios aumenta de precio, la misma cantidad de dinero no alcanzará para comprarlos. A eso se le denomina que el poder adquisitivo del dinero se pierde con la inflación, que es lo que se refleja a través del IPC.

Para realizar todas estas operaciones y comparar los resultados obtenidos hemos empleado hojas de cálculo de Excel. Estos resultados han sido introducidos posteriormente en la tabla de atributos de la capa vectorial de las provincias de Andalucía en QGIS. A la hora de representar los datos gráficamente se han empleado gráficas de Excel y temáticos obtenidos en QGIS, diferenciando los distintos resultados mediante el empleo de distintas tonalidades.

== Resultados ==

A la hora de representar los datos gráficamente y poder obtener conclusiones de los mismos se ha decidido tomar como referencia tres intervalos significativos: 2007/2008, cuando la crisis estaba en su primera fase; 2011/2012, considerados los años de crisis más profunda; y por último 2015/2016, años de recuperación económica que se corresponden con la actualidad. Esta forma de estudio no solo ha permitido ver la evolución de las distintas variables a lo largo de la crisis, sino que también permite comparar la situación actual con la existente en 2007.

'''NÚMERO DE EMPRESAS'''

Como se ha comentado anteriormente, se ha considerado que la variación del número de empresas era la forma más representativa de esta variable. En 2007/2008, el inicio de la crisis, esta variación era positiva, puesto que las empresas seguían obteniendo beneficios y aun no se comenzaba a ver las consecuencias de la crisis.

Todo lo contrario sucedió del año 2008 al 2009, ya que en este periodo todos los incrementos fueron negativos, lo que supone una desaparición de un gran número de empresas. Las provincias con los resultados más desfavorables fueron Málaga, que perdió entre 3000 y 4000 empresas, seguida de Granada, la cual perdió entre 2000 y 3000. Huelva y Jaén fueron las menos perjudicadas, perdiendo un máximo de 1000 empresas cada una de ellas. El resto de provincias sufrió pérdidas de entre 1000 y 2000 empresas. (Temático 1)

Todos los años han sufrido unas variaciones similares, aunque en 2014/2015 estos resultados empiezan a ser positivos, lo que invita a pensar que la crisis económica ha superado sus peores años. Sin embargo, se va a comentar con más detalle la variación de empresas de 2015 a 2016, por ser el dato más actual, siendo similar al de 2014/2015. La provincia con mejores resultados ha sido Málaga, en la cual han aparecido entre 3000 y 4000 nuevas empresas, seguida de Sevilla, con la creación de entre 2000 y 3000 empresas. También se podría destacar Granada, donde hay entre 1000 y 2000 nuevas empresas, mientras que en el resto de provincias no se han superado las 1000. (Temático 2)

Se ha considerado interesante la variación del número de empresas entre 2007, primer año de estudio, y la actualidad. Esto permite obtener conclusiones de cómo se ha conseguido ir superando la crisis en cada una de las provincias. Cabe destacar positivamente Málaga por ser la única provincia en la cual este resultado es positivo, es decir, el número de empresas actual supera al existente en 2007. Por otro lado, las provincias con peores resultados han sido Cádiz y Granada, a las cuales les faltarían aún más de 4000 empresas para igualar el número de empresas que había en 2007. El resto de provincias también presenta un déficit importante de empresas en comparación con 2007, aunque después de haber estudiado la variación de estos datos a lo largo del tiempo cabe suponer que será recuperado en los próximos años. (Temático 3)

En cuanto a las empresas por cada 100 habitantes se puede observar en el gráfico adjunto que ha ido disminuyendo a lo largo del tiempo, excepto en Málaga, lo cual está directamente relacionado con el incremento que se ha explicado previamente de 2007 a 2016. La provincia con mayor número de empresas por cada 100 habitantes es Málaga, mientras que las que tienen un menor número de empresas por cada 100 habitantes son Huelva y Cadiz.

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_1.jpg]]

Por último, con relación a esta variable, se ha considerado el porcentaje que representa el número de empresas de cada provincia frente al 100% de las empresas de Andalucía. Las provincias con mayor porcentaje de empresas son Málaga (24%) y Sevilla (23%), mientras que las de menor porcentaje son Huelva (5%), Jaén (7%) y Almería (8%).

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_2.jpg]]

'''TASA DE EMPLEO'''

La tasa de empleo crece cuando una economía es capaz de reducir el porcentaje de paro sin reducir la tasa de actividad, cuando aumenta esta última sin generarse un mayor porcentaje de desempleo, o cuando aumenta la tasa de actividad a la vez que se reduce la tasa de paro.

La tasa de empleo en 2007 toma dos rangos de valores distintos: en Málaga, Sevilla y Almería supera el valor de 4800 y en el resto de provincias se encuentra entre 4200 y 4800 (Temático 4). En 2011 estos valores pasan a estar entre 3700 y 4200, excepto en Sevilla y Almería, donde oscila entre 4200 y 4800 (Temático 5). Por último, en 2016 toma valores de entre 4200 y 4800 en Málaga y Almería y menores que 3700 en Jaén. En el resto de provincias este valor está entre 3700 y 4200 (Temático 6).

Se podría afirmar que un aumento de la tasa de empleo está estrechamente relacionado con una mejora de la condición económica de la provincia. En consecuencia, podemos observar una disminución de esta tasa en el año 2011 con respecto a 2007, coincidiendo con los años de mayor apogeo de la crisis, y un posterior aumento hasta 2016. Sin embargo, cabe afirmar que los valores de 2007, considerados previos a la crisis, aún no han sido alcanzados.

'''IPC'''

Es importante destacar que uno de los fines principales del IPC es medir la inflación. Si el IPC asciende y los ingresos no lo hacen de una manera proporcional, el nivel adquisitivo será menor.

En 2008 el valor del IPC oscilaba entre 96 y 99 excepto en Málaga, Sevilla y Córdoba, donde era menor de 96 (Temático 7). Se puede deducir por tanto que el coste de la vida era más barato en estas tres últimas. En 2011 el valor del IPC asciende en todas las comunidades alcanzando valores entre 99 y 102 menos en Málaga, provincia en la cual paso a ser superior a 102 (Temático 8). En 2016 se mantienen estos rangos, aunque el valor exacto ha aumentado ligeramente respecto a 2011, excepto en Huelva, Cádiz y Córdoba, donde ha ascendido a más de 102 (Temático 9).

A lo largo de la crisis los ingresos obtenidos por cada familia han sido menores, sin embargo, el IPC no ha dejado de aumentar a lo largo de los años, encareciendo los productos de necesidad básica y aumentando el coste de la vida. Esto se traduce en mayores consecuencias negativas en los hogares, donde se han encontrado en este periodo fuertes dificultades para hacer frente a los gastos.

== Conclusiones ==

Una vez realizado el estudio de la evolución de estas distintas variables a lo largo de los últimos nueve años (desde 2007 hasta la actualidad) se observa como estas van variando de acuerdo con la crisis económica, obteniendo unos resultados más negativos en torno a 2011/2012, años donde la crisis fue más dura, que poco a poco empiezan a ser positivos. Sin embargo, cabe destacar que los valores de antes de la crisis de variables como el número de empresas o la tasa de empleo aún no han sido alcanzados, por lo que se puede suponer que aún quedan años de recuperación.

Es importante destacar que la provincia que mejor ha conseguido superar la crisis es Málaga, la cual destaca por ser la única que tiene un mayor número de empresas en la actualidad que en 2007, a la vez que por representar el mayor porcentaje de empresas de todas las provincias de Andalucía. Sin embargo, también es la provincia donde el IPC ha aumentado con mayor rapidez y por ello se puede suponer que es la que supone un mayor coste de vida, por lo que será necesario que las rentas sean mayores para igualar el nivel de vida de otras provincias.

Una mejora que se plantea para el futuro es completar este estudio con los beneficios obtenidos en cada empresa. Esto permitiría un análisis más profundo de la evolución económica, así como de la contribución que tiene cada provincia a la comunidad de Andalucía, ya que al estudiar simplemente el número de empresas no se está teniendo en cuenta el beneficio obtenido por cada una de ellas. Podría darse el caso de que en una comunidad hubiese un menor número de empresas, pero que cada una de ellas obtuviese un mayor beneficio, por lo que su contribución a la economía fuese superior que la de un mayor número de empresas de otra provincia, pero con menores beneficios.

== Anejos ==

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_3.jpg]]
Temático 1

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_4.jpg]]
Temático 2

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_5.jpg]]
Temático 3

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_6.jpg]]
Temático 4

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_7.jpg]]
Temático 5

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_8.jpg]]
Temático 6

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_9.jpg]]
Temático 7

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_10.jpg]]
Temático 8

[[Archivo:SIG_gonzalezbravo_11.jpg]]
Temático 9

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_16/17]]

Archivo:SIG gonzalezbravo 11.jpg

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Archivo:SIG gonzalezbravo 10.jpg

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Maria.p:

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T17:47:20Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0; ye(1)=y0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
plot(t1,ye,'--m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','exacta','location','best')

hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:G23.png|450px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Zoom23.JPG|450px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T17:44:19Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0; ye(1)=y0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
plot(t1,ye,'--m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','exacta','location','best')

hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:G23.png|450px|left|thumb|]] [[Archivo:ZoomG23.png|450px|right|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T17:43:23Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0; ye(1)=y0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
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plot(t1,ye,'--m')
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hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:G23.png|450px|left|thumb|]] [[Archivo:Zoom23.png|450px|right|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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disp('tiempo final:')
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disp(i)
hold on
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legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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i=i+1;

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while y2(n)>cond1

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y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
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disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
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hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
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y(:,1)=y0;
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for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
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y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Archivo:Zoom23.JPG

2015-03-06T17:41:44Z

Maria.p:

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T17:37:44Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
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y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
plot(t1,ye,'--m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','exacta','location','best')

hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:G23.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
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plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Archivo:G23.png

2015-03-06T17:36:56Z

Maria.p:

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T17:31:57Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0; ye(1)=y0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
plot(t1,ye,'--m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','exacta','location','best')

hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
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disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
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legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
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t3(1)=t0;
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n=1;
m=1;
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cond1=y0*0.08;
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while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
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i=i+1;

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while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
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disp('años de antigüedad de los huesos:')
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disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
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hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
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y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
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N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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y(:,1)=y0;
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A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T17:19:42Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
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y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
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}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T15:22:55Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
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xlabel('tiempo')
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legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T14:59:07Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
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while y2(n)>cond
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]
((((((El concepto de estabilidad está relacionado con el crecimiento o decrecimiento de los errores que se introducen en la etapa del cómputo. Estos errores se originan porque los ordenadores no pueden almacenar un número infinito de cifras decimales, introduciendo de esta manera un error de redondeo.)))))

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
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}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T14:53:18Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial(Método de Euler) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]
El concepto de estabilidad está relacionado con el crecimiento o decrecimiento de los errores que se introducen en la etapa del cómputo. Estos errores se originan porque los ordenadores no pueden almacenar un número finito de cifras decimales, introduciendo de esta manera un error de redondeo.

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
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plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
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}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T14:33:34Z

Maria.p: /* .-Vida media */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
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while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
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plot(t1,z,'m')
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hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
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xlabel('tiempo')
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}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T14:32:00Z

Maria.p: /* .-Vida media */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
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N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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y0=[1,0,0]';
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I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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k1=1;
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T14:31:18Z

Maria.p: /* .-Vida media */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
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t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
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K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

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t3(m+1)=t3(m)+h1;
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disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|Hemos hecho zoom en las dos gráficas inferiores para poder verlo con mayor claridad. La de la derecha tiene mayor zoom que la de la izquierda.]]
En la siguiente gráfica hacemos una comparativa de los ejercicios anteriores y la solución exacta. En esta, podemos comprobar que el método de Runge-Kutta es el que mejor se aproxima a la solución exacta, siendo los de Euler los que menos (a mayor intervalo, en este caso 0.1,peor aproximación)
[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
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for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
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z=zeros(3,N+1);
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y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
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for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T14:21:02Z

Maria.p: /* .-Vida media */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

[[Archivo:Ejerfinal4.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:08:39Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial (Método del Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
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hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

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y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
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t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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z0=[1,0,0]';
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y(:,1)=y0;
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A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
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y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
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y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
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y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:05:57Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial (Método del Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
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i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|600px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:05:38Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial (Método del Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|400px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
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legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
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}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:04:55Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t) = - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
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disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
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plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|380px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
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hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:04:40Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)= - kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|380px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
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I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:04:25Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=- kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
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z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|380px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
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i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
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K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

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disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
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[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
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y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:00:54Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|380px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T10:00:34Z

Maria.p: /* .-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5 */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
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disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
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plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|380px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
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}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio).Intercambiadas las constantes==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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plot(t,z(1,:))
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ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T09:59:22Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial (Método del Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
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i=i+1;
end
while y2(n)>cond
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
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}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|380px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T09:59:01Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial (Método del Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}
[[Archivo:Tiempofinal.png|300px|thumb|left|en años]]
[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
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disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
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z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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hold on
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plot(t,y(2,:),'--g')
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plot(t,z(1,:))
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
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}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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for i=1:N
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z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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plot(t,y(2,:),'--g')
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plot(t,z(1,:))
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
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}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Archivo:Tiempofinal.png

2015-03-06T09:58:10Z

Maria.p:

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T09:47:09Z

Maria.p: /* .-Problema de valor inicial (Método del Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
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while y1(i)>cond
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end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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plot(t1,y1)
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hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
Resolución del problema anterior por el Método del Trapecio para h=0.1 de forma que se detiene al alcanzar el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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i=i+1;

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while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
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z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
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z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
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y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T09:44:35Z

Maria.p: /* .-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del Trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
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legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
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y0=[1,0,0]';
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I=eye(3);
y(:,1)=y0;
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A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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plot(t,y(1,:),'--')
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T09:43:54Z

Maria.p: /* .-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio) */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
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while y1(i)>cond
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while y2(n)>cond
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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disp(i)
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hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
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disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
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plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
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K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|Cada gráfica por separado para la comparación de los métodos Euler y Trapecio en la desintegración de cada masa]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T09:38:54Z

Maria.p: /* .-Serie de desintegración radiactiva */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permite conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T02:23:45Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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while y2(n)>cond
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
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disp(i)
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]

Observando la gráfica anterior, vemos que tanto para un paso de 0.1 como para uno de 0.01, el método de Euler mantiene un error similar a lo largo de todo el intervalo, por lo tanto podemos afirmar que es estable.
En el problema planteado la masa está expresada como porcentaje de la masa inicial, por lo que esto, sumado a que el error se mantiene estable, hará que el tiempo no dependa de la masa inicial.

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
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z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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disp('tiempo final:')
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}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
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t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
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while y2(n)>cond1

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y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
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disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
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y=zeros(3,N+1);
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y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|]]

Al ser cinco veces mayor la velocidad de desintegración de la masa A que la de B, podemos observar que ésta se desintegra prácticamente entera en un breve periodo de tiempo, comparando con un mayor periodo de desaparición de la masa B. La masa B comienza aumentando y continúa con el paso del tiempo, hasta el punto en el que su relación con la masa A sea igual a la relación entre sus constantes de desintegración, en nuestro caso, cuando la masa B sea 5 veces mayor que la masa A. A partir de este instante la masa B empieza a decrecer.

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
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y=zeros(3,N+1);
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z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

En este caso, al haber intercambiado las constantes, el máximo de la masa B tendrá lugar cuando sea cinco veces menor que la masa A, al contrario del apartado anterior que se daba cuando era cinco veces mayor, pero se dará en el mismo instante que antes. Por otro lado, vemos que la masa C aumenta del mismo modo en los dos casos, ya que ésta depende tanto de la masa A y la masa B, pero el intercambio entre las constantes de desintegración de A y B no varía la cantidad de C en cada instante.

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T00:28:10Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
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end
while y2(n)>cond
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disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
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}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]
¿??¿? es estableeeee¿?¿?¿¿

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
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}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
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y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
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y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-06T00:21:53Z

Maria.p:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas con una determinada energía cinética.

Esta propiedad, característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.

Un ejemplo de ello es el carbono 14, el cual, es comúnmente utilizado para, en función del grado de desintegración en que se encuentre, calcular la edad de restos arqueológicos.

Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo:
'''M'(t)=-kM(t)'''

==.-Interpretación==
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

A partir esta podemos deducir que M(t) representa la cantidad de masa del elemento radiactivo en cada instante del tiempo. La cual depende de la masa inicial, M0, y de la constante k, constante de desintegración, que es característica de cada elemento y determina la velocidad de desintegración de este, como podemos observar en la ecuación diferencial.
Según avanza el tiempo la masa sigue una ley decreciente de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]
¿??¿? es estableeeee¿?¿?¿¿

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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k1=1;
N=(tN-t0)/h;
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z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
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plot(t,z(2,:),'g')
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-03T10:27:10Z

Maria.p: /* .-Serie de desintegración radiactiva */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

Este trabajo nos plantea el cálculo de la desintegración en función del tiempo de un material a otro de igual elemento. Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si M0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes M se ha reducido a la siguiente ecuación:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

donde k es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración.
El signo menos aparece porque N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente, siendo
M0 el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t=0.

==.-Interpretación==
Al interpretar las funciones M(t) y la constante k se deduce que M(t) corresponde a la masa de los materiales radiactivos que se desintegran para formar otros materiales del mismo elemento en función de la variable dependiente ‘t’.
Podemos afirmar que según avanza el tiempo la masa sigue una ley inversamente proporcional de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]
¿??¿? es estableeeee¿?¿?¿¿

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
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disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
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while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
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while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
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K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
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disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
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plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
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hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie de desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
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plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
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[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-03T10:25:53Z

Maria.p: /* .-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5 */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

Este trabajo nos plantea el cálculo de la desintegración en función del tiempo de un material a otro de igual elemento. Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si M0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes M se ha reducido a la siguiente ecuación:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

donde k es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración.
El signo menos aparece porque N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente, siendo
M0 el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t=0.

==.-Interpretación==
Al interpretar las funciones M(t) y la constante k se deduce que M(t) corresponde a la masa de los materiales radiactivos que se desintegran para formar otros materiales del mismo elemento en función de la variable dependiente ‘t’.
Podemos afirmar que según avanza el tiempo la masa sigue una ley inversamente proporcional de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
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t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
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while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]
¿??¿? es estableeeee¿?¿?¿¿

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
plot(t,y(3,:),'--r')
plot(t,z(1,:))
plot(t,z(2,:),'g')
plot(t,z(3,:),'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
hold off
legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');
}}
[[Archivo:Ejer7.png|500px|thumb|centro|]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:Ejer7.png

2015-03-03T10:25:03Z

Maria.p:

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-03T10:23:57Z

Maria.p: /* .-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5 */

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 13-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Beatriz Oliva Manzanero

Rubén Peláez Moreno

José María Pérez Doval

Álvaro Luis Pérez Martín

Ignacio Nieto Peña

María Pablos Romero }}

Este trabajo nos plantea el cálculo de la desintegración en función del tiempo de un material a otro de igual elemento. Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si M0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes M se ha reducido a la siguiente ecuación:

[[Archivo:Sistema1.png|250px|thumb|centro|]]

donde k es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración.
El signo menos aparece porque N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente, siendo
M0 el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t=0.

==.-Interpretación==
Al interpretar las funciones M(t) y la constante k se deduce que M(t) corresponde a la masa de los materiales radiactivos que se desintegran para formar otros materiales del mismo elemento en función de la variable dependiente ‘t’.
Podemos afirmar que según avanza el tiempo la masa sigue una ley inversamente proporcional de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

==.-Problema de valor inicial(Método de Euler)==
Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

[[Archivo:Sistema2.png|300px|thumb|centro| Resolución numérica del problema de valor inicial]]

{{matlab|codigo=

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
while y2(n)>cond
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--g')
legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Edad.png|300px|centro|thumb|]]
[[Archivo:Grafica32.png|600px|centro|thumb|]]
¿??¿? es estableeeee¿?¿?¿¿

==.-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)==
{{matlab|codigo=

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
z(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
plot(t1,z,'m')
legend('trapecio','location','best')
hold off
}}

[[Archivo:Grafica33.png|600px|thumb|centro|]]

==.-Vida media==
Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

[[Archivo:Vida_media.png|250px|thumb|centro|]]

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.
En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1;
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0;
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
i=i+1;

end
while y2(n)>cond1

t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2

K1=-k*RK(m);
K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;

RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t3(m+1)=t3(m)+h1;
m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
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hold off
}}

La solución de este problema sería:
[[Archivo:Vmedia.png|350px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva==
Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

[[Archivo:Sistema22.png|300px|thumb|centro|Sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.]]

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.
[[Archivo:Gráfica_desintegración_radiactiva.png|300px|thumb|centro|Serie desintegración radiactiva]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)==

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.
{{matlab|codigo=
t0=0;
tN=10;
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y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
end
hold on
plot(t,y(1,:),'--')
plot(t,y(2,:),'--g')
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xlabel('tiempo')
ylabel('masa')
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}}
[[Archivo:Ejer6.png|500px|thumb|left|]]
[[Archivo:Ejer64.png|500px|thumb|centro|]]

==.-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5==

{{matlab|codigo=
t0=0;
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N=(tN-t0)/h;
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z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
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hold on
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}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)

2015-03-03T10:21:32Z

Maria.p: