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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-13T08:49:14Z

Marcos.arroyo: /* Variación del volumen local debido al desplazamiento */

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 .
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1.

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1. En este caso y en el anterior los puntos de mayor deformación coinciden con aquellos que sufren una mayor tensión tangencial.

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-10T09:28:34Z

Marcos.arroyo:

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
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contour(xx,yy,f,20)
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hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
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Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1.

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
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f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
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Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1. En este caso y en el anterior los puntos de mayor deformación coinciden con aquellos que sufren una mayor tensión tangencial.

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
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f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:24:36Z

Marcos.arroyo: /* Variación del volumen local debido al desplazamiento */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
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axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1.

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1. En este caso y en el anterior los puntos de mayor deformación coinciden con aquellos que sufren una mayor tensión tangencial.

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:24:10Z

Marcos.arroyo: /* Variación del volumen local debido al desplazamiento */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
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hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y en los que el seno sea máximo, es decir +1 o -1.
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1.

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
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Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1. En este caso y en el anterior los puntos de mayor deformación coinciden con aquellos que sufren una mayor tensión tangencial.

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:22:48Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
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contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y en los que el coseno sea máximo, es decir +1 o -1.

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1.

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1. En este caso y en el anterior los puntos de mayor deformación coinciden con aquellos que sufren una mayor tensión tangencial.

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:20:44Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1.

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1 o -1. En este caso y en el anterior los puntos de mayor deformación coinciden con aquellos que sufren una mayor tensión tangencial.

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
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view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:19:38Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1.

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos donde hay mayor tensión tangencial son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es máximo, es decir 1. En este caso y en el anterior los puntos de mayor deformación coinciden con aquellos que sufren una mayor tensión tangencial.

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:13:10Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> y de <math>\theta</math> observamos en la figura de la derecha que los puntos de mayor deformación son aquellos que tienen menor radio, es decir menor <math>\rho</math>, y en los que el seno es maximo, es decir 1 por lo tanto tiene que cumplirse que

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:10:44Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>\rho</math> observamos en la figura de la derecha los puntos de mayor deformacion

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:10:12Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como las tensiones dependen de <math>rho</math> observamos en la figura de la derecha los puntos de mayor deformacion

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); % Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:04:22Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
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view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
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axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
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axis([-3,3,-3,3])
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f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); % Módulo de las tensiones.
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Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

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xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
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axis([-3,3,-3,3])
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:03:57Z

Marcos.arroyo: /* Temperatura del sólido */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y ,menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:02:58Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
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hold off
subplot(1,2,2)
hold on
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contour(xx,yy,f,20)
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==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
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Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
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}}
Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
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f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
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Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:01:46Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{\rho}</math> y <math>{\theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{\pi}{\theta}=2n{\pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T19:00:46Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Debido a que las tensiones en la dirección de <math>\vec g_{\rho}</math> depende de <math>{rho}</math> y <math>{theta}</math> podemos observar que los puntos de la placa circular donde el valor de estas tensiones es mayor son aquellos que tienen radio menor y los que <math>{pi}{theta}=2n{pi}</math>

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:56:44Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

En la figura de la derecha podemos observar como varía el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:55:16Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:54:13Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones 2 */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
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f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
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view(2) }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:47:02Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Apartado8.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

==Tensiones 2 ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:45:27Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones4.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*(uu.^2))+1./(20.*uu.^4)); Módulo de las tensiones tangenciales
surf(xx,yy,f)
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==Tensiones 2 ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:42:33Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2) }}

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\theta}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

==Tensiones 2 ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:41:21Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
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view(2)
}}

===Tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales===

Vamos a representar gráficamente las tensiones tangenciales que se producen en la placa respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> , debido al campo vectorial. Como observamos en la figura de la derecha....

[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones tangenciales .]]

{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
f=(-sin(pi.*vv)).*(1./(20.*uu)+1./(20.*uu.^3)); Módulo de las tensiones.
surf(xx,yy,f)
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==Tensiones 2 ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
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view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
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axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:31:29Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Tensiones 2 ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:30:10Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
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view(2)
}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
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view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
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Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
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yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
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view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
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axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:29:37Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
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surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
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subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
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==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
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view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);Módulo de las tensiones en la dirección tangencial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:29:08Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T18:19:43Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
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surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
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mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
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mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones3.png|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Tensiones4.png

2013-12-09T18:18:57Z

Marcos.arroyo:

Archivo:Tensiones3.png

2013-12-09T18:18:46Z

Marcos.arroyo:

Archivo:Apartado8.png

2013-12-09T18:18:29Z

Marcos.arroyo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T17:55:26Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T17:54:40Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
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axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
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fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
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Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
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fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T17:52:26Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T17:51:57Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
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hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}(1+\frac{1}{\rho^2}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
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Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
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yy=uu.*sin(vv);
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view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T17:50:57Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
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axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho}{1+\frac{1}{\rho^2}} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T17:48:26Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
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[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T17:43:39Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
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axis([-3,3,-3,3])
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===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:36:34Z

Marcos.arroyo:

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
===Visualización del campo de deformaciones en la placa===

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:36:02Z

Marcos.arroyo:

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

===Cálculo y representación del <math>∇T </math>===

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
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hold off
subplot(1,2,2)
hold on
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contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Deformaciones==
==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

===Comparación de la placa antes y después de la deformación===

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
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axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

===Variación del volumen local debido al desplazamiento===
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

===Cálculo del rotacional del campo vectorial===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones procudidas en la placa==
===Tensiones normales producidas por el campo vectorial===
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
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surf(xx,yy,f)
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view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
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f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
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axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

===Tensiones tangenciales ===
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
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yy=uu.*sin(vv);
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view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
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view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
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axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:30:43Z

Marcos.arroyo:

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:29:43Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
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yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
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view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
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view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
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quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
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view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>==
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:28:55Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>==
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:26:34Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
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axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
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view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
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Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
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view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
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==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>==
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:25:02Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones normales producidas por el campo vectorial */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
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surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
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==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
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view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
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view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>==
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:21:19Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
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==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math>==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>==
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:19:31Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
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==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
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axis([-3,3,-3,3])
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Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
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==Tensiones tangenciales ==
Vamos a representar las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> en cada punto de la malla:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
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mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Ahora representamos las tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> de los puntos de la malla:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:17:22Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Calculamos los vectores <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> y los dibujamos:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Calculamos los vectores <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> y los dibujamos:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:17:12Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
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view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Calculamos los vectores <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> y los dibujamos:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

Calculamos los vectores <math>\sigma \cdot \vec g_\theta</math> y los dibujamos:
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(-sin(pi.*vv).*cos(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))-(3*pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))/(20.*(uu.^2));%x del campo vectorial
fy=(-sin(pi.*vv).*sin(vv).*(1+1./(uu.^2)))./(20.*(uu.^2))+(3*pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))/(20.*(uu.^2)); ;%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la región para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:07:00Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Calculamos los vectores <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> y los dibujamos:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 4C)

2013-12-09T12:06:48Z

Marcos.arroyo: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}

Consideramos una placa circular comprendida entre las circunferencias de radio 1 y radio 2, centradas en el origen.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 4 C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Mallado del sólido ==
Nuestro mallado consiste en la representación de los puntos interiores de una placa solida, en forma de corona circular. Tomando como paso de muestreo h=1/10, los comandos en Matlab de la visualizacion de nuestra placa es la siguiente:
[[Archivo:Sin título.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la corona circular.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % Paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de las coordenadas u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibuja la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Temperatura del sólido ==
La temperatura es un campo escalar representado por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>,vamos a tratar de ver como varía la temperatura en la placa que estamos estudiando . Nuestra función depende únicamente de la variable Y, esto quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para todo valor de X. Observamos que cuanto mayor es el valor de la Y menor es la temperatura , luego los puntos de máxima temperatura son los más alejados del foco( el origen) y con menor valor de la variable Y, como podemos observar en la figura de la derecha.
[[Archivo:2.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % Intervalo[1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-3,3,-3,3]) % región de visualización
view(2)}}

==Cálculo y representación del <math>∇T </math>==

Para estudiar como varía la temperatura al movernos por el plano calculamos el gradiente de T.
<math>∇T= -e^{-y} j </math>
En la figura de la derecha podemos observar la representación del campo vectorial <math>∇T </math> y que este es perpendicular a las curvas de nivel del campo escalar T.
[[Archivo:Gradiente.png|300px|miniaturadeimagen|derecha| Curvas de nivel de T y gradiente de T]]
{{matlab|codigo=
g=-exp(-yy); % Gradiente
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes
hold on
contour(xx,yy,f,20)
surf(xx,yy,f);
quiver3(xx,yy,f,0*xx,g,0*f);
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,f,20)
hold off }}

==Visualización del campo de deformaciones en la placa==

Nuestra placa sufre deformaciones debido a una percusión dada en un t0. Esta percusión viene dada en forma de campo vectorial, el cual es el siguiente:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>

[[Archivo:U.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Campo vectorial u en la placa .]]
{{matlab|codigo=

fx=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % Componente X del campo vectorial
fy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu) ; % Componente Y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibuja el campo vectorial
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

==Comparación de la placa antes y después de la deformación==

Debido a la deformación que sufre la placa , la visualización de la placa sufre una serie de variaciones como podemos ver en la figura de la derecha. Debido a que el módulo del campo vectorial es muy pequeño (en su valor máximo es de <math>1/20</math> las variaciones producidas son apenas apreciables.
[[Archivo:Comparacióndeformacion.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Deformación de la placa.]]
{{matlab|codigo=
tt=uu.*cos(vv)+(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu); % parametrizacion
rr=uu.*sin(vv)+(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu);
subplot(1,2,2)
mesh(tt,rr,0*tt)
axis([-3,3,-3,3])
view(3) }}

==Variación del volumen local debido al desplazamiento==
La variación del volumen local la calculamos gracias a la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math>:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>
[[Archivo:Divergencia4.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Visualización del campo escalar: Divergencia]]
La divergencia es un campo escalar que depende de las variables <math>\rho</math> y <math>\theta</math> luego los puntos de mayor divergencia son los que tienen <math>\rho=1 </math> y <math>\pi\theta=2n\pi</math>
{{matlab|codigo=
f=(cos(pi.*vv).*pi)./(20.*(uu.^2)); % Campo escalar Divergencia
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3]) % selecciona la región
view(2) }}

== Cálculo del rotacional del campo vectorial.==
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.En nuestro campo de desplazamiento <math>\vec u</math>,
<math>\nabla \times \vec u =0 </math>
Si el rotacional de un campo vectorial es 0 y las derivadas parciales del campo son continuas, que en este caso lo son, podemos decir que
el campo <math>\vec u</math> es un campo conservativo.

==Tensiones normales producidas por el campo vectorial==
Obtenemos la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> y calculamos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Tomamos <math>\lambda=\mu=1</math>.
El resultado de la parte simetrica del gradiente de <math>\vec u</math>

\begin{bmatrix} 0 & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la formula, dando como resultado la siguiente matriz:
\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20}(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^3}) & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}
Ahora calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math> dandonos como resultado de tales operaciones:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\

\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{3\pi\cos(\pi\theta)}{10\rho^4}</math>
Ahora dibujamos el módulo de las tensiones en la direccion de <math>\vec g_{\rho}</math>
[[Archivo:Tensiones1.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha| tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
f=cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^2);% Módulo de las tensiones en la dirección radial
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

Dibujamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
[[Archivo:Tensiones2.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
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f=3.*cos(pi.*vv).*pi./(20.*uu.^4);
surf(xx,yy,f)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)}}

==Tensiones tangenciales ==
Calculamos los vectores <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math> y los dibujamos:
[[Archivo:Tensiones3.jpg|200px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones <math>\sigma \cdot \vec g_\rho</math>.]]
{{matlab| codigo=
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujar la malla
axis([-3,3,-3,3]) % selección de la region para dibujar
view(2) % ver el dibujo desde arriba
fx=(pi.*cos(pi.*vv).*cos(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*sin(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);% x del campo vectorial
fy=(pi.*cos(pi.*vv).*sin(vv))./(20.*uu.^2)+(sin(pi.*vv).*-cos(vv))/(20).*(1+1./uu.^2);%y del campo vectorial
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[[Categoría:Teoría de Campos]]