MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:58:26Z

Marcos Tavío: /* .-Ecuación de Bernoulli */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:FOTO23.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que (<math>\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math>) y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si se observa las representaciones de las líneas de corriente, la distribución de presiones y el módulo de la velocidad (gráficas correspondientes a los apartados 2.1, 6 y 4), se aprecia que conforme el flujo se acerca al obstáculo circular, tanto la presión como la velocidad experimentan cambios significativos.
<center>
<gallery widths="350px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

Al analizar la gráfica de la función potencial, se observa un estrechamiento de las líneas equipotenciales alrededor del cuerpo. Este fenómeno indica que el flujo debe aumentar su velocidad en dichas zonas para mantener la continuidad, mientras que en las regiones donde las líneas se encuentran más separadas, la velocidad disminuye debido a un área de paso mayor.

Utilizando el principio de Bernoulli (<math>\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> ) un incremento de velocidad implica una reducción de presión. Por ello, en los laterales del cilindro se observan zonas de presión mínima asociadas a las velocidades máximas del flujo. En cambio, en los puntos donde el fluido impacta frontalmente contra el cuerpo, la velocidad se anula, generando una presión máxima. Estos puntos de velocidad nula y presión elevada coinciden con los puntos de remanso visibles en la gráfica del coeficiente de presión del apartado 6.

La representación del campo de velocidades confirma este comportamiento, mostrando cómo la magnitud y la dirección del flujo se adaptan a la presencia del cilindro. Las flechas más largas corresponden a regiones de mayor velocidad, mientras que en las proximidades de los puntos de remanso, la intensidad del campo disminuye considerablemente.

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:58:07Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:FOTO23.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si se observa las representaciones de las líneas de corriente, la distribución de presiones y el módulo de la velocidad (gráficas correspondientes a los apartados 2.1, 6 y 4), se aprecia que conforme el flujo se acerca al obstáculo circular, tanto la presión como la velocidad experimentan cambios significativos.
<center>
<gallery widths="350px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

Al analizar la gráfica de la función potencial, se observa un estrechamiento de las líneas equipotenciales alrededor del cuerpo. Este fenómeno indica que el flujo debe aumentar su velocidad en dichas zonas para mantener la continuidad, mientras que en las regiones donde las líneas se encuentran más separadas, la velocidad disminuye debido a un área de paso mayor.

Utilizando el principio de Bernoulli (<math>\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> ) un incremento de velocidad implica una reducción de presión. Por ello, en los laterales del cilindro se observan zonas de presión mínima asociadas a las velocidades máximas del flujo. En cambio, en los puntos donde el fluido impacta frontalmente contra el cuerpo, la velocidad se anula, generando una presión máxima. Estos puntos de velocidad nula y presión elevada coinciden con los puntos de remanso visibles en la gráfica del coeficiente de presión del apartado 6.

La representación del campo de velocidades confirma este comportamiento, mostrando cómo la magnitud y la dirección del flujo se adaptan a la presencia del cilindro. Las flechas más largas corresponden a regiones de mayor velocidad, mientras que en las proximidades de los puntos de remanso, la intensidad del campo disminuye considerablemente.

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:56:59Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:FOTO23.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si se observa las representaciones de las líneas de corriente, la distribución de presiones y el módulo de la velocidad (gráficas correspondientes a los apartados 2.1, 6 y 4), se aprecia que conforme el flujo se acerca al obstáculo circular, tanto la presión como la velocidad experimentan cambios significativos.
<center>
<gallery widths="350px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

Al analizar la gráfica de la función potencial, se observa un estrechamiento de las líneas equipotenciales alrededor del cuerpo. Este fenómeno indica que el flujo debe aumentar su velocidad en dichas zonas para mantener la continuidad, mientras que en las regiones donde las líneas se encuentran más separadas, la velocidad disminuye debido a un área de paso mayor.

Utilizando el principio de Bernoulli (<math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> ) un incremento de velocidad implica una reducción de presión. Por ello, en los laterales del cilindro se observan zonas de presión mínima asociadas a las velocidades máximas del flujo. En cambio, en los puntos donde el fluido impacta frontalmente contra el cuerpo, la velocidad se anula, generando una presión máxima. Estos puntos de velocidad nula y presión elevada coinciden con los puntos de remanso visibles en la gráfica del coeficiente de presión del apartado 6.

La representación del campo de velocidades confirma este comportamiento, mostrando cómo la magnitud y la dirección del flujo se adaptan a la presencia del cilindro. Las flechas más largas corresponden a regiones de mayor velocidad, mientras que en las proximidades de los puntos de remanso, la intensidad del campo disminuye considerablemente.

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:53:23Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si se observa las representaciones de las líneas de corriente, la distribución de presiones y el módulo de la velocidad (gráficas correspondientes a los apartados 2.1, 6 y 4), se aprecia que conforme el flujo se acerca al obstáculo circular, tanto la presión como la velocidad experimentan cambios significativos.
<center>
<gallery widths="350px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

Al analizar la gráfica de la función potencial, se observa un estrechamiento de las líneas equipotenciales alrededor del cuerpo. Este fenómeno indica que el flujo debe aumentar su velocidad en dichas zonas para mantener la continuidad, mientras que en las regiones donde las líneas se encuentran más separadas, la velocidad disminuye debido a un área de paso mayor.

Utilizando el principio de Bernoulli (<math>\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> ) un incremento de velocidad implica una reducción de presión. Por ello, en los laterales del cilindro se observan zonas de presión mínima asociadas a las velocidades máximas del flujo. En cambio, en los puntos donde el fluido impacta frontalmente contra el cuerpo, la velocidad se anula, generando una presión máxima. Estos puntos de velocidad nula y presión elevada coinciden con los puntos de remanso visibles en la gráfica del coeficiente de presión del apartado 6.

La representación del campo de velocidades confirma este comportamiento, mostrando cómo la magnitud y la dirección del flujo se adaptan a la presencia del cilindro. Las flechas más largas corresponden a regiones de mayor velocidad, mientras que en las proximidades de los puntos de remanso, la intensidad del campo disminuye considerablemente.

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:44:26Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si se observa las representaciones de las líneas de corriente, la distribución de presiones y el módulo de la velocidad (gráficas correspondientes a los apartados 2.1, 6 y 4), se aprecia que conforme el flujo se acerca al obstáculo circular, tanto la presión como la velocidad experimentan cambios significativos.
<center>
<gallery widths="350px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 29)

2025-12-04T15:42:53Z

Marcos Tavío: /* Trayectorias de Partículas */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular (Grupo 29) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rodrigo de Pelayo García García

Sergio Resino Velayo

Cayetano Gilabert Castejón

Hugo Moreno Peregrina }}
El estudio del [https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo '''flujo'''] alrededor de un cilindro circular es uno de los problemas más clásicos y analizados en la [https://es.wikipedia.org/wiki/Mecánica_de_fluidos '''mecánica de fluidos''']
teórica y aplicada. Su importancia en [https://es.wikipedia.org/wiki/Ingeniería_civil '''ingeniería civil'''] es notable, pues muchas estructuras presentan formas aproximadamente cilíndricas: pilas de puentes,
torres, tirantes, pilotes o tuberías expuestas a corrientes o viento.

Comprender el comportamiento del flujo permite predecir fenómenos como la distribución de presiones alrededor del obstáculo, las fuerzas de arrastre y sustentación, el desprendimiento periódico de vórtices, los fenómenos de resonancia estructural y la erosión local en estructuras hidráulicas. El flujo alrededor de un cilindro combina varios conceptos clave de Teoría de Campos: los campos vectoriales, el gradiente, el rotacional, la divergencia y las líneas de corriente. A lo largo de este trabajo se desarrolla progresivamente la formulación matemática completa.

= Región del fluido y mallado en coordenadas polares =

Para comenzar, se genera una malla que representa los puntos pertenecientes a la región donde se encuentra el fluido, situada en el exterior del cilindro de radio unidad. Para describir esta zona se emplean coordenadas polares dentro del anillo comprendido entre los radios 1 y 5, con centro en el origen. La visualización final se mostrará en coordenadas cartesianas dentro del dominio [-4,4] x [-4,4], de modo que se aprecie correctamente el área de trabajo.

Mediante el siguiente código elaborado en [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB '''MATLAB'''] es posible representar dicha malla:

[[Archivo:mallado3_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Mallado que representa los puntos interiores de la región que ocupa un fluido]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros del anillo
rho_inner = 1; % radio interior (círculo unidad)
rho_outer = 5; % radio exterior
n_rho = 40; % número de curvas rho = cte (radiales concéntricas)
n_theta = 40; % número de curvas theta = cte (radiales)

% Generar malla en coordenadas polares
rho = linspace(rho_inner, rho_outer, n_rho);
theta = linspace(0, 2*pi, n_theta);
[U,V] = meshgrid(rho,theta);

%Prarametrizar la superficie
hold on
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;

%Representación del mallado y dibujo del círculo
mesh(X,Y,Z);
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'LineWidth',2);
%Delimitar los ejes
axis equal;
axis([-4,4,-4,4]);

% Marcas de eje
box on;
grid off;

% Etiquetas y título
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Mallado del anillo');

hold off
}}

= Función potencial y campo de velocidades=

Una vez delimitada la región en la que vamos a trabajar, el siguiente paso consiste en analizar el movimiento del fluido. Para ello estudiaremos la velocidad asociada a la función potencial, recordando que la velocidad en este tipo de modelos se obtiene aplicando el gradiente a dicha función.

Antes de continuar, resulta útil recordar brevemente qué entendemos por campo escalar y campo vectorial. Un campo escalar definido sobre un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una función que asigna a cada punto de D un valor numérico. En cambio, un campo vectorial en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> asocia a cada punto de D un veto, describiendo así tanto magnitud como direccional en cada posición del espacio.

==Función potencial==
La función potencial a representar es la siguiente:
<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )</math></center>

[[Archivo:Funcion_potencial_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Funcion Potencial]]

{{matlab|codigo=
I = linspace(1,5,200); % mallado en rho
J = linspace(0,2*pi,300); % mallado en theta

[rho,theta] = meshgrid(I,J);

hold on

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Funcion potencial correcta
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho)*cos(theta)
phi = (rho + 1./rho) .* cos(theta);

% Contornos de la función de nivel
contour(X, Y, phi, 50, 'LineWidth', 1)

% Círculo de radio 1
plot(cos(J), sin(J), 'LineWidth', 2);

view(2);
axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;

title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');

axis equal
hold off

}}

==Campo de velocidades==

La velocidad de un campo escalar se representa a través del gradiente de esa función. Por eso, el campo de velocidades se expresa como <math>\vec u=\nabla\varphi</math>. El gradiente escrito en coordenadas polares, queda:
<center><math>\vec u=\nabla\varphi=\frac{∂φ}{∂\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{∂φ}{∂\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

Por lo tanto, se tiene que el campo de velocidades de la función potencial dada será:

<center><math>\vec u=((1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)\vec{e}_\rho-(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)\vec{e}_\theta</math></center>

[[Archivo:Campo_velocidades_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Zoom_campo_velocidades_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Zoom campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
rho = linspace(1, 5, 40); % Rango radial
th = linspace(0, 2*pi, 80); % Rango angular más fino para mejor detalle

[U, V] = meshgrid(rho, th);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = U .* cos(V);
Y = U .* sin(V);

% Función potencial
phi = (U + 1./U) .* cos(V);

% Derivadas parciales en polares
dphi_dr = (1 - 1./U.^2) .* cos(V);
dphi_dth = -(1 + 1./U^2) .* sin(V);

% Gradiente transformado a coordenadas cartesianas
Cx = cos(V).*dphi_dr - (sin(V)./U).*dphi_dth;
Cy = sin(V).*dphi_dr + (cos(V)./U).*dphi_dth;

% Figura completa

figure;
subplot(1,2,1)
contour(X, Y, phi, 30)
hold on
quiver(X, Y, Cx, Cy, 'r')
plot(cos(th), sin(th), 'k', 'LineWidth', 1)
axis equal axis([-5 5 -5 5])
title('Función potencial y campo de velocidades')
xlabel('X')
ylabel('Y')
colorbar
hold off

% Zoom

subplot(1,2,2)
contour(X, Y, phi, 30)
hold on
quiver(X, Y, Cx, Cy, 'r')
plot(cos(th), sin(th), 'k', 'LineWidth', 1)

% Ajuste del zoom
axis equal
zoom_x = [-2 0];
zoom_y = [0 2];
axis([zoom_x zoom_y])
title('Zoom: ∇\phi ortogonal a curvas de nivel')
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off

}}

= Divergencia y Rotacional=

==Divergencia del campo de velocidades==
Sea <math>\vec u=u_\rho\vec{e}_\rho+u_\theta\vec{e}_\theta+u_z\vec{e}_z</math>

La divergencia de un campo viene dada por la siguiente fórmula:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\rho\cdot\ u_\rho)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}u_\theta+\frac{\partial}{\partial{z}}(\rho\cdot\ u_z)]</math></center>

La divergencia de un campo vectorial representa una magnitud escalar en la que se compara el flujo entrante y saliente en una superficie. Ahora calculamos la divergencia para nuestra función:

<center><math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}[(\rho-\frac{1}{\rho})cos(\theta)]+\frac{\partial}{\partial{\theta}}[-(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)]]=\frac{1}{\rho}[(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]+[-(1+\frac{1}{\rho^2})cos(\theta)]=0</math></center>

En conclusión, hemos obtenido que <math> {\nabla \cdot \vec u = 0} </math> , por lo que sabemos que el fluido ni se expande ni se contrae, así que podemos garantizar que el fluido es incompresible.

==Rotacional del campo de velocidades==
Sea <math>\vec u=u_\rho\vec{e}_\rho+u_\theta\vec{e}_\theta+u_z\vec{e}_z</math>

El rotacional de un campo se define como:

<center><math>\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\cdot\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ u_\rho & \rho\cdot\ u_\theta & {u_z} \end{vmatrix}</math></center>

El rotacional indica tanto la dirección como la velocidad del giro del campo estudiado en cada punto. Muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Aplicando esto a nuestra función, obtenemos que:

<center><math>\nabla\times\vec u=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_{\rho}&\rho\vec {e}_{\theta}&\vec {e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial{\rho}} & \frac{\partial}{\partial{\theta}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ (1-\frac{1}{\rho^2})cos(\theta) & -(\rho+\frac{1}{\rho})sin(\theta) & {0} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}[(\frac{1}{\rho^2}-1)sen(\theta)]\vec {e}_{z}+[(1-\frac{1}{\rho^2})sen(\theta)]\vec {e}_{z}=\vec {0}</math></center>

Tras los cálculos, obtenemos que <math>{\nabla\times\bar{u}=0}</math>, por tanto las partículas del flujo no giran.

= Líneas de Corriente =

Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido. Son curvas tangentes a los vectores velocidad de cada partícula. Para calcularlas, simplemente basta con hallar el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math>, o sea, <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\(1-\frac{1}{\rho ^2})cos(\theta)&-(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)&0\end{vmatrix}=[(1+\frac{1}{\rho^2})sin(\theta)]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2})cos(\theta)]e_\theta</math></center>

Sabiendo que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es nula, podemos decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Además existe un potencial escalar <math>\psi </math>, cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>, que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Para calcularla, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (<math>V_z</math> se puede despreciar ya que se está trabajando en el plano):

<center><math>V_\rho=\frac{\partial \psi }{\partial \rho }</math> , <math>V_\theta=\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }</math></center>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones, obtenemos la función <math>\psi=(\rho-\frac{1}{\rho})sin(\theta)</math>

A continuación creamos una representación gráfica en la que comprobamos que los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Este ha sido el código utilizado:

[[Archivo:vector_U_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Líneas de corriente, velocidad y vector u]]
[[Archivo:vector_U_zoom_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Líneas de corriente, velocidad y vector u con zoom ]]
{{matlab|codigo=
% Definición del mallado
nr = 40; nt = 80;
r = linspace(1, 4, nr);
theta = linspace(0, 2*pi, nt);
[R, T] = meshgrid(r, theta);

X = R .* cos(T);
Y = R .* sin(T);

% Cálculo función de corriente(Psi)
Psi = (R - 1./R) .* sin(T);

% Cálculo vector velocidad (u)
% Componentes en Polares
Ur = (1 - 1./R.^2) .* cos(T);
Ut = -(1 + 1./R.^2) .* sin(T);

% Convertimos a Cartesianas
Ux = Ur .* cos(T) - Ut .* sin(T);
Uy = Ur .* sin(T) + Ut .* cos(T);
Vx = -Uy;
Vy = Ux;

% Representación gráfica
figure(4); clf;
set(gcf, 'Color', 'w');

[C, h] = contour(X, Y, Psi, 50, 'LineWidth', 1);
hold on;

% Superponemos el campo de velocidades (u)
quiver(X , Y , Ux, Uy, 'LineWidth', 0.45 );

quiver(X, Y, Vx, Vy,'color','r', 'LineWidth', 0.45)

% Dibujamos el obstáculo
plot(cos(theta), sin(theta), 'LineWidth', 2);

axis equal; axis([-3.5 3.5 -3 3]);
%si le ponemos zoom: axis([-1.5 -0.5 -0 1])

title('Apartado 4: Líneas de Corriente (\psi = cte) y Velocidad (\vec{u})');
xlabel('x'); ylabel('y');

fprintf('Observa cómo las flechas negras (\vec{u}) son siempre TANGENTES a las líneas azules (\psi).\n');

}}

= Puntos de Frontera=

Analizamos la velocidad en la frontera es decir sobre la superficie del cilindro (<math>\rho = 1</math>).

* La componente radial es nula: <math>u_\rho(1, \theta) = 0</math>.

* La componente tangencial es: <math>u_\theta(1, \theta) = -2\sin\theta</math>.

* El módulo de la velocidad es: <math>|\vec{u}| = 2|\sin\theta|</math>.

====Puntos de Remanso (Velocidad = 0):====

Se dan cuando <math>\sin\theta = 0</math>.

* <math>\theta = 0 \rightarrow (x, y) = (1, 0)</math>

* <math>\theta = \pi \rightarrow (x, y) = (-1, 0)</math>

En estos puntos, el fluido choca contra el obstáculo y se detiene momentáneamente.

====Puntos de Velocidad Máxima (Velocidad = 2):====

Se dan cuando <math>|\sin\theta| = 1</math>.

* <math>\theta = \pi/2 \rightarrow (x, y) = (0, 1)</math>

* <math>\theta = 3\pi/2 \rightarrow (x, y) = (0, -1)</math>

El fluido se acelera en los "hombros" del cilindro debido al estrechamiento de las líneas de corriente.

=Presión según Bernouilli =

Partimos de la ecuación de Bernoulli para un fluido con densidad <math>\rho = 2</math>:
:<math>\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math>

Sustituyendo <math>\rho = 2</math>, la ecuación se simplifica:
:<math>|\vec{u}|^2 + p = C \implies p = C - |\vec{u}|^2</math>

Para el cálculo y la representación gráfica, elegiremos un valor arbitrario para la constante, por ejemplo '''C = 5'''. Así, la ecuación del campo de presiones es:
:<math>p(\rho, \theta) = 5 - |\vec{u}(\rho, \theta)|^2</math>

'''Análisis de Extremos:'''

Observando la ecuación, la presión y la velocidad tienen una relación inversa (si una crece, la otra disminuye):

* '''Presión Máxima:''' Se alcanza donde la velocidad es mínima (<math>|\vec{u}|=0</math>).
*: Coincide con los '''Puntos de Remanso''' en <math>(1, 0)</math> y <math>(-1, 0)</math>.
*: Valor máximo: <math>p_{max} = 5 - 0 = 5</math>.

* '''Presión Mínima:''' Se alcanza donde la velocidad es máxima (<math>|\vec{u}|=2</math>).
*: Ocurre en la parte superior <math>(0, 1)</math> e inferior <math>(0, -1)</math> del cilindro.
*: Valor mínimo: <math>p_{min} = 5 - 2^2 = 1</math>.

Esto explica el fenómeno físico: el fluido pierde presión al acelerarse para rodear el obstáculo (efecto Venturi) y recupera presión al frenarse en la zona de estancamiento.

[[Archivo:Presiones_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Presiones y puntos de remanso y velocidad máxima]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros
U = 1; % Velocidad del flujo uniforme
a = 1; % Radio del cilindro
N = 400; % Resolución del mallado

rho = 1; % Densidad del fluido (puedes cambiarla)

%% Malla
x = linspace(-3,3,N);
y = linspace(-3,3,N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
Theta = atan2(Y,X);

%% Campo de velocidades potencial
ur = U .* cos(Theta) .* (1 - (a^2 ./ R.^2));
ut = -U .* sin(Theta) .* (1 + (a^2 ./ R.^2));

Ux = ur .* cos(Theta) - ut .* sin(Theta);
Uy = ur .* sin(Theta) + ut .* cos(Theta);

% Magnitud
V = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);

% En el interior del cilindro no hay flujo
mask = (R < a);
V(mask) = NaN;

%% Cálculo del coeficiente de presión
% Bernoulli ideal:
% C_p = 1 - (V/U)^2
Cp = 1 - (V./U).^2;

%% Presión absoluta relativa (solo escala)
p = rho * U^2 * Cp / 2;
p(mask) = NaN;

%% Gráfica
figure("Color","w");
contourf(X, Y, Cp, 60, "LineStyle", "none");
colorbar
hold on

% Contorno del cilindro
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel("x");
ylabel("y");
title("Campo de presiones (Coeficiente C_p) alrededor de un cilindro");

}}

= Trayectorias de Partículas =
Observando las representaciones de las líneas de corriente, la distribución de presiones y el módulo de la velocidad (gráficas correspondientes a los apartados 2.1, 6 y 4), se aprecia que conforme el flujo se acerca al obstáculo circular, tanto la presión como la velocidad experimentan cambios significativos.

<center>
<gallery widths="250px" heights="250px">
Archivo:Lineas_de_corriente_1_rodrigodepelayo.png
Archivo:Presiones_rodrigodepelayo.png
Archivo:Campo_velocidades_rodrigodepelayo.png
</gallery>
</center>

Al observar la gráfica de las líneas de corriente, se puede notar un estrechamiento al rodear el cuerpo. Debido a que el área de paso se reduce, el fluido debe acelerar para mantener el caudal constante. Mientras que en la zonas donde las líneas de corriente están más espaciadas, el área de paso es mayor y por ello la velocidad disminuye.

Utilizando el principio de Bernoulli (<math>\frac{1}{2}\rho|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> ) explicado en el apartado anterior, un aumento de velocidad supone una disminución de presión. Por lo tanto, al rodear un cuerpo circular, la velocidad aumenta y la presión disminuye. Por el contrario, en el punto de impacto frontal se produce una velocidad nula, provocando una presión máxima.
Los puntos de velocidad máxima y los puntos de velocidad mínima (puntos de remanso) se ven representados en la grafica de presiones del apartado 6.

= Circulación y Paradoja de D' Alembert =
A continuación, vamos a comprobar que la circulación del campo <math>\vec{u}</math> alrededor del obstáculo circular se anula. Aplicando el teorema de Kutta-Joukowski, el cual nos dice que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a esta circulación, y sabiendo que es nula, podemos concluir que el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es lo que se conoce como la Paradoja de D'Alembert. Mediante la resolución de la siguiente integral, demostramos este suceso.

Sean: p = presión particularizada en <math>\rho=1</math>, <math>\vec n</math> = vector perpendicular a la curva

<center><math>\int_{0}^{2\pi}p·\vec{n}·\vec{i}d\theta</math></center>

Puesto que <math>p\cdot\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.

<math>p(\rho, \theta) = 5 - |\vec{u}(\rho, \theta)|^2 = 5 - |\vec{u}(1,\theta)|^2 = 5 - 4sin^2(\theta)</math>

<math>\vec {n} = -\vec {e}_\rho</math>

<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

Finalmente se llega a <math>\vec{n}\cdot\vec{i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

<center><math>\int_{0}^{2\pi}p·\vec{n}·\vec{i}d\theta=\int_{0}^{2\pi}(5 - 4sin^2(\theta))\cdot(-cos(\theta))d\theta=-[\frac{1}{3}(-4sin^3(\theta)+15sin(\theta))]_{0}^{2\pi}=0</math></center>

Finalmente, queda demostrado que la resultante de las fuerzas que ejerce el flujo en dirección horizontal es nula, cumpliendo así la Paradoja de D'Alembert.

= Flujo cambiando la función =
== Función potencial y campo de velocidades==
A continuación, observáremos como la función

<center><math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\frac{\theta}{4\pi} </math></center>

Influye en:

=== El flujo potencial===

[[Archivo:Foto.png|400px|miniaturadeimagen|Funcion Potencial]]
{{matlab|codigo=
I = linspace(1,5,200); % mallado en rho
J = linspace(0,2*pi,300); % mallado en theta

[rho,theta] = meshgrid(I,J);

hold on

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% --- Función potencial corregida ---
% phi(rho,theta) = (rho + 1/rho)*cos(theta) + theta/(4*pi)
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta) + theta/(4*pi);

% Contornos de la función de nivel
contour(X, Y, phi, 50, 'LineWidth', 1)

% Círculo de radio 1
plot(cos(J), sin(J), 'LineWidth', 2);

view(2);
axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;

title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');

axis equal
hold off

}}

=== Campo de velocidades===

La velocidad de un campo escalar se representa a través del gradiente de esa función. Por eso, el campo de velocidades se expresa como <math>\vec{u} = \nabla\varphi</math>. El gradiente escrito en coordenadas polares, queda:

<center><math>\vec{u} = \nabla\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial \rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\vec{e}_\theta</math></center>

Para este caso, la función potencial incluye un término de circulación, definida como:

<center><math>\varphi = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos(\theta) + \frac{\theta}{4\pi}</math></center>

Calculando las derivadas parciales correspondientes:

<center><math>\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta)</math></center>

<center><math>\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin(\theta) + \frac{1}{4\pi}</math></center>

Por lo tanto, sustituyendo en la definición del gradiente (recordando dividir el término angular por <math>\rho</math>), se tiene que el campo de velocidades será:

<center><math>\vec{u} = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta)\vec{e}_\rho - \left[ \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\vec{e}_\theta</math></center>
[[Archivo:Funcion_potencial_2_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Funcion Potencial]]
[[Archivo:Funcion_potencial_2_zoom_rodrigodepelayo.png|400px|miniaturadeimagen|Funcion Potencial]]
{{matlab|codigo=
rho = linspace(1, 5, 40); % Rango radial
th = linspace(0, 2*pi, 80); % Rango angular más fino para mejor detalle

[U, V] = meshgrid(rho, th);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = U .* cos(V);
Y = U .* sin(V);

% Función potencial
phi = (U + 1./U).*cos(V) + V/(4*pi);

% Derivadas parciales en polares
dphi_dr = (1 - 1./U.^2).* cos(V);
dphi_dth = -(U + 1./U).*sin(V) + 1/(4*pi);

% Gradiente transformado a coordenadas cartesianas
Cx = cos(V).*dphi_dr - (sin(V)./U).*dphi_dth;
Cy = sin(V).*dphi_dr + (cos(V)./U).*dphi_dth;

% Figura completa

figure;
subplot(1,2,1)
contour(X, Y, phi, 30)
hold on
quiver(X, Y, Cx, Cy, 'r')
plot(cos(th), sin(th), 'LineWidth', 2)
axis equal; axis([-5 5 -5 5])
title('Función potencial y campo de velocidades')
xlabel('X')
ylabel('Y')
colorbar
hold off

% Zoom

subplot(1,2,2)
contour(X, Y, phi, 30)
hold on
quiver(X, Y, Cx, Cy, 'r')
plot(cos(th), sin(th), 'LineWidth', 2)

% Ajuste del zoom
axis equal
zoom_x = [0.5 2.5];
zoom_y = [-1 1];
axis([zoom_x zoom_y])
title('Zoom: ∇\phi ortogonal a curvas de nivel')
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
}}

== Divergencia y Rotacional==

===Divergencia del campo de velocidades ===
Sea <math>\vec{u} = u_\rho\vec{e}_\rho + u_\theta\vec{e}_\theta + u_z\vec{e}_z</math>

La divergencia de un campo viene dada por la siguiente fórmula en coordenadas cilíndricas:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \cdot u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} u_\theta + \frac{\partial}{\partial z}(\rho \cdot u_z) \right]</math></center>

La divergencia de un campo vectorial representa una magnitud escalar en la que se compara el flujo entrante y saliente en una superficie. Ahora calculamos la divergencia para nuestra función con circulación:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left[ \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\cos(\theta) \right] + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}\left[ -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) + \frac{1}{4\pi\rho} \right]</math></center>

Observamos que la derivada respecto a <math>\theta</math> del término de circulación (<math>\frac{1}{4\pi\rho}</math>) es cero.

<center><math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\left[ \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right] + \frac{1}{\rho}\left[ -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right] = 0</math></center>

En conclusión, hemos obtenido que <math>\nabla \cdot \vec{u} = 0</math>, por lo que sabemos que el fluido ni se expande ni se contrae, así que podemos garantizar que el fluido es incompresible.

===Rotacional del campo de velocidades ===
Sea <math>\vec{u} = u_\rho\vec{e}_\rho + u_\theta\vec{e}_\theta + u_z\vec{e}_z</math>

El rotacional de un campo se define como:

<center><math>\nabla \times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho \cdot \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_\rho & \rho \cdot u_\theta & u_z \end{vmatrix}</math></center>

El rotacional indica tanto la dirección como la velocidad del giro del campo estudiado en cada punto. Muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Aplicando esto a nuestra función, donde <math>\rho u_\theta = -(\rho + 1/\rho)\sin(\theta) + 1/4\pi</math>, obtenemos que:

<center><math>\nabla \times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) & -(\rho + \frac{1}{\rho})\sin(\theta) + \frac{1}{4\pi} & 0 \end{vmatrix}</math></center>

Calculando la componente en <math>\vec{e}_z</math> (única no nula en 2D):

<center><math>\nabla \times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho}\left( -(\rho + \frac{1}{\rho})\sin(\theta) + \frac{1}{4\pi} \right) - \frac{\partial}{\partial \theta}\left( (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) \right) \right]\vec{e}_z</math></center>

<center><math>= \frac{1}{\rho} \left[ \left( -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + 0 \right) - \left( -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z = \vec{0}</math></center>

Tras los cálculos, obtenemos que <math>\nabla \times \vec{u} = 0</math>, por tanto las partículas del fluido no giran (es irrotacional), a pesar de la existencia de circulación global alrededor del cilindro.

==Líneas de corriente==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido. Son curvas tangentes a los vectores velocidad de cada partícula. Para calcularlas, simplemente basta con hallar el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math>, o sea, <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>:

<center><math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) & -\left[(1 + \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) - \frac{1}{4\pi\rho}\right] & 0 \end{vmatrix}</math></center>

<center><math>= \left[ \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{4\pi\rho} \right]\vec{e}_\rho + \left[ \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right]\vec{e}_\theta</math></center>

Sabiendo que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es nula, podemos decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional (y viceversa). Además existe un potencial escalar <math>\psi</math>, cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>, que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Para calcularla, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (<math>V_z</math> se puede despreciar ya que se está trabajando en el plano):

<center><math>V_\rho = \frac{\partial \psi}{\partial \rho}, \quad V_\theta = \frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}</math></center>

Al integrar <math>V_\rho</math> respecto a <math>\rho</math>, el término <math>1/\rho</math> da lugar a un logaritmo natural. Tras despejar e integrar ambas ecuaciones, obtenemos la función <math>\psi</math>:

<center><math>\psi = \left(\rho - \frac{1}{\rho}\right)\sin(\theta) - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho)</math></center>

A continuación creamos una representación gráfica en la que comprobamos que los vectores que componen <math>\vec{u}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Este ha sido el código utilizado:

[[Archivo:Fotosinzoom.png|500px|miniaturadeimagen]]
[[Archivo:Fotoconzoom.png|500px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
% Configuración del Modelo
nr = 60; nt = 100; % Aumentamos la resolución para curvas suaves
r = linspace(1, 4.5, nr); % Radio desde 1 hasta 4.5
theta = linspace(0, 2*pi, nt); % 0 a 2pi
[R, T] = meshgrid(r, theta);

% Coordenadas Cartesianas
X = R .* cos(T);
Y = R .* sin(T);

% Cálculos Físicos
% 1. Función de Corriente (Psi)
Psi = (R - 1./R) .* sin(T) - (1/(4*pi)) * log(R);

% 2. Campo de Velocidades (u)
Ur = (1 - 1./R.^2) .* cos(T);
Ut = -(1 + 1./R.^2) .* sin(T) + 1./(4*pi*R);

% Conversión de vectores a Cartesianas
Ux = Ur .* cos(T) - Ut .* sin(T);
Uy = Ur .* sin(T) + Ut .* cos(T);

% GENERACIÓN DE GRÁFICOS
figure('Name', 'Líneas de Corriente y Velocidad', 'Color', 'w');

% GRÁFICA 1: VISTA NORMAL
subplot(1, 2, 1)

% Dibujamos líneas de corriente
contour(X, Y, Psi, 40, 'LineWidth', 1.0);
hold on

% Dibujamos vectores de velocidad (u)
q1 = quiver(X, Y, Ux, Uy, 'Color', [0.2 0.2 0.2], 'LineWidth', 0.8);

% Dibujamos el cilindro
plot(cos(theta), sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2.5);
axis equal
axis([-3.5 3.5 -3 3])
title('Vista General: Líneas de Corriente \psi')
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off

% GRÁFICA 2: ZOOM
subplot(1, 2, 2)

% Dibujamos líneas de corriente
contour(X, Y, Psi, 60, 'LineWidth', 1.2);
hold on

% Dibujamos vectores de velocidad
q2 = quiver(X, Y, Ux, Uy, 'Color', 'r', 'LineWidth', 1.2, 'AutoScaleFactor', 0.6);

% Dibujamos el cilindro
plot(cos(theta), sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3);
axis equal
axis([-2 0.5 0 2])
title('Zoom: Detalle cerca de la superficie')
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:40:49Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="350px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:40:41Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="300px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:39:37Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="350px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:39:15Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="400px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:39:05Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="300px" heights="300px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:38:44Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="250px" heights="400px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:38:32Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="250px" heights="250px">
Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:30:27Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="250px" heights="250px">
Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Velocidades2_2.jpg
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:29:27Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="250px" heights="250px">
Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png
Archivo:apartadonum6.jpg
Archivo:Campo_velocidades_rodrigodepelayo.png
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:26:57Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="250px" heights="250px">
Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png
Archivo:Presiones_rodrigodepelayo.png
Archivo:Campo_velocidades_rodrigodepelayo.png
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T15:26:11Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
<center>
<gallery widths="250px" heights="250px">
Archivo:Lineas_de_corriente_1_rodrigodepelayo.png
Archivo:Presiones_rodrigodepelayo.png
Archivo:Campo_velocidades_rodrigodepelayo.png
</gallery>
</center>

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:11:02Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:06:19Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho},\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta},\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:05:14Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho},\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta},\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta ;+; \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:00:43Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:55:27Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:55:10Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta ;+; \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:53:29Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:41:31Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:41:01Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Archivo:VeloEje9.png

2025-12-03T14:40:41Z

Marcos Tavío:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:39:27Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:26:14Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>

 
 <math>

p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:25:59Z

Marcos Tavío: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>

 
 <math>

p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen|Función Potencial]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Archivo:PotEje9.png

2025-12-03T14:24:38Z

Marcos Tavío:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:21:25Z

Marcos Tavío: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>

 
 <math>

p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:21:00Z

Marcos Tavío: /* Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>

 
 <math>

p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:20:14Z

Marcos Tavío: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>

 
 <math>

p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

==Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:19:59Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>

 
 <math>

p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T14:18:53Z

Marcos Tavío: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>

 
 <math>

p = 1 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (1 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -\cos\theta , d\theta = [-\sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T20:10:55Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Archivo:VyU2.png

2025-12-02T20:10:36Z

Marcos Tavío:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T20:09:37Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T20:08:51Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Archivo:VyU.png

2025-12-02T20:06:40Z

Marcos Tavío:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T19:26:11Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Funcion Potencial]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T19:21:34Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Potencial.png|400px|miniaturadeimagen|Funcion Potencial]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png

2025-12-02T19:18:16Z

Marcos Tavío:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T19:14:37Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T15:12:21Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Puntos de la frontera S===
El módulo de la velocidad sobre la frontera <math>\rho = 1</math> es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math> 

Para hallar los máximos y mínimos, derivamos respecto a <math>\theta</math>:

<math>\frac{d}{d\theta}|u| = 2 \cos\theta</math> 
Igualando a cero:

<math>\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>

Por tanto:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2</math> en <math>\theta = \pi/2, 3\pi/2</math> 
Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (excepto puntos de remanso): <math>|u| = 0</math> en <math>\theta = 0, \pi</math>
(estos ya se identificarán como puntos de remanso en la sección 5.2).

Para representar cómo varía el módulo de la velocidad con el ángulo <math>\theta</math>:

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T15:11:10Z

Marcos Tavío: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Puntos de la frontera S===
El módulo de la velocidad sobre la frontera <math>\rho = 1</math> es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math> 

Para hallar los máximos y mínimos, derivamos respecto a <math>\theta</math>:

<math>\frac{d}{d\theta}|u| = 2 \cos\theta</math> 
Igualando a cero:

<math>\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>

Por tanto:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2</math> en <math>\theta = \pi/2, 3\pi/2</math> 
Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (excepto puntos de remanso): <math>|u| = 0</math> en <math>\theta = 0, \pi</math>
(estos ya se identificarán como puntos de remanso en la sección 5.2).

Para representar cómo varía el módulo de la velocidad con el ángulo <math>\theta</math>:

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

clear; clc;
I = linspace(1,5,50);
J = linspace(0,2*pi,80);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);

X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Potencial
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on

% Componentes de la velocidad
DX = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta).*cos(theta) ...
- (-(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta)).*sin(theta);

DY = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta).*sin(theta) ...
+ (-(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta)).*cos(theta);

quiver(X,Y,DX,DY);

plot(cos(J),sin(J),'k','lineWidth',2);

axis([-5,5,-5,-5]);
colorbar;
title('Variacion de la Velocidad alrededor del Obstaculo');
xlabel('X'); ylabel('Y');
axis equal; view(2);
hold off

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T15:00:15Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Puntos de la frontera S===
El módulo de la velocidad sobre la frontera <math>\rho = 1</math> es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math> 

Para hallar los máximos y mínimos, derivamos respecto a <math>\theta</math>:

<math>\frac{d}{d\theta}|u| = 2 \cos\theta</math> 
Igualando a cero:

<math>\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>

Por tanto:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2</math> en <math>\theta = \pi/2, 3\pi/2</math> 
Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (excepto puntos de remanso): <math>|u| = 0</math> en <math>\theta = 0, \pi</math>
(estos ya se identificarán como puntos de remanso en la sección 5.2).

Para representar cómo varía el módulo de la velocidad con el ángulo <math>\theta</math>:

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math> lo que quiere decir que <math>\vec{u}(1,\theta) = (-2 \cdot sin(\theta) - 1)</math>. 
El módulo de <math>\vec{u}(1,\theta)</math> es |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1)</math> 
Para que |<math>\vec{u}</math>| alcance su valor máximo, <math>sin(\theta)</math> tiene que ser igual a 1. Esto se alcanza en el ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math>. 
Para calcular el punto de remanso se ha de igualar |<math>\vec{u}</math>| a 0 y despejar el valor de <math>\theta</math>: 
<math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1) = 0</math> 
Finalmente <math>\theta = \frac{11 \pi}{6}</math> y <math>\frac{7 \pi}{6}</math> ; existen 2 puntos de remanso. 
Para observar estos cálculos visualmente, una vez más se a codificado todo en MATLAB para así observar como en los puntos de remanso efectivamente no se aprecia ningún vector:
[[Archivo:Dospuntosremansoo.png|325px|thumb|right|Punto de Remanso]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
DX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
%Punto de remanso previamente calculado
plot(0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3);
plot(-0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3)
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Punto de Remanso');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
 
Para una mayor claridad se ha ampliado la gráfica anterior, para así conseguir una mayor nitidez de uno de los puntos de remanso:
[[Archivo:Puntoremansoampliado.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 
===.-Variación de Presión y Velocidad===
===.-Deducción a partir de las gráficas===

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T14:59:43Z

Marcos Tavío: /* .-Lineas de Corriente de campo u */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Puntos de la frontera S===
El módulo de la velocidad sobre la frontera <math>\rho = 1</math> es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math> 

Para hallar los máximos y mínimos, derivamos respecto a <math>\theta</math>:

<math>\frac{d}{d\theta}|u| = 2 \cos\theta</math> 
Igualando a cero:

<math>\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>

Por tanto:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2</math> en <math>\theta = \pi/2, 3\pi/2</math> 
Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (excepto puntos de remanso): <math>|u| = 0</math> en <math>\theta = 0, \pi</math>
(estos ya se identificarán como puntos de remanso en la sección 5.2).

Para representar cómo varía el módulo de la velocidad con el ángulo <math>\theta</math>:

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math> lo que quiere decir que <math>\vec{u}(1,\theta) = (-2 \cdot sin(\theta) - 1)</math>. 
El módulo de <math>\vec{u}(1,\theta)</math> es |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1)</math> 
Para que |<math>\vec{u}</math>| alcance su valor máximo, <math>sin(\theta)</math> tiene que ser igual a 1. Esto se alcanza en el ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math>. 
Para calcular el punto de remanso se ha de igualar |<math>\vec{u}</math>| a 0 y despejar el valor de <math>\theta</math>: 
<math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1) = 0</math> 
Finalmente <math>\theta = \frac{11 \pi}{6}</math> y <math>\frac{7 \pi}{6}</math> ; existen 2 puntos de remanso. 
Para observar estos cálculos visualmente, una vez más se a codificado todo en MATLAB para así observar como en los puntos de remanso efectivamente no se aprecia ningún vector:
[[Archivo:Dospuntosremansoo.png|325px|thumb|right|Punto de Remanso]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
DX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
%Punto de remanso previamente calculado
plot(0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3);
plot(-0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3)
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Punto de Remanso');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
 
Para una mayor claridad se ha ampliado la gráfica anterior, para así conseguir una mayor nitidez de uno de los puntos de remanso:
[[Archivo:Puntoremansoampliado.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 
===.-Variación de Presión y Velocidad===
===.-Deducción a partir de las gráficas===

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T14:58:07Z

Marcos Tavío: /* .-Rotacional y Divergencia */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Puntos de la frontera S===
El módulo de la velocidad sobre la frontera <math>\rho = 1</math> es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math> 

Para hallar los máximos y mínimos, derivamos respecto a <math>\theta</math>:

<math>\frac{d}{d\theta}|u| = 2 \cos\theta</math> 
Igualando a cero:

<math>\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>

Por tanto:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2</math> en <math>\theta = \pi/2, 3\pi/2</math> 
Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (excepto puntos de remanso): <math>|u| = 0</math> en <math>\theta = 0, \pi</math>
(estos ya se identificarán como puntos de remanso en la sección 5.2).

Para representar cómo varía el módulo de la velocidad con el ángulo <math>\theta</math>:

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math> lo que quiere decir que <math>\vec{u}(1,\theta) = (-2 \cdot sin(\theta) - 1)</math>. 
El módulo de <math>\vec{u}(1,\theta)</math> es |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1)</math> 
Para que |<math>\vec{u}</math>| alcance su valor máximo, <math>sin(\theta)</math> tiene que ser igual a 1. Esto se alcanza en el ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math>. 
Para calcular el punto de remanso se ha de igualar |<math>\vec{u}</math>| a 0 y despejar el valor de <math>\theta</math>: 
<math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1) = 0</math> 
Finalmente <math>\theta = \frac{11 \pi}{6}</math> y <math>\frac{7 \pi}{6}</math> ; existen 2 puntos de remanso. 
Para observar estos cálculos visualmente, una vez más se a codificado todo en MATLAB para así observar como en los puntos de remanso efectivamente no se aprecia ningún vector:
[[Archivo:Dospuntosremansoo.png|325px|thumb|right|Punto de Remanso]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
DX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
%Punto de remanso previamente calculado
plot(0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3);
plot(-0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3)
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Punto de Remanso');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
 
Para una mayor claridad se ha ampliado la gráfica anterior, para así conseguir una mayor nitidez de uno de los puntos de remanso:
[[Archivo:Puntoremansoampliado.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 
===.-Variación de Presión y Velocidad===
===.-Deducción a partir de las gráficas===

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección (\vec{i}) es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}