MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Ecuación del calor (ADMR)

2025-03-19T17:24:12Z

Marcos Cabellos: /* Análisis de los errores */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo ADMR). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] |
*Ángel De Lucas Miranda,
*Daniel Rodríguez Calderón,
*Marcos Cabellos Hernández,
*Rafael Pascual Ortega.}}

=Introducción=

El desarrollo de la ecuación del calor se atribuye principalmente al matemático y físico francés Joseph Fourier, quien en 1822 publicó su obra ''Théorie analytique de la chaleur''. En este trabajo formuló una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la propagación del calor por difusión en un medio continuo. En esta ocasión, profundicemos en dos aspectos de este modelo.

Desde un punto de vista físico, estas ecuaciones permiten la modelización de fenómenos como el calentamiento de materiales o la difusión de solutos en fluidos estacionarios. Sin embargo, la influencia de la física es más profunda: de hecho, el coeficiente de difusión lleva su nombre por la interpretación física de su acción en el sistema. ¿Cuál es este efecto, y por qué se lo denota de esta forma?

Planteemos también el paso entre problemas de dominio acotado y los de no acotado. ¿Podemos aproximar las soluciones del sistema no acotado mediante las del acotado? Y de ser así, ¿qué condiciones de frontera en una dimensión funcionan mejor?

=Solución acotada vs Solución no acotada=
Demos por conocidos el uso de separación de variables para resolver problemas de autofunciones en caso acotado y el manejo de la solución fundamental junto con la convolución para el sistema no acotado. Para comparar todas las soluciones correspondientes, consideremos sistema <math> 1-</math>dimensional, con una gaussiana <math> e^{-x^2} </math> como condición inicial. Justificamos físicamente como el uso de un láser para calentar un punto de una tira fina de metal. Considerando que los fotones puedan desviarse como una distribución normal por el teorema central del límite, es un montaje experimental factible y regular. ¿Y qué condiciones de frontera?

Si consideramos de Dirichlet, a una tira de longitud <math> 2a </math> le colocaremos en los extremos un material que se mantenga siempre a la misma temperatura, pongamos que a una temperatura nula. El sistema resulta

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t > 0, x\in [-a,a],\\
u(-a,t) = u(a,t) = 0 \quad &\forall t > 0, \\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in [-a,a].
\end{cases}
\end{align}
</math>

La solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por

<math>\quad
u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_{n} \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right) e^{-\dfrac{\pi^2}{a^2}\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 t},
\quad \text{ donde } \quad
A_n = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}.
</math>

Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, con un flujo nulo que físicamente viene de poner extremos aislantes. Para cierto <math> b > 0,</math> y no necesariamente igual que con <math> a </math>. Consideraremos la ecuación del calor

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t > 0 , x\in [-b,b],\\
u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad &\forall t > 0, \\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in[-b,b].
\end{cases}
\end{align}
</math>

De nuevo podemos resolver el sistema, por ser homogéneo, mediante separación de variables, obteniendo

<math>\quad
u(x,t) = \sum_{m=0}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{b^2} t},\quad \text{ donde } \quad
B_m = \frac{\int_{-b}^{b} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right)dx}{\int_{-b}^{b} \cos^2\left(\frac{m\pi}{b}x\right)dx}.
</math>

Un último detalle antes de proceder a los errores es la obtención simbólica de la solución no acotada.

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t>0, x\in \mathbb{R},\\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in \mathbb{R}
\end{cases}
\end{align}
\quad
\Longrightarrow
\quad
u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{\frac{-x^2}{4t}} * e^{-x^2} = \frac{e^{\frac{-x^2}{4t+1}}}{\sqrt{4t+1}}.
</math>

Queremos comprobar cuán bien aproximan las soluciones del caso acotado Dirichlet y Neumann a la obtenida por la solución fundamental. Para ello, escojamos un tiempo máximo <math>t_{max} </math> hasta el cuál tomaremos el error en norma <math> L^{\infty} </math>. Queremos estudiar:

* El efecto de aumentar el rango de definición con <math> a,b </math>.
* El efecto de aumentar el número de términos en las series de los sistemas acotados.

=== Análisis de los errores ===
[[Archivo:GrupoADMR Calor Errores1.jpg|750px|thumb|right| Representación gráfica de las soluciones del problema acotado (<math>a = b = 20</math>) y no acotado truncando las series de Fourier en su término <math>100</math>, para un tiempo máximo de <math>1</math>; y de sus errores. Nótese el orden de magnitud de los errores -pequeño-, los picos generados por los errores numéricos dados por la fórmula del trapecio y la suavidad en la frontera dada por las condiciones en esta.]]

Consideramos los parámetros, donde <math> n </math> es el término de la serie de Fourier donde truncamos:

*<math> a = b = 20, </math>
*<math> t_{max} = 1, </math>
*<math> n = 100. </math>

Con <math> t_{max} </math> fijo podemos observar que al aumentar <math>a, b</math> y <math>n</math> el error entre las soluciones acotadas y no acotada disminuye. Nótese que se estanca a partir de cierto <math>n</math>. De hecho, el error llega a aumentar a partir de ciertos <math> a,b </math> si truncamos demasiado pronto o demasiado tarde por la aproximación del trapecio para particiones del espacio demasiado bastas -no observado por pericia en código final-.

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxD.jpeg|550px|thumb|upright|Con <math>t_{max}=1</math>, vamos obteniendo errores máximos en escala logarítmica con diferentes longitudes y truncamientos entre la solución del problema no acotado y el acotado Dirichlet. Los errores son bastante pequeños si se toman suficientes términos de la serie y una discretización espacial adecuada (en otro caso, aunque no esté representado en esta versión final, los errores divergen).]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxNe.jpeg|550px|thumb|upright|Análogo a la figura adyacente. Nótese que ambas son buenas aproximaciones con suficiente longitud y términos de la serie.]]
|}

Al ampliar el tiempo con la <math>n</math> y fijada <math>a=b=15</math>, al hacer más grande <math>t_{max}</math> los errores máximos no aumentan. En cambio, si tomamos el máximo error para diferentes tiempos vemos con suficiente precisión que no hay diferencia pero que para truncamientos precoces Neumann tiene ligeramente menor error.

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores9.jpg|550px|thumb|upright|Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo. Esto encaja con que el estado estacionario de Dirichlet será la constante de temperatura nula, al igual que la convolución con la solución fundamental.]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores NoNe.jpeg|550px|thumb|upright|Con condiciones análogas en frontera Neumann, el resultado es igualmente excelente para aproximar el caso no acotado. Aunque en el caso Neumann la solución estacionaria no sea nula, sino un reparto equitativo del calor inicial, cuando el rango es suficientemente amplio, la aproximación será adecuada.]]
|}

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNe.jpeg|550px|thumb|upright|Podemos ver además que ambos sistemas se asemejan cada vez más, por lo que ambas aproximaciones son igualmente útiles para el caso no acotado.]]
|}

=Coeficiente de difusión=

[[Archivo:Fundamental.gif|500px|thumb|right|Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial <math/> 0.01, <math/> esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.]]

Interpretemos el valor de <math/> D <math/> aprovechando el montaje físico anterior. Numéricamente vemos que cuanto mayor es este coeficiente más rápido se difunde el calor, evidenciado en la caída de la solución en tiempos cada vez más cortos.

[[Archivo:Convoluciones_teorica.gif|500px|thumb|right|Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.]]

Tanto las soluciones del caso unidimensional no acotado como las del acotado -que pueden reformularse considerando <math/> D <math/> en su exponencial, o aproximando por la sección anterior- podemos ver que un mayor coeficiente <math/> D <math/> acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar, justificándose su nombre.

= Códigos =

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Fundamental.gif';

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for i = 1:length(DD)
D = DD(i);

% Función fundamental de la ecuación del calor
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);

% Definición de la malla
xx = -1:0.01:1; % Rango de x
tt = 10^(-2):0.01:1; % Rango de t
[X, T] = meshgrid(xx, tt); % Malla de coordenadas
PHI_D = phi_D(X, T); % Evaluación de la función

% Graficar la superficie
clf;
surf(X, T, PHI_D);
shading flat
shading interp
colormap('jet')
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
title(['Solución fundamental de la ecuación del calor, cuando D=', num2str(D)])
axis([-1, 1, 0, 1, 0, 3])
drawnow;

% Captura de la imagen para el GIF
frame = getframe(figura);
img = frame2im(frame);
[imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

% Escribir la imagen en el archivo GIF
if i == 1
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
else
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
end

end
</source>

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100];

% Función gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Convoluciones_teorica.gif';

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for h = 1:length(DD)
D = DD(h);

% Funciones fundamentales y convolución
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla
xx = -10:0.1:10; % Rango de x
tt = 10^(-2):0.01:1; % Rango de t

% Inicialización de la matriz de convolución
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(i,j) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Graficar la superficie
clf;
hold on;
view(3);
surf(xx, tt, val_conv.');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap('jet');
title(['Soluciones en dominio no acotado, cuando D=', num2str(D)]);
axis([-10, 10, 0, 1, 0, 1]);
hold off;
drawnow;

% Captura de la imagen para el GIF
frame = getframe(figura);
img = frame2im(frame);
[imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

% Escribir la imagen en el archivo GIF
if h == 1
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
else
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
end

end
</source>

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de los errores entre las soluciones

function [Diff12,Difft1,Difft2] = errores2(n_max, a, b,t_max)

% Función como condición inicial: una función Gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));
u0 = @(x) exp(-x.^2);
D = 1; % Coeficiente de difusión

% Funciones fundamentales y convolución para el modelo de difusión
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla (espacio y tiempo)
xx = -a:0.01:a;
tt = 10^(-2):0.01:t_max;
[X, T] = meshgrid(xx, tt);

% Inicialización de la matriz de convolución
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(j,i) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución Dirichlet
res_dir = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la solución directa
for n=1:n_max
A(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx)) /...
trapz(xx, cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución directa en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = 0;

% Sumar los términos de la serie de Fourier
for n=1:n_max
u = u + A(n) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * auxx) .*...
exp(-((pi^2 / a^2) * (n - 1/2)^2) .* auxt);
end
res_dir(i,j) = u;
end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución en frontera Neumann
res_neu = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la solución en frontera Neumann
for n=1:n_max
B(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((n*pi/b) * xx)) /...
trapz(xx, cos((n*pi/b) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución en frontera Neumann en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = trapz(xx, u0(xx))./(2.*b);

% Sumar los términos de la serie de Fourier
for n=1:n_max
u = u + B(n) .* cos((n*pi/b) * auxx) .* exp(-((n^2 * pi^2 / b^2)) .* auxt);
end
res_neu(i,j) = u;
end
end

% Transponer los resultados para compararlos con la convolución
U1 = res_dir.';
U2 = res_neu.';

% Calcular las diferencias entre las soluciones y la convolución
Diff12 = abs(U1 - U2);
Difft1 = abs(val_conv - U1);
Difft2 = abs(val_conv - U2);

end
</source>

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de las soluciones de la ecuación del calor unidimensional junto con la comparación de sus errores

clc
clear all
close all

% Función como condicion inicial
% Se define la función inicial gausiana y la función u0 que se utilizarán más adelante para los cálculos.
gaus = @(x) (exp(-x.^2));
u0 = @(x) exp(-x.^2);
D = 1;

% Funciones fundamentales y convolución
% Se definen las funciones que describen la solución fundamental de la ecuación y la convolución utilizada.
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla
% Se definen los parámetros de la malla para las variables espaciales (xx) y temporales (tt), y se crea la malla 2D.
a = 100;
b = 100;
tmax = 1;
n_max = 1000;

xx = linspace(-a, a, 1000);
tt = linspace(10^(-2), tmax, 1000);
[X, T] = meshgrid(xx, tt);

% Inicialización de la matriz de convolución
% Se crea una matriz vacía para almacenar los valores de la convolución.
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
% Se calcula la convolución para cada punto en la malla de la variable temporal tt y espacial xx.
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(i,j) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Resolución de la ecuación con condiciones de frontera Dirichlet
% Se calculan los coeficientes A para la expansión en series de Fourier y se calcula la solución directa en cada paso temporal.
res_dir = zeros(length(xx), length(tt));

for n=1:n_max
A(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx)) /...
trapz(xx, cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx).^2);
end

for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);

for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = 0;

for n=1:n_max
u = u + A(n) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * auxx) .*...
exp(-((pi^2 / a^2) * (n - 1/2)^2) .* auxt);

end
res_dir(j,i) = u;
end
end

% Resolución de la ecuación con condiciones de frontera Neumann
% Se calculan los coeficientes B para la expansión en series de Fourier con las condiciones de frontera Neumann y se calcula la solución en cada paso temporal.
res_neu = zeros(length(xx), length(tt));

for n=1:n_max
B(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((n*pi/b) * xx)) /...
trapz(xx, cos((n*pi/b) * xx).^2);
end

for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);

for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = trapz(xx, u0(xx))./(2.*b);

for n=1:n_max
u = u + B(n) .* cos((n*pi/b) * auxx) .* exp(-((n^2 * pi^2 / b^2)) .* auxt);

end
res_neu(j,i) = u;
end
end

% Comparación entre las soluciones obtenidas
% Se calcula la diferencia entre las soluciones directa y Neumann, así como entre las soluciones y la convolución.
U1 = res_dir;
U2 = res_neu;

Diff12 = abs(U1 - U2);
Difft1 = abs(val_conv.' - U1);
Difft2 = abs(val_conv.' - U2);

% Visualización de los resultados
% Se muestran las superficies 3D de las soluciones y sus diferencias en gráficos para comparar los resultados obtenidos.
figure(1);

subplot(2,4,2);
view(3);
surf(X, T, U1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$u_1(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca,'jet');
axis([-a,a,0,tmax,0,1])
title('$u_1(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,3);
view(3);
surf(X, T, U2);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$u_2(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'jet');
axis([-b,b,0,tmax,0,1])
title('$u_2(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,4);
view(3);
surf(X, T, Diff12);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|u_1(x,t)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|u_1(x,t)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,5)
view(3);
surf(X, T, val_conv.');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'jet');
axis([-a,a,0,tmax,0,1])
title('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,6);
view(3);
surf(X, T, Difft1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_1(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_1(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,7);
view(3);
surf(X, T, Difft2);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
</source>

= Referencias =

* Sandro Salsa, Gianmaria Verzini. Partial Differential Equations in Action From Modelling to Theory ([https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-031-21853-8 [1<nowiki>]</nowiki>]).

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Archivo:GrupoADMR Calor Errores9.jpg

2025-03-19T17:23:35Z

Marcos Cabellos:

Ecuación del calor (ADMR)

2025-03-18T23:08:34Z

Marcos Cabellos: /* Coeficiente de difusión */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo ADMR). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] |
*Ángel De Lucas Miranda,
*Daniel Rodríguez Calderón,
*Marcos Cabellos Hernández,
*Rafael Pascual Ortega.}}

=Introducción=

El desarrollo de la ecuación del calor se atribuye principalmente al matemático y físico francés Joseph Fourier, quien en 1822 publicó su obra ''Théorie analytique de la chaleur''. En este trabajo formuló una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la propagación del calor por difusión en un medio continuo. En esta ocasión, profundicemos en dos aspectos de este modelo.

Desde un punto de vista físico, estas ecuaciones permiten la modelización de fenómenos como el calentamiento de materiales o la difusión de solutos en fluidos estacionarios. Sin embargo, la influencia de la física es más profunda: de hecho, el coeficiente de difusión lleva su nombre por la interpretación física de su acción en el sistema. ¿Cuál es este efecto, y por qué se lo denota de esta forma?

Planteemos también el paso entre problemas de dominio acotado y los de no acotado. ¿Podemos aproximar las soluciones del sistema no acotado mediante las del acotado? Y de ser así, ¿qué condiciones de frontera en una dimensión funcionan mejor?

=Solución acotada vs Solución no acotada=
Demos por conocidos el uso de separación de variables para resolver problemas de autofunciones en caso acotado y el manejo de la solución fundamental junto con la convolución para el sistema no acotado. Para comparar todas las soluciones correspondientes, consideremos sistema <math> 1-</math>dimensional, con una gaussiana <math> e^{-x^2} </math> como condición inicial. Justificamos físicamente como el uso de un láser para calentar un punto de una tira fina de metal. Considerando que los fotones puedan desviarse como una distribución normal por el teorema central del límite, es un montaje experimental factible y regular. ¿Y qué condiciones de frontera?

Si consideramos de Dirichlet, a una tira de longitud <math> 2a </math> le colocaremos en los extremos un material que se mantenga siempre a la misma temperatura, pongamos que a una temperatura nula. El sistema resulta

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t > 0, x\in [-a,a],\\
u(-a,t) = u(a,t) = 0 \quad &\forall t > 0, \\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in [-a,a].
\end{cases}
\end{align}
</math>

La solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por

<math>\quad
u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_{n} \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right) e^{-\dfrac{\pi^2}{a^2}\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 t},
\quad \text{ donde } \quad
A_n = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}.
</math>

Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, con un flujo nulo que físicamente viene de poner extremos aislantes. Para cierto <math> b > 0,</math> y no necesariamente igual que con <math> a </math>. Consideraremos la ecuación del calor

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t > 0 , x\in [-b,b],\\
u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad &\forall t > 0, \\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in[-b,b].
\end{cases}
\end{align}
</math>

De nuevo podemos resolver el sistema, por ser homogéneo, mediante separación de variables, obteniendo

<math>\quad
u(x,t) = \sum_{m=0}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{b^2} t},\quad \text{ donde } \quad
B_m = \frac{\int_{-b}^{b} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right)dx}{\int_{-b}^{b} \cos^2\left(\frac{m\pi}{b}x\right)dx}.
</math>

Un último detalle antes de proceder a los errores es la obtención simbólica de la solución no acotada.

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t>0, x\in \mathbb{R},\\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in \mathbb{R}
\end{cases}
\end{align}
\quad
\Longrightarrow
\quad
u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{\frac{-x^2}{4t}} * e^{-x^2} = \frac{e^{\frac{-x^2}{4t+1}}}{\sqrt{4t+1}}.
</math>

Queremos comprobar cuán bien aproximan las soluciones del caso acotado Dirichlet y Neumann a la obtenida por la solución fundamental. Para ello, escojamos un tiempo máximo <math>t_{max} </math> hasta el cuál tomaremos el error en norma <math> L^{\infty} </math>. Queremos estudiar:

* El efecto de aumentar el rango de definición con <math> a,b </math>.
* El efecto de aumentar el número de términos en las series de los sistemas acotados.

=== Análisis de los errores ===
[[Archivo:GrupoADMR Calor Errores1.jpg|550px|thumb|right| Representación gráfica de las soluciones del problema acotado (<math>a = b = 20</math>) y no acotado truncando las series de Fourier en su término <math>100</math>, para un tiempo máximo de <math>1</math>; y de sus errores. Nótese el orden de magnitud de los errores -pequeño-, los picos generados por los errores numéricos dados por la fórmula del trapecio y la suavidad en la frontera dada por las condiciones en esta.]]

Consideramos los parámetros, donde <math> n </math> es el término de la serie de Fourier donde truncamos:

*<math> a = b = 20, </math>
*<math> t_{max} = 1, </math>
*<math> n = 100. </math>

Con <math> t_{max} </math> fijo podemos observar que al aumentar <math>a, b</math> y <math>n</math> el error entre las soluciones acotadas y no acotada disminuye. Nótese que se estanca a partir de cierto <math>n</math>. De hecho, el error llega a aumentar a partir de ciertos <math> a,b </math> si truncamos demasiado pronto o demasiado tarde por la aproximación del trapecio para particiones del espacio demasiado bastas -no observado por pericia en código final-.

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxD.jpeg|250px|thumb|upright|Con <math>t_{max}=1</math>, vamos obteniendo errores máximos en escala logarítmica con diferentes longitudes y truncamientos entre la solución del problema no acotado y el acotado Dirichlet. Los errores son bastante pequeños si se toman suficientes términos de la serie y una discretización espacial adecuada (en otro caso, aunque no esté representado en esta versión final, los errores divergen)]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxNe.jpeg|250px|thumb|upright|Análogo a la figura adyacente. Nótese que ambas son buenas aproximaciones con suficiente longitud y términos de la serie.]]
|}

Al ampliar el tiempo con la <math>n</math> y fijada <math>a=b=15</math>, al hacer más grande <math>t_{max}</math> los errores máximos no aumentan. En cambio, si tomamos el máximo error para diferentes tiempos vemos con suficiente precisión que no hay diferencia pero que para truncamientos precoces Neumann tiene ligeramente menor error.

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNo.jpeg|250px|thumb|upright|Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo. Esto encaja con que el estado estacionario de Dirichlet será la constante de temperatura nula, al igual que la convolución con la solución fundamental.]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores NoNe.jpeg|250px|thumb|upright|Con condiciones análogas en frontera Neumann, el resultado es igualmente excelente para aproximar el caso no acotado. Aunque en el caso Neumann la solución estacionaria no sea nula, sino un reparto equitativo del calor inicial, cuando el rango es suficientemente amplio, la aproximación será adecuada.]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNe.jpeg|250px|thumb|upright|Podemos ver además que ambos sistemas se asemejan cada vez más, por lo que ambas aproximaciones son igualmente útiles para el caso no acotado.]]
|}

=Coeficiente de difusión=

[[Archivo:Fundamental.gif|300px|thumb|right|Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial <math/> 0.01, <math/> esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.]]

Vamos a interpretar como influye exactamente el coeficiente de difusión en la solución de la ecuación del calor. Imaginemos por un segundo que tenemos varias barras (cada una de un material diferente) y queremos estudiar como se difunde el calor a través de cada una de ellas. Usando Matlab podemos calcular y representar fácilmente la solución del problema para diferentes valores del coeficiente de difusión, que denotaremos por <math/> D <math/>.

## Interpretemos el valor de <math/> D <math/> aprovechando el montaje físico anterior. Numéricamente vemos que cuanto mayor es este coeficiente más rápido se difunde el calor, evidenciado en la caída de la solución en tiempos cada vez más cortos.

[[Archivo:Convoluciones_teorica.gif|500px|thumb|right|Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.]]

Como se puede observar en la animación, fijado un tiempo, a medida que crece el valor del coeficiente de difusión el pico de la solución fundamental se va haciendo más cada vez más pequeño, es decir, a mayor coeficiente de difusión, menor es el tiempo que tarda en expandirse el calor. De hecho, podemos observar este hecho directamente de la expresión de la solución fundamental del calor. La solución de la ecuación del calor unidimensional en una barra de longitud $ L = 1 $, con coeficiente de difusión $ D $ y condición inicial dada por una función gaussiana $ f(x) = e^{-x^2} $, se expresa como una serie de Fourier:

## En el caso unidimensional acotado con solución

<math>
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-D (n\pi)^2 t} \sin(n\pi x),
</math>

[Solución que depende de D]- [Viendo la solución del apartado 3 me estoy dando cuenta que también depende de la longitud de la barra, si estuviésemos trabajando con el problema acotado podríamos ver como afectan estos dos parámetros al tiempo de difusión]

Tomando el límite de D tendiendo a <math/> \infty <math/> vemos que u(x,t) tiende a 0, fijado un t determinado. Por tanto, podemos concluir que la solución del calor alcanzará el estado estacionario antes si su coeficiente del calor es mayor.

## Podemos ver que un mayor coeficiente <math/> D <math/> acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar justificando su nombre.

= Códigos =

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Fundamental.gif';

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for i = 1:length(DD)
D = DD(i);

% Función fundamental de la ecuación del calor
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);

% Definición de la malla
xx = -1:0.01:1; % Rango de x
tt = 10^(-2):0.01:1; % Rango de t
[X, T] = meshgrid(xx, tt); % Malla de coordenadas
PHI_D = phi_D(X, T); % Evaluación de la función

% Graficar la superficie
clf;
surf(X, T, PHI_D);
shading flat
shading interp
colormap('jet')
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
title(['Solución fundamental de la ecuación del calor, cuando D=', num2str(D)])
axis([-1, 1, 0, 1, 0, 3])
drawnow;

% Captura de la imagen para el GIF
frame = getframe(figura);
img = frame2im(frame);
[imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

% Escribir la imagen en el archivo GIF
if i == 1
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
else
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
end

end
</source>

[[Archivo:Convoluciones_teorica.gif|500px|thumb|right|Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.]]

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100];

% Función gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Convoluciones_teorica.gif';

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for h = 1:length(DD)
D = DD(h);

% Funciones fundamentales y convolución
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla
xx = -10:0.1:10; % Rango de x
tt = 10^(-2):0.01:1; % Rango de t

% Inicialización de la matriz de convolución
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(i,j) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Graficar la superficie
clf;
hold on;
view(3);
surf(xx, tt, val_conv.');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap('jet');
title(['Soluciones en dominio no acotado, cuando D=', num2str(D)]);
axis([-10, 10, 0, 1, 0, 1]);
hold off;
drawnow;

% Captura de la imagen para el GIF
frame = getframe(figura);
img = frame2im(frame);
[imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

% Escribir la imagen en el archivo GIF
if h == 1
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
else
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
end

end
</source>

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de los errores entre las soluciones

function [Diff12,Difft1,Difft2] = errores2(n_max, a, b,t_max)

% Función como condición inicial: una función Gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));
u0 = @(x) exp(-x.^2);
D = 1; % Coeficiente de difusión

% Funciones fundamentales y convolución para el modelo de difusión
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla (espacio y tiempo)
xx = -a:0.01:a;
tt = 10^(-2):0.01:t_max;
[X, T] = meshgrid(xx, tt);

% Inicialización de la matriz de convolución
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(j,i) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución Dirichlet
res_dir = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la solución directa
for n=1:n_max
A(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx)) /...
trapz(xx, cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución directa en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = 0;

% Sumar los términos de la serie de Fourier
for n=1:n_max
u = u + A(n) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * auxx) .*...
exp(-((pi^2 / a^2) * (n - 1/2)^2) .* auxt);
end
res_dir(i,j) = u;
end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución en frontera Neumann
res_neu = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la solución en frontera Neumann
for n=1:n_max
B(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((n*pi/b) * xx)) /...
trapz(xx, cos((n*pi/b) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución en frontera Neumann en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = trapz(xx, u0(xx))./(2.*b);

% Sumar los términos de la serie de Fourier
for n=1:n_max
u = u + B(n) .* cos((n*pi/b) * auxx) .* exp(-((n^2 * pi^2 / b^2)) .* auxt);
end
res_neu(i,j) = u;
end
end

% Transponer los resultados para compararlos con la convolución
U1 = res_dir.';
U2 = res_neu.';

% Calcular las diferencias entre las soluciones y la convolución
Diff12 = abs(U1 - U2);
Difft1 = abs(val_conv - U1);
Difft2 = abs(val_conv - U2);

end
</source>

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de las soluciones de la ecuación del calor unidimensional junto con la comparación de sus errores

clc
clear all
close all

% Función como condicion inicial
% Se define la función inicial gausiana y la función u0 que se utilizarán más adelante para los cálculos.
gaus = @(x) (exp(-x.^2));
u0 = @(x) exp(-x.^2);
D = 1;

% Funciones fundamentales y convolución
% Se definen las funciones que describen la solución fundamental de la ecuación y la convolución utilizada.
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla
% Se definen los parámetros de la malla para las variables espaciales (xx) y temporales (tt), y se crea la malla 2D.
a = 100;
b = 100;
tmax = 1;
n_max = 1000;

xx = linspace(-a, a, 1000);
tt = linspace(10^(-2), tmax, 1000);
[X, T] = meshgrid(xx, tt);

% Inicialización de la matriz de convolución
% Se crea una matriz vacía para almacenar los valores de la convolución.
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
% Se calcula la convolución para cada punto en la malla de la variable temporal tt y espacial xx.
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(i,j) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Resolución de la ecuación con condiciones de frontera Dirichlet
% Se calculan los coeficientes A para la expansión en series de Fourier y se calcula la solución directa en cada paso temporal.
res_dir = zeros(length(xx), length(tt));

for n=1:n_max
A(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx)) /...
trapz(xx, cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx).^2);
end

for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);

for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = 0;

for n=1:n_max
u = u + A(n) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * auxx) .*...
exp(-((pi^2 / a^2) * (n - 1/2)^2) .* auxt);

end
res_dir(j,i) = u;
end
end

% Resolución de la ecuación con condiciones de frontera Neumann
% Se calculan los coeficientes B para la expansión en series de Fourier con las condiciones de frontera Neumann y se calcula la solución en cada paso temporal.
res_neu = zeros(length(xx), length(tt));

for n=1:n_max
B(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((n*pi/b) * xx)) /...
trapz(xx, cos((n*pi/b) * xx).^2);
end

for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);

for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = trapz(xx, u0(xx))./(2.*b);

for n=1:n_max
u = u + B(n) .* cos((n*pi/b) * auxx) .* exp(-((n^2 * pi^2 / b^2)) .* auxt);

end
res_neu(j,i) = u;
end
end

% Comparación entre las soluciones obtenidas
% Se calcula la diferencia entre las soluciones directa y Neumann, así como entre las soluciones y la convolución.
U1 = res_dir;
U2 = res_neu;

Diff12 = abs(U1 - U2);
Difft1 = abs(val_conv.' - U1);
Difft2 = abs(val_conv.' - U2);

% Visualización de los resultados
% Se muestran las superficies 3D de las soluciones y sus diferencias en gráficos para comparar los resultados obtenidos.
figure(1);

subplot(2,4,2);
view(3);
surf(X, T, U1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$u_1(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca,'jet');
axis([-a,a,0,tmax,0,1])
title('$u_1(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,3);
view(3);
surf(X, T, U2);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$u_2(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'jet');
axis([-b,b,0,tmax,0,1])
title('$u_2(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,4);
view(3);
surf(X, T, Diff12);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|u_1(x,t)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|u_1(x,t)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,5)
view(3);
surf(X, T, val_conv.');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'jet');
axis([-a,a,0,tmax,0,1])
title('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,6);
view(3);
surf(X, T, Difft1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_1(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_1(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,7);
view(3);
surf(X, T, Difft2);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
</source>

= Referencias =

* Sandro Salsa, Gianmaria Verzini. Partial Differential Equations in Action From Modelling to Theory ([https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-031-21853-8 [1<nowiki>]</nowiki>]).

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (ADMR)

2025-03-18T23:06:55Z

Marcos Cabellos: /* Análisis de los errores */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo ADMR). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] |
*Ángel De Lucas Miranda,
*Daniel Rodríguez Calderón,
*Marcos Cabellos Hernández,
*Rafael Pascual Ortega.}}

=Introducción=

El desarrollo de la ecuación del calor se atribuye principalmente al matemático y físico francés Joseph Fourier, quien en 1822 publicó su obra ''Théorie analytique de la chaleur''. En este trabajo formuló una ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la propagación del calor por difusión en un medio continuo. En esta ocasión, profundicemos en dos aspectos de este modelo.

Desde un punto de vista físico, estas ecuaciones permiten la modelización de fenómenos como el calentamiento de materiales o la difusión de solutos en fluidos estacionarios. Sin embargo, la influencia de la física es más profunda: de hecho, el coeficiente de difusión lleva su nombre por la interpretación física de su acción en el sistema. ¿Cuál es este efecto, y por qué se lo denota de esta forma?

Planteemos también el paso entre problemas de dominio acotado y los de no acotado. ¿Podemos aproximar las soluciones del sistema no acotado mediante las del acotado? Y de ser así, ¿qué condiciones de frontera en una dimensión funcionan mejor?

=Solución acotada vs Solución no acotada=
Demos por conocidos el uso de separación de variables para resolver problemas de autofunciones en caso acotado y el manejo de la solución fundamental junto con la convolución para el sistema no acotado. Para comparar todas las soluciones correspondientes, consideremos sistema <math> 1-</math>dimensional, con una gaussiana <math> e^{-x^2} </math> como condición inicial. Justificamos físicamente como el uso de un láser para calentar un punto de una tira fina de metal. Considerando que los fotones puedan desviarse como una distribución normal por el teorema central del límite, es un montaje experimental factible y regular. ¿Y qué condiciones de frontera?

Si consideramos de Dirichlet, a una tira de longitud <math> 2a </math> le colocaremos en los extremos un material que se mantenga siempre a la misma temperatura, pongamos que a una temperatura nula. El sistema resulta

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t > 0, x\in [-a,a],\\
u(-a,t) = u(a,t) = 0 \quad &\forall t > 0, \\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in [-a,a].
\end{cases}
\end{align}
</math>

La solución al resolver el problema de autofunciones viene dada por

<math>\quad
u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_{n} \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right) e^{-\dfrac{\pi^2}{a^2}\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 t},
\quad \text{ donde } \quad
A_n = \frac{\int_{-a}^{a} u(x,0) \cos\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}{\int_{-a}^{a} \cos^2\left(\frac{\pi}{a}(n - \frac{1}{2}) x\right)dx}.
</math>

Consideremos ahora condiciones de frontera Neumann, con un flujo nulo que físicamente viene de poner extremos aislantes. Para cierto <math> b > 0,</math> y no necesariamente igual que con <math> a </math>. Consideraremos la ecuación del calor

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t > 0 , x\in [-b,b],\\
u_x(-b,t) = u_x(b,t) = 0 \quad &\forall t > 0, \\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in[-b,b].
\end{cases}
\end{align}
</math>

De nuevo podemos resolver el sistema, por ser homogéneo, mediante separación de variables, obteniendo

<math>\quad
u(x,t) = \sum_{m=0}^\infty B_{m} cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right) e^{-\dfrac{m^2\pi^2}{b^2} t},\quad \text{ donde } \quad
B_m = \frac{\int_{-b}^{b} u(x,0) \cos\left(\frac{m\pi}{b} x\right)dx}{\int_{-b}^{b} \cos^2\left(\frac{m\pi}{b}x\right)dx}.
</math>

Un último detalle antes de proceder a los errores es la obtención simbólica de la solución no acotada.

<math>\quad
\begin{align}
\begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 \quad &\forall t>0, x\in \mathbb{R},\\
u(x,0) = e^{-x^2} \quad &\forall x\in \mathbb{R}
\end{cases}
\end{align}
\quad
\Longrightarrow
\quad
u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{\frac{-x^2}{4t}} * e^{-x^2} = \frac{e^{\frac{-x^2}{4t+1}}}{\sqrt{4t+1}}.
</math>

Queremos comprobar cuán bien aproximan las soluciones del caso acotado Dirichlet y Neumann a la obtenida por la solución fundamental. Para ello, escojamos un tiempo máximo <math>t_{max} </math> hasta el cuál tomaremos el error en norma <math> L^{\infty} </math>. Queremos estudiar:

* El efecto de aumentar el rango de definición con <math> a,b </math>.
* El efecto de aumentar el número de términos en las series de los sistemas acotados.

=== Análisis de los errores ===
[[Archivo:GrupoADMR Calor Errores1.jpg|550px|thumb|right| Representación gráfica de las soluciones del problema acotado (<math>a = b = 20</math>) y no acotado truncando las series de Fourier en su término <math>100</math>, para un tiempo máximo de <math>1</math>; y de sus errores. Nótese el orden de magnitud de los errores -pequeño-, los picos generados por los errores numéricos dados por la fórmula del trapecio y la suavidad en la frontera dada por las condiciones en esta.]]

Consideramos los parámetros, donde <math> n </math> es el término de la serie de Fourier donde truncamos:

*<math> a = b = 20, </math>
*<math> t_{max} = 1, </math>
*<math> n = 100. </math>

Con <math> t_{max} </math> fijo podemos observar que al aumentar <math>a, b</math> y <math>n</math> el error entre las soluciones acotadas y no acotada disminuye. Nótese que se estanca a partir de cierto <math>n</math>. De hecho, el error llega a aumentar a partir de ciertos <math> a,b </math> si truncamos demasiado pronto o demasiado tarde por la aproximación del trapecio para particiones del espacio demasiado bastas -no observado por pericia en código final-.

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxD.jpeg|250px|thumb|upright|Con <math>t_{max}=1</math>, vamos obteniendo errores máximos en escala logarítmica con diferentes longitudes y truncamientos entre la solución del problema no acotado y el acotado Dirichlet. Los errores son bastante pequeños si se toman suficientes términos de la serie y una discretización espacial adecuada (en otro caso, aunque no esté representado en esta versión final, los errores divergen)]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores MaxNe.jpeg|250px|thumb|upright|Análogo a la figura adyacente. Nótese que ambas son buenas aproximaciones con suficiente longitud y términos de la serie.]]
|}

Al ampliar el tiempo con la <math>n</math> y fijada <math>a=b=15</math>, al hacer más grande <math>t_{max}</math> los errores máximos no aumentan. En cambio, si tomamos el máximo error para diferentes tiempos vemos con suficiente precisión que no hay diferencia pero que para truncamientos precoces Neumann tiene ligeramente menor error.

{|style="margin: 0 auto;"
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNo.jpeg|250px|thumb|upright|Con dominio fijo, el error en escala logarítmica entre solución no acotada y sistema Dirichlet decae incluso con el paso del tiempo. Esto encaja con que el estado estacionario de Dirichlet será la constante de temperatura nula, al igual que la convolución con la solución fundamental.]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores NoNe.jpeg|250px|thumb|upright|Con condiciones análogas en frontera Neumann, el resultado es igualmente excelente para aproximar el caso no acotado. Aunque en el caso Neumann la solución estacionaria no sea nula, sino un reparto equitativo del calor inicial, cuando el rango es suficientemente amplio, la aproximación será adecuada.]]
| [[Archivo:GrupoADMR Calor Errores DNe.jpeg|250px|thumb|upright|Podemos ver además que ambos sistemas se asemejan cada vez más, por lo que ambas aproximaciones son igualmente útiles para el caso no acotado.]]
|}

=Coeficiente de difusión=

[[Archivo:Fundamental.gif|300px|thumb|right|Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial <math/> 0.01, <math/> esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.]]

Vamos a interpretar como influye exactamente el coeficiente de difusión en la solución de la ecuación del calor. Imaginemos por un segundo que tenemos varias barras (cada una de un material diferente) y queremos estudiar como se difunde el calor a través de cada una de ellas. Usando Matlab podemos calcular y representar fácilmente la solución del problema para diferentes valores del coeficiente de difusión, que denotaremos por <math/> D <math/>.

## Interpretemos el valor de <math/> D <math/> aprovechando el montaje físico anterior. Numéricamente vemos que cuanto mayor es este coeficiente más rápido se difunde el calor, evidenciado en la caída de la solución en tiempos cada vez más cortos.

[[Archivo:Fundamental.gif|400px|thumb|right|Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión. La representación gráfica parte del tiempo inicial <math/> 0.01, <math/> esperando una delta de Dirac en el instante inicial. Nótese que en este tiempo, a mayor coeficiente de difusión más se ha difundido el calor en el sistema, lo que se nota especialmente en el valor máximo observado y su disminución cuanto más crece el coeficiente.]]

Como se puede observar en la animación, fijado un tiempo, a medida que crece el valor del coeficiente de difusión el pico de la solución fundamental se va haciendo más cada vez más pequeño, es decir, a mayor coeficiente de difusión, menor es el tiempo que tarda en expandirse el calor. De hecho, podemos observar este hecho directamente de la expresión de la solución fundamental del calor. La solución de la ecuación del calor unidimensional en una barra de longitud $ L = 1 $, con coeficiente de difusión $ D $ y condición inicial dada por una función gaussiana $ f(x) = e^{-x^2} $, se expresa como una serie de Fourier:

## En el caso unidimensional acotado con solución

<math>
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-D (n\pi)^2 t} \sin(n\pi x),
</math>

[Solución que depende de D]- [Viendo la solución del apartado 3 me estoy dando cuenta que también depende de la longitud de la barra, si estuviésemos trabajando con el problema acotado podríamos ver como afectan estos dos parámetros al tiempo de difusión]

Tomando el límite de D tendiendo a <math/> \infty <math/> vemos que u(x,t) tiende a 0, fijado un t determinado. Por tanto, podemos concluir que la solución del calor alcanzará el estado estacionario antes si su coeficiente del calor es mayor.

## Podemos ver que un mayor coeficiente <math/> D <math/> acelera el decaimiento de la exponencial por lo que tendrá un efecto similar justificando su nombre.

= Códigos =

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Fundamental.gif';

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for i = 1:length(DD)
D = DD(i);

% Función fundamental de la ecuación del calor
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);

% Definición de la malla
xx = -1:0.01:1; % Rango de x
tt = 10^(-2):0.01:1; % Rango de t
[X, T] = meshgrid(xx, tt); % Malla de coordenadas
PHI_D = phi_D(X, T); % Evaluación de la función

% Graficar la superficie
clf;
surf(X, T, PHI_D);
shading flat
shading interp
colormap('jet')
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
title(['Solución fundamental de la ecuación del calor, cuando D=', num2str(D)])
axis([-1, 1, 0, 1, 0, 3])
drawnow;

% Captura de la imagen para el GIF
frame = getframe(figura);
img = frame2im(frame);
[imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

% Escribir la imagen en el archivo GIF
if i == 1
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
else
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
end

end
</source>

[[Archivo:Convoluciones_teorica.gif|500px|thumb|right|Soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión.]]

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de la soluciones de la ecuación del calor unidimensional para distintos valores del coeficiente de difusión

clc
clear all
close all

% Vector de valores de D (coeficiente de difusión)
DD = [1,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100];

% Función gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));

% Nombre del archivo GIF de salida
output_gif = 'Convoluciones_teorica.gif';

% Crear la figura
figura = figure(1);
grid on;
view(3);

% Bucle para iterar sobre cada valor de D
for h = 1:length(DD)
D = DD(h);

% Funciones fundamentales y convolución
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla
xx = -10:0.1:10; % Rango de x
tt = 10^(-2):0.01:1; % Rango de t

% Inicialización de la matriz de convolución
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(i,j) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Graficar la superficie
clf;
hold on;
view(3);
surf(xx, tt, val_conv.');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap('jet');
title(['Soluciones en dominio no acotado, cuando D=', num2str(D)]);
axis([-10, 10, 0, 1, 0, 1]);
hold off;
drawnow;

% Captura de la imagen para el GIF
frame = getframe(figura);
img = frame2im(frame);
[imind, cm] = rgb2ind(img, 256);

% Escribir la imagen en el archivo GIF
if h == 1
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'LoopCount', Inf, 'DelayTime', 0.7);
else
imwrite(imind, cm, output_gif, 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.7);
end

end
</source>

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de los errores entre las soluciones

function [Diff12,Difft1,Difft2] = errores2(n_max, a, b,t_max)

% Función como condición inicial: una función Gaussiana
gaus = @(x) (exp(-x.^2));
u0 = @(x) exp(-x.^2);
D = 1; % Coeficiente de difusión

% Funciones fundamentales y convolución para el modelo de difusión
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla (espacio y tiempo)
xx = -a:0.01:a;
tt = 10^(-2):0.01:t_max;
[X, T] = meshgrid(xx, tt);

% Inicialización de la matriz de convolución
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(j,i) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución Dirichlet
res_dir = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la solución directa
for n=1:n_max
A(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx)) /...
trapz(xx, cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución directa en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = 0;

% Sumar los términos de la serie de Fourier
for n=1:n_max
u = u + A(n) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * auxx) .*...
exp(-((pi^2 / a^2) * (n - 1/2)^2) .* auxt);
end
res_dir(i,j) = u;
end
end

% Inicialización de la matriz de resultados para la solución en frontera Neumann
res_neu = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la solución en frontera Neumann
for n=1:n_max
B(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((n*pi/b) * xx)) /...
trapz(xx, cos((n*pi/b) * xx).^2);
end

% Evaluación de la solución en frontera Neumann en el dominio espacio-temporal
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = trapz(xx, u0(xx))./(2.*b);

% Sumar los términos de la serie de Fourier
for n=1:n_max
u = u + B(n) .* cos((n*pi/b) * auxx) .* exp(-((n^2 * pi^2 / b^2)) .* auxt);
end
res_neu(i,j) = u;
end
end

% Transponer los resultados para compararlos con la convolución
U1 = res_dir.';
U2 = res_neu.';

% Calcular las diferencias entre las soluciones y la convolución
Diff12 = abs(U1 - U2);
Difft1 = abs(val_conv - U1);
Difft2 = abs(val_conv - U2);

end
</source>

<source lang="matlab">
%%% Código generado junto con Chat GPT para la representación de las soluciones de la ecuación del calor unidimensional junto con la comparación de sus errores

clc
clear all
close all

% Función como condicion inicial
% Se define la función inicial gausiana y la función u0 que se utilizarán más adelante para los cálculos.
gaus = @(x) (exp(-x.^2));
u0 = @(x) exp(-x.^2);
D = 1;

% Funciones fundamentales y convolución
% Se definen las funciones que describen la solución fundamental de la ecuación y la convolución utilizada.
phi_D = @(x, t) exp(-x.^2./(4*D*t))./sqrt(4*D*pi*t);
convo = @(x,t) (exp(-x.^2./(4*D.*t+1))/sqrt(4*D.*t+1));

% Definición de la malla
% Se definen los parámetros de la malla para las variables espaciales (xx) y temporales (tt), y se crea la malla 2D.
a = 100;
b = 100;
tmax = 1;
n_max = 1000;

xx = linspace(-a, a, 1000);
tt = linspace(10^(-2), tmax, 1000);
[X, T] = meshgrid(xx, tt);

% Inicialización de la matriz de convolución
% Se crea una matriz vacía para almacenar los valores de la convolución.
conv = zeros(length(xx), length(tt));

% Cálculo de la convolución
% Se calcula la convolución para cada punto en la malla de la variable temporal tt y espacial xx.
for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);
for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
val_conv(i,j) = convo(auxx, auxt);
end
end

% Resolución de la ecuación con condiciones de frontera Dirichlet
% Se calculan los coeficientes A para la expansión en series de Fourier y se calcula la solución directa en cada paso temporal.
res_dir = zeros(length(xx), length(tt));

for n=1:n_max
A(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx)) /...
trapz(xx, cos((pi/a)*(n - 1/2) * xx).^2);
end

for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);

for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = 0;

for n=1:n_max
u = u + A(n) .* cos((pi/a)*(n - 1/2) * auxx) .*...
exp(-((pi^2 / a^2) * (n - 1/2)^2) .* auxt);

end
res_dir(j,i) = u;
end
end

% Resolución de la ecuación con condiciones de frontera Neumann
% Se calculan los coeficientes B para la expansión en series de Fourier con las condiciones de frontera Neumann y se calcula la solución en cada paso temporal.
res_neu = zeros(length(xx), length(tt));

for n=1:n_max
B(n) = trapz(xx, u0(xx) .* cos((n*pi/b) * xx)) /...
trapz(xx, cos((n*pi/b) * xx).^2);
end

for j = 1:length(tt)
auxt = tt(j);

for i = 1:length(xx)
auxx = xx(i);
u = trapz(xx, u0(xx))./(2.*b);

for n=1:n_max
u = u + B(n) .* cos((n*pi/b) * auxx) .* exp(-((n^2 * pi^2 / b^2)) .* auxt);

end
res_neu(j,i) = u;
end
end

% Comparación entre las soluciones obtenidas
% Se calcula la diferencia entre las soluciones directa y Neumann, así como entre las soluciones y la convolución.
U1 = res_dir;
U2 = res_neu;

Diff12 = abs(U1 - U2);
Difft1 = abs(val_conv.' - U1);
Difft2 = abs(val_conv.' - U2);

% Visualización de los resultados
% Se muestran las superficies 3D de las soluciones y sus diferencias en gráficos para comparar los resultados obtenidos.
figure(1);

subplot(2,4,2);
view(3);
surf(X, T, U1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$u_1(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca,'jet');
axis([-a,a,0,tmax,0,1])
title('$u_1(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,3);
view(3);
surf(X, T, U2);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$u_2(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'jet');
axis([-b,b,0,tmax,0,1])
title('$u_2(x,t)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,4);
view(3);
surf(X, T, Diff12);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|u_1(x,t)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|u_1(x,t)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,5)
view(3);
surf(X, T, val_conv.');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'jet');
axis([-a,a,0,tmax,0,1])
title('$\Phi_D(x,t)*N(x)$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,6);
view(3);
surf(X, T, Difft1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_1(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_1(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');

subplot(2,4,7);
view(3);
surf(X, T, Difft2);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
shading flat;
shading interp;
colormap(gca, 'hot');
title('$|\Phi_D(x,t)*N(x)-u_2(x,t)|$', 'Interpreter', 'latex');
</source>

= Referencias =

* Sandro Salsa, Gianmaria Verzini. Partial Differential Equations in Action From Modelling to Theory ([https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-031-21853-8 [1<nowiki>]</nowiki>]).

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (ADMR)

2025-02-11T21:23:28Z

Marcos Cabellos: /* Extensión impar */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo DMR). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Daniel Rodríguez Calderón, Marcos Cabellos Hernández, Rafael Pascual Ortega.}}

=Introducción=

En un espacio de Hilbert <math>L_2(a,b)</math>, una serie de Fourier converge en norma <math>L_2</math> a una función real de variable real, <math>f</math>, que se puede representar mediante la base trigonométrica de Fourier como

<math> \quad
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right]
</math>.

Esta representación nos permite, tomando una suma parcial de la serie, aproximar a <math> f </math>. Sin embargo, la base trigonométrica no se presta a la aproximación de funciones de variable real y valores complejos. Esta carencia nos lleva a la base trigonométrica compleja: considerando seno y coseno complejos, somos capaces de aproximar funciones de variable real y valores complejos o reales indistintamente. Esta base, con dominio <math> [-\pi,\pi] </math>

<math>
\quad \{e^{inx}\}_{n \in \mathbb{Z}} ,
</math>

será nuestro foco de atención. La obtendremos formalmente a partir de la base trigonométrica original, para luego visualizarla y comprobar su capacidad para aproximar.

=Base trigonométrica compleja=

Para obtener la base compleja, partamos de la trigonométrica. Por la fórmula de Euler, podemos reescribir coseno y seno de la forma

<math>\quad
\cos\theta = \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta})
</math>
<math>\quad</math> y <math>\quad</math>
<math>
\sin\theta = \frac{1}{2i} (e^{i\theta} - e^{-i\theta})
</math>.

Así, en <math> [-\pi,\pi] </math>, <math>f</math> puede representarse formalmente como

<math>\quad
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( nx \right) + b_n\sin \left( nx \right) \right] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[\frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx}) + \frac{b_n}{2i}(e^{inx}-e^{-inx}) \right] = c_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[c_n e^{inx} +c_{-n} e^{-inx} \right]=</math><math> \sum_{n=0}^\infty c_n e^{inx} + \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{inx} =\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}, </math>

donde <math> c_0:=\frac{a_0}{2}</math>, <math> c_n:=\frac{a_n-ib_n}{2} </math> y <math> c_{-n}:=\frac{a_n+ib_n}{2} </math>. Decimos que este desarrollo es formal por el penúltimo paso. Notemos que estamos separando la serie en dos series.

[[Archivo:Base(DMR).gif|400px|thumb|right|Términos de la base <math> \{e_n := e^{ inx }\}_{n} </math> para <math>n \in \{-1,0,1,2\}.</math>]]

De esta forma hemos obtenido la base trigonométrica compleja

<math>\quad
\{e_n := e^{ inx }\}_{n \in \mathbb{Z}}
</math>.

-CÓDIGO AQUÍ-

Usando el producto escalar, comprobemos que es una base ortogonal

<math>\quad
(e_n,e_m)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e_n \overline{e_m} \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} e^{-imx} \,dx =
\int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-m)ix} \,dx = \frac{-i}{n-m} e^{(n-m)ix} \Big|_{-\pi}^{\pi} = 0 \quad \text{si } n \neq m, \\
</math>
<math>\quad
(e_n,e_n)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{(n-n)ix} \,dx = 2\pi.
</math>

Aquí fijémonos en que hemos usado el producto escalar en <math>L^2(-\pi,\pi)</math> dado por

<math>\quad
(f,g)_{L^2} = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.2cm} \overline{g(x)} \,dx
</math>.

Una observación relevante es que como la norma de cada elemento de la base es siempre <math> \sqrt{2\pi} </math>, podemos ortonormalizar dividiendo precisamente por esta constante a cada elemento de la base trigonométrica compleja.

=Extensión impar=

Nos podemos plantear cómo aproximar la siguiente función <math> f </math>

<math>\quad
f: [0,1] \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}
</math>

<math>\quad
x \mapsto 4x(\frac{1}{2} − x)^2 + ix
</math>

Notemos que el intervalo de definición no es simétrico. Extendamos <math> f </math> de forma impar
{| class="wikitable" style="text-align:center; width:200px; float:right; font-size:90%;"
|+ Representación gráfica de <math> f^*(x)</math>.
|-
| [[Archivo:Figura6DMR.jpg|150px]]
|-
| [[Archivo:ImparfDMR_V2.jpg|150px]]
|-
| Representación de <math>f^*</math> con eje <math>x</math> y el plano complejo en la parte superior, mientras que representamos abajo parte real (izquierda) e imaginaria (derecha).
|}

<math>\quad
f^*: [-1,1] \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}
</math>

<math>\quad
x \mapsto \begin{cases} 4x(\frac{1}{2} + x)^2 + ix \text{ , si } x\in [-1,0]\\

4x(\frac{1}{2} - x)^2 + ix \text{ , si } x\in [0,1]
\end{cases}
</math>

Tras representar esta función en las imágenes adjuntas, sólo nos falta adaptar la base al nuevo intervalo. Comprobemos que como verifica

<math>\quad
\{e^{\pi n ix }\}_{n \in \mathbb{Z}} : (E_n,E_m)_{L^2} = \int_{-1}^1 E_n\overline{E_m} \,dx = \int_{-1}^1 e^{\pi (n-m)i} \,dx = \begin{cases}
\int_{-1}^1 1 dx = 2 \text{ , si } n = m, \\
0 \text{ , si } n \neq m,
\end{cases}
</math>

entonces es una base ortogonal, habiéndonos basado fuertemente en la periodicidad en el intervalo para el segundo caso. Además, podríamos ortonormalizar dividiendo por la norma común a todos los elementos, <math> \sqrt{2} </math>, por lo que podemos definir la base ortonormal

<math>\quad
\{E_n\}_{n \in \mathbb{Z}} := \{\frac{\sqrt{2}e^{\pi n ix }}{2}\}_{n \in \mathbb{Z}}.
</math>

Para realizar las aproximaciones, necesitamos los coeficientes de cada elemento que consideremos, que pueden obtenerse por ortonormalidad de la base mediante el producto escalar ya que

<math>\quad
f^*(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_nE_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{\pi n i} \quad , \quad C_n = (f^*,E_n)_{L^2} = \int_{-1}^1 f^*(x) \overline{E}_n(x) \,dx \in \mathbb{C}.
</math>

Podemos estimar estos coeficientes <math> C_n </math> numéricamente por fórmula del trapecio, y así aproximar la función para un número dado de <math> E_n </math>. La aproximación con los elementos de la base de <math>-n</math> a <math>n</math> será entonces

<math> \quad
f(x) \approx \sum_{i=-n}^{n} C_iE_{i|[0,1]}
</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:200px; float:right; font-size:90%;"
|+ Aproximaciones mediante base trigonométrica compleja.
|-
| [[Archivo:Figure2fDMR.jpg|150px]]
|-
| [[Archivo:Figure3fDMR.jpg|150px]]
|-
| [[Archivo:TrapeciofDMR.jpg|150px]]
|-
| Aproximaciones con elementos hasta <math> n = 5,10,20. </math> Mejora visiblemente, pero nótese que en los extremos difieren claramente.
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:200px; float:right; font-size:90%;"
|+ Errores en la aproximación.
|-
| [[Archivo:Erroresf.jpg|150px]]
|-
| Errores en norma <math>L_2</math> y uniformes. La aproximación converge en norma pero no uniformemente: puede comprobarse que las aproximaciones tienden a 0 puntualmente en x=1 por haberse tomado una extensión impar, causando el error medido en la gráfica de <math>|f(1)|=|1+i|=\sqrt{2}</math>.
|}

[[Archivo:ErroresRef.jpg|200px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Figura6RefDMR.jpg|200px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Figure2RefDMR.jpg|200px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Figure3fDMR.jpg|200px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:Figure3RefDMR.jpg|200px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:ImparfDMR.jpg|200px|thumb|right|texto alternativo]]
[[Archivo:TrapeciofDMR.jpg|200px|thumb|left|texto alternativo]]
[[Archivo:TrapecioRefDMR.jpg|200px|thumb|left|texto alternativo]]

Vemos que la aproximación mejora el error en norma <math>L_2</math>, algo que esperábamos por continuidad de <math>f</math> y su extensión impar. Además, como

<math>
f(1) \neq \frac{f^*(-1)+f^*(1)}{2} = 0
</math>

por ser impar, las aproximaciones convergerán puntualmente a <math> 0 </math> en el valor <math> x=1 </math>. No hay convergencia uniforme porque es necesario que la convergencia puntual de las aproximaciones sucesivas fuese <math> f </math> en todo punto de <math>[0,1]</math>.

Podemos verificar que esta base también es útil con funciones reales aproximando <math>\text{Re}f </math> con una extensión impar (representado gráficamente a continuación), precisamente <math>\text{Re}f^* </math>. Por el mismo procedimiento, base y código, logramos de nuevo aproximaciones que convergen en norma del espacio de funciones pero no uniformemente, una vez más por el problema que causa <math> x=1 </math>. Sin embargo, el hecho de que una base sirva para funciones reales y complejas simultáneamente es un hecho a tener en cuenta.

[[Archivo:Figura6RefDMR.jpg|300px|thumb|right|Representación de <math>Ref^*</math> con eje <math>x</math> y el plano complejo. Tendrá idéntica parte real al caso <math>f^*</math> con parte imaginaria nula.]]

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:200px; float:right; font-size:90%;"
|+ Representación gráfica de <math>Ref^*(x)</math>.
|-
| [[Archivo:Figure2RefDMR.jpg|150px]]
|-
| Representando esta función real de variable real en las mismas referencias que con <math> f^* </math>, puede comprobarse que es precisamente su proyección ortogonal en el plano horizontal, claramente con parte imaginaria nula por estar definida como parte real de una función de valores complejos.
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:200px; float:right; font-size:90%;"
|+ Representación gráfica de <math>Ref^*(x)</math>.
|-
| [[Archivo:Figure2RefDMR.jpg|150px]]
|-
| Representando esta función real de variable real en las mismas referencias que con <math> f^* </math>, puede comprobarse que es precisamente su proyección ortogonal en el plano horizontal, claramente con parte imaginaria nula por estar definida como parte real de una función de valores complejos.
|}

=Código=
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]