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Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-07T15:56:31Z

Mar.marin: /* Póster */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full

= Póster =
[[Archivo:poster.g17.jpg|700px|]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Poster.g17.jpg

2025-12-07T15:55:08Z

Mar.marin:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-07T15:54:53Z

Mar.marin: /* Póster */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full

= Póster =
[[Archivo:poster.g17.jpg]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Poster.G17.jpg

2025-12-07T15:48:20Z

Mar.marin:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-07T15:47:05Z

Mar.marin: /* Bibliografía y herracmientas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) https://digibug.ugr.es/handle/10481/68349?show=full

= Póster =
[[Medio:poster.G17.ogg]]

[[Archivo:poster.G17.jpg]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-07T15:43:45Z

Mar.marin: /* Bibliografía y herracmientas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) file:///C:/Users/ThinKpad%20T460/Downloads/TFG1819-ETSAGRANADA_Guti%C3%A9rrez%20Plata,%20Alejandro.pdf
[[Medio:superficies.regladas.ogg]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-07T15:40:55Z

Mar.marin: /* Uso de la parábola en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

= Bibliografía y herracmientas =
*MATLAB
*CHATGPT
*8.4) file:///C:/Users/ThinKpad%20T460/Downloads/TFG1819-ETSAGRANADA_Guti%C3%A9rrez%20Plata,%20Alejandro.pdf

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-07T15:33:18Z

Mar.marin:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

== Bibliografía ==
8.4) file:///C:/Users/ThinKpad%20T460/Downloads/TFG1819-ETSAGRANADA_Guti%C3%A9rrez%20Plata,%20Alejandro.pdf

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-07T14:29:32Z

Mar.marin: /* Superficies regladas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(s, t) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-04T11:15:42Z

Mar.marin: /* Superficies regladas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(s)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (u=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{c^2 - t^2}{2}\right), ct, s)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0)</math> dónde <math> c </math> se mantiene fijo (v=c), t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(s, t) = \gamma_2(t) + s·\vec{w}(t)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, 0) + s(0, 0, 1)= (\left( \frac{t^2 - c^2}{2}\right), tc, s)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(s, t) = \gamma(t) + s·\vec{w}(t)= (t, 0, 0) + s(0, 1, 0)= (t, s, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-03T14:42:07Z

Mar.marin: /* 6. Divergencia */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-03T14:34:10Z

Mar.marin: /* Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v}+ 0·\vec{e_z} = \vec{0}
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-12-03T10:31:51Z

Mar.marin:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .Curvatura==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

'''Representación de la parabola en Matlab'''
[[Archivo:dibujoparabola.jpg |330px|thumb|right|Parábola.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

'''Representación de la curvatura en Matlab'''

[[Archivo:parabol.jpg|330px|thumb|left|Curvatura.'']]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
B = 1;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + (6*x + 1).^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = 3x^2 + x');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>
[[Archivo:iglesiaa.jpeg|200px|Iglesia de San Fco de Asís Brasil]]
'''Arquitectura'''
Las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.
[[Archivo:goldengate.jpg|200px||Golden Gate]][[Archivo:puente.jpg|200px|Ribbon Bridge]]
'''Estructuras civiles'''
La parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de los Lazos en China.

En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.
[[Archivo:presaa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
[[Archivo:carreteraa.jpeg|200px|thumb|left|]]
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

'''Hidráulica'''
Las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

'''Estructuras antisísmicas'''
Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T09:16:35Z

Mar.marin: /* Uso de las superficies regladas en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.
<div style="text-align:center">
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4b.jpg|200px|link=]] 
Estación TGV de Lyon
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4c.jpg|200px|link=]] 
Auditorio de Tenerife
</div>
<div style="display:inline-block; margin:5px; text-align:center;">
[[Archivo:Ap8.4.jpg|200px|link=]] 
Palacio de los Deportes de México
</div>
</div>

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Archivo:Ap8.4c.jpg

2025-11-29T08:55:46Z

Mar.marin:

Archivo:Ap8.4b.jpg

2025-11-29T08:55:34Z

Mar.marin:

Archivo:Ap8.4.jpg

2025-11-29T08:55:15Z

Mar.marin:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-29T08:54:42Z

Mar.marin: /* Uso de las superficies regladas en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, el campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, el campo se contrae, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:

<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

Calculo las '''derivadas parciales''' que son necesarias para la fórmula de la divergencia.

<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{u^3 + u v^2}{2}\right)
= \frac{3u^2 + v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{u^2 v + v^3}{2}\right)
= \frac{u^2 + 3v^2}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial r_z}{\partial z} = 1
</math>

Sustituyo en la fórmula de la divergencia expresada anteriormente.

<math>
\nabla\cdot\vec r =
\frac{1}{u^2 + v^2}
\left[
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
+
1
\right]
</math>

'''Simplificando''' se puede obtener el siguiente resultado:

<math>
\frac{3u^2 + v^2}{2}
+
\frac{u^2 + 3v^2}{2}
=
2(u^2 + v^2)
</math>

Resolviendo tras sustituir y simplificar aquellos términos podemos afirmar que para este caso, la divergencia:

<math>
\nabla\cdot\vec r
=
\frac{2(u^2 + v^2) + (u^2+v^2)}{u^2 + v^2}
= 3
</math>

'''Resultado final'''

<math>
\operatorname{div}(\vec r) = 3
</math>

El valor de la divergencia, en este caso 3, indica que el campo de posición, genera una variacion volumétrica homogénea y constante en cualquier punto del sistema cuando esta siendo expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En el ámbito ingenieril, el papel que desempeñan las superficies regladas es de gran relevancia. Esto se debe a las ventajosas cualidades que tienen dichas superficies:

<math>\rightarrow</math> '''Comportamiento estructural eficiente:'''
Su geometría, basada en la generación mediante rectas, permite obtener superficies muy resistentes frente a esfuerzos y deformaciones. Siendo capaces de trabajar de forma estable incluso con espesores muy reducidos.

<math>\rightarrow</math> '''Facilidad de ejecución y optimización de recursos:'''
Al poder construirse con encofrados hechos únicamente con piezas rectas, su fabricación es rápida, económica y poco compleja. Esto reduce tiempos de montaje, simplifica la obra y disminuye el consumo de materiales (especialmente útil en estructuras de hormigón como cascarones o cubiertas).

<math>\rightarrow</math> '''Versatilidad formal y creatividad geométrica:'''
Gracias a la posibilidad de generar distintas formas curvas, modificando la posición y dirección de las generatrices, es posible obtener distintos diseños pero manteniendo su buen funcionamiento técnico.

Concretamente en ingeniería es común su uso en cubiertas de gran envergadura, estructuras laminares, elementos aerodinámicos...Algunos ejemplos son:

*'''Estación TGV de Lyon–Saint-Exupéry:'''La cubierta se organiza mediante grandes arcos y superficies regladas que canalizan las cargas hacia los soportes exteriores. Esto deriva una estructura ligera, estable y eficiente.

*'''Auditorio de Tenerife:'''La gran cubierta se genera mediante la intersección de superficies cónicas y curvas regladas que actúan como un cascarón continuo. Esta geometría, dirige los esfuerzos hacia los apoyos principales, logrando una estructura estable y eficiente que combina gran tamaño con un uso limitado de material.

*'''Palacio de los Deportes, México:'''Su cúpula se basa en paraboloides hiperbólicos, que proporcionan una gran rigidez pese a su reducido espesor. Estas superficies regladas permiten cubrir un espacio muy amplio sin apoyos centrales, con una estructura ligera pero altamente resistente y relativamente sencilla de montar.

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-28T19:47:35Z

Mar.marin: /* Uso de las superficies regladas en ingeniería */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5. Gradiente==
En este apartado se explicará como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilíndrico-parabólicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicará la fórmula del gradiente utilizando las derivadas parciales como señalará continuación. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

'''5.3 Interpretación:''' el gradiente de un campo escalar es el vecyor que apunta hacia la direccion de maximo crecimiento del campo, ademas su magnitud es la rapidez con la aumenta en esa direccion.

== 6. Divergencia==
La divergencia en un campo vectorial mide el cambio de volumen asociado a un campo. Cuando la divergencia es alta, rl campo se esta expandiendo en el punto, mientras que si es negativa, y cuando es nula, se puede afirmar que no hay creacion ni destruccion de flujo.

'''6.1 Divergencia'''

La formula de la divergencia en un sistema de coordenadas \((u,v,z)\) es la siguiente:

<math>
\nabla\cdot\vec F =
\frac{1}{h_u h_v h_z}
\left[
\frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) +
\frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z)
\right]
</math>

'''6.2 Divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas'''
La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas es el siguiente:
<math>
\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
</math>

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===
En ingeniería las superficies regladas se utilizan porque:

Permiten construir formas curvas usando rectas, lo que simplifica enormemente el encofrado, el cálculo y la construcción.

Aumentan la eficiencia estructural, ya que muchas de estas superficies son de doble curvatura, lo que les da gran rigidez con muy poco espesor (por ejemplo, en cascarones de hormigón).

Reducen costes, ya que pueden encofrarse con listones rectos y estructuras sencillas, incluso para formas muy complejas como el paraboloide hiperbólico.

Generan espacios amplios sin apoyos intermedios, crucial en cubiertas de estadios, auditorios o pabellones.

Permiten libertad formal para crear geometrías expresivas e innovadoras manteniendo eficiencia estructural.

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T19:44:57Z

Mar.marin: /* Superficies de nivel */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

===Uso de las superficies regladas en ingeniería===

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T19:27:13Z

Mar.marin: /* Superficies regladas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

*Ahora para f3, al ser un plano horizontal el cual está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido), siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si tomamos una recta paralela al eje x como la curva <math> \gamma_u(t)=(t, 0, 0)</math> el vector director de la familia de rectas sería <math>\vec{w}(t)=\vec{j}.</math> Por lo que, queda definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:
<math>
\Phi_3(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n)= (n, 0, 0) + m(0, 1, 0)= (n, m, 0)
</math>

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T19:22:18Z

Mar.marin: /* Superficies regladas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(m, n) = \gamma(n) + m·\vec{w}(n),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(m, n) = \gamma_1(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{n^2 - v_0^2}{2}\right), nv_0, m)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(m, n) = \gamma_2(n) + m·\vec{w}(n)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, 0) + m(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - n^2}{2}\right), u_0n, m)
</math>

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T19:06:51Z

Mar.marin: /* Superficies regladas */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

Una superficie reglada está generada por una curva <math>\gamma(t)</math> llamada directriz, por la que se mueve un vector director <math>\vec{w}(t)</math> que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por:
<math>
\Phi(u, v) = \gamma(v) + u·\vec{w}(v),
</math>

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

*En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva <math>\gamma(t)</math> en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director <math>\vec{w}(t)=\vec{k}</math> formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:
<math>
\gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> v_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_1(u, v) = \gamma_1(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, u)
</math>
<math>
\gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), tv_0, 0)</math> dónde <math> u_0 </math> se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) <math> \\
\Phi_2(u, v) = \gamma_2(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, u)
</math>

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T18:42:08Z

Mar.marin: /* Superficies de nivel */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

===Superficies regladas===

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T18:22:36Z

Mar.marin: /* Código MATLAB y representación gráfica */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f2.jpg|500px|thumb|rigth|]]

[[Archivo:ap8f3.jpg|500px|thumb|rigth|]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T18:18:43Z

Mar.marin: /* Código MATLAB y representación gráfica */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===
[[Archivo:ap8f1.png|200px|thumb|left|texto alternativo]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Archivo:Ap8f3.jpg

2025-11-27T18:17:00Z

Mar.marin:

Archivo:Ap8f2.jpg

2025-11-27T18:16:47Z

Mar.marin:

Archivo:Ap8f1.jpg

2025-11-27T18:15:24Z

Mar.marin:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T18:08:17Z

Mar.marin: /* Superficies de nivel */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

===Código MATLAB y representación gráfica===

<syntaxhighlight lang="matlab">
%Superficie f1

% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla para v y z
[V, Z] = meshgrid(v, z);

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c)
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;
x_2= c * V;
x_3= Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2

% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c)
x_3 = Z

% Gráfico
figure;
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap winter; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure;
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Titulo y etiquetas
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);

% Otros ajustes
axis equal;
grid on;
colormap winter;
colorbar;
</syntaxhighlight>

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T16:37:43Z

Mar.marin: /* Cómo son estas superficies */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante
Se trata del plano <math> z=c=x_3 </math>, '''un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\)''', exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T16:30:19Z

Mar.marin: /* Superficies de nivel */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right),
x_2 = cv
</math>

Eliminando <math> v = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(v\) constante

Partimos de:
<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right),
x_2 = uc
</math>

Eliminando <math> u = x_2/c </math> y sustituyendo en \(x_1\):

<math>
x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right)
</math>

Dicha ecuación en el plano <math> x_3=cte </math> describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un '''cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),<math>\bar{i}</math>. '''

*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T12:57:48Z

Mar.marin: /* 8. */

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín}}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''
Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica.
Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===MATLAB: Códigos y gráficas===

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas:
1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor.
2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

====Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor====
[[Archivo:Figura1(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 2D]]
{{matlab|codigo=

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D

clear;clc
figure;
hold on;

%Vectores
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2);

%Edición de la gráfica
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'});
grid on;
}}

====Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores====
[[Archivo:Figura2(g17).png|500px|thumb|right|Lineas coordenadas en 3D]]
{{matlab|codigo=

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2);

% figura combinada
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad): 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===
A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad <math> g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} </math> 
 

<math>h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} </math>

<math>h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}</math>

<math>h_z = |\vec{g_z}| = 1 </math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

<math> e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) </math>

<math> e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}</math>

Se comprueba que <math> e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} </math> forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores:: 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
Como se cumple que <math> e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0</math>; <math> e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0</math> y que <math> |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1</math> se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>
 

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva. 
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

===Representación Gráfica ===

Para la representación gráfica de los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas.
Los vectores <math> e _\vec{u} </math> y <math> e _\vec{v} </math> son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

[[Archivo:Figura3(g17).png|500px|thumb|right|Representación gráfica]]
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\)
Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}
</math> 
 
<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}
</math>

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

<math>
\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}=
</math>
<math>
\begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}</math>

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene:
<math>\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\</math>

== 5.==
En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

'''5.1 cambio de coordenadas'''
La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\
x_2 &= u\,v,\\
x_3 &= z.
\end{aligned}
\right.
</math>

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

<math>
f(x_1, x_2, x_3) = x_2
</math>

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

<math>
f(u,v,z) = u\,v
</math>

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

<math>
(u, v, z) = (1, 1, 1)
</math>.

'''5.2 Calculo del gradiente'''

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>.

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

<math>
\nabla f(u,v,z)
=
v\,\vec e_u
+
u\,\vec e_v
+
0\,\vec e_z
</math>

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

<math>
\nabla f(1,1,1)
=
\vec e_u + \vec e_v
</math>

== 6.==

==Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico==
El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma:
<math>
\nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>

Conocidos los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad
r_z = z.
</math>

Operando queda la siguiente expresión:

<math>
\nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |
</math>

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

<math>
\vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0
</math>

<math>
\vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0
</math>

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

<math>
\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0
</math>

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo '''irrotacional'''.

== Superficies de nivel ==

===Cómo son estas superficies===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

== .==
'''Código MATLAB y representación gráfica'''

[[Archivo:parabol.jpg|400px|thumb|right|''Figura 13: Parabola.'']]

''' Ecuación de la parábola '''

<math>
y = -Ax^2 + B
</math>
Donde:
* <math>A = 3</math>
* <math>B = 1</math>
* <math>x \in [-1, 1]</math>

''' Ecuación particular '''

<math>
y = -3x^2 + 1
</math>

'''Parametrización '''

<math>
\gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0)
</math>
Con:
<math>t \in [-1, 1]</math>

''' Fórmula de la curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3}
</math>

''' Cálculos de las derivadas '''

1. Primera derivada:
<math>
\gamma'(t) = (1, -6t, 0)
</math>

2. Segunda derivada:
<math>
\gamma''(t) = (0, -6, 0)
</math>

''' Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y <math> \gamma''(t) </math> '''

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
1 & -6t & 0 \\
0 & -6 & 0
\end{vmatrix}
= (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}}
</math>

<math>
\gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6)
</math>

''' Magnitud del producto cruz '''

<math>
\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2}
= \sqrt{36}
= 6
</math>

''' Magnitud de \( \gamma'(t) \) '''

<math>
\| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2}
= \sqrt{1 + 36t^2}
</math>

''' Curvatura '''

<math>
k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}}
</math>

'''Evaluación en puntos específicos '''

1. Para <math>t = -1</math>:
<math>
k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

2. Para <math>t = 1</math>:
<math>
k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}}
= \frac{6}{37^{3/2}}
</math>

3. Para <math>t = 0</math>:
<math>
k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}}
= 6
</math>

[[Archivo:dibujoparabola.jpg |300px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')}}

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.
{{matlab|codigo=

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;

% Coeficientes de la parábola
a = 3;
b = 1;

% Intervalo del parámetro t
t = linspace(-1, 1, 150);

% Cálculo de la curvatura k(t)
k = (2 * a) ./ ( (1 + (2*a*t).^2).^(3/2) );

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, k, 'LineWidth', 1.8);
hold on;
grid on;

title('Curvatura de la parábola y = -a x^2 + b');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');

% Punto de máxima curvatura (en t = 0)
plot(0, k(t==0), 'r.', 'MarkerSize', 18);

% Puntos de mínima curvatura (t = -1 y t = 1)
plot(t([1 end]), k([1 end]), 'g.', 'MarkerSize', 18);

legend('Curvatura','Máxima curvatura','Mínima curvatura');
</syntaxhighlight>
}}

=Uso de la parábola en ingeniería=
La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

<big>'''10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?'''</big>

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

<big>'''10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?'''</big>

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico.
En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta.
En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T12:44:29Z

Mar.marin: /* Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T12:44:07Z

Mar.marin: /* Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T12:35:44Z

Mar.marin:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T12:25:46Z

Mar.marin: /* Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-27T12:19:52Z

Mar.marin: /* 7. */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:38:43Z

Mar.marin: Se ha deshecho la revisión 87082 de Mar.marin (disc.)

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:31:22Z

Mar.marin: /* 7. */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:30:30Z

Mar.marin:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:08:11Z

Mar.marin: /* Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:04:43Z

Mar.marin: /* Matrices de cambio de base */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:04:27Z

Mar.marin: /* Matrices de cambio de base */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:04:09Z

Mar.marin: /* Matrices de cambio de base */

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:03:13Z

Mar.marin:

Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

2025-11-25T12:01:55Z

Mar.marin: /* MATLAB: Códigos y gráficas */