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Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-12T20:07:45Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Variaciones de la temperatura */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica disminuye cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos acercamos al centro, como se observa en la ''figura 3'', a la izquierda, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, mayor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la derecha, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-12T20:04:14Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_\theta/\rho: */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica disminuye cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos acercamos al centro, como se observa en la ''figura 3'', a la izquierda, en la que el centro queda el color rojo (más frío, mayor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más caliente, mayor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la derecha, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-12T20:03:07Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Variaciones de la temperatura */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica disminuye cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos acercamos al centro, como se observa en la ''figura 3'', a la izquierda, en la que el centro queda el color rojo (más frío, mayor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más caliente, mayor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la derecha, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-11T17:13:18Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T22:48:51Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T22:47:33Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho: */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|450px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T22:45:34Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho: */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T22:44:14Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_ρ : */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8RHO.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T22:43:19Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho: */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP10b.JPG|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Archivo:AP10b.JPG

2013-12-10T22:42:10Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Archivo:AP8RHO.JPG

2013-12-10T22:41:55Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T22:37:39Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho: */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10C.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Archivo:DEF10C.JPG

2013-12-10T22:34:43Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Archivo:DEF9C.JPG

2013-12-10T22:34:28Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:57:42Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* ANEXO: Programas Matlab */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:53:19Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:53:03Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_ρ */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:52:48Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_\theta/\rho */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:52:35Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_ρ */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:52:14Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_\theta/\rho */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:51:38Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_θ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:51:06Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_θ */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_θ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_θ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:50:25Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* ANEXO: Programas Matlab */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
{{ Beta }}
{{Trabajo| Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
[[Archivo:Mallado_G9.jpeg|250px|thumb|derecha|''Figura 1'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

== Variaciones de la temperatura ==
[[Archivo:FTEMP.JPG|300px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 2'']]
Supongamos que tenemos un foco de calor en el centro de la placa circular, esta temperatura varía dependiendo solo del radio <math>ρ</math>, rigiéndose según la función <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>,
como muestra la ''figura 2''. Al ser una función logarítmica aumenta cuando aumenta el radio, por lo que la temperatura es más alta cuanto más nos alejamos del centro, como se observa en la ''figura 3'', a la derecha, en la que el centro queda el color rojo (más caliente, menor temperatura) variando gradualmente hasta el azul (más frío, menor temperatura). De esta manera se define para cada radio una superficie equipotencial, es decir la variación de temperatura a lo largo de esa circunferencia es nula. En la misma figura, a la izquierda, se puede observar como varía la temperatura en función del radio, estando ésta representada en el eje Z de la gráfica.

Dadas estas superficies equipotenciales se puede definir el gradiente de temperatura (<math>\nabla T</math>), es decir, la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápidamente, esto conlleva que el <math>\operatorname{grad}(T)</math> sea perpendicular a las superficies equipotenciales (variación nula), tal como se muestra en la ''figura 4''.
{|
|-
|
[[Archivo:AP22.JPG|380px|miniaturadeimagen|''Figura 3'']]
||
[[Archivo:AP3.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 4'']]
|}

== Definición del campo de deformaciones <math> \vec u </math> ==
Consideramos el campo de deformaciones:

<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>

[[Archivo:Ap4.JPG|350px|miniaturadeimagen|derecha|''Figura 5'']]
El campo provoca deformaciones en el plano ''OXY'', como se puede ver en la ''figura 5'', que representa el campo de deformaciones en 3 dimensiones a la derecha. A la izquierda aparece representado el campo en el plano ''OXY''. Los vectores representan la dirección, módulo y sentido del campo en cada punto. Podemos ver que el valor del campo no es uniforme, sino que varía según el punto del anillo en el que nos encontremos. Hay tres zonas de valor máximo y tres de valor mínimo, como muestra el módulo de los vectores.
Tomaremos el valor del campo vectorial <math> \vec u </math> en cada punto como el desplazamiento en dicho punto. Así tenemos que el vector posición será:

:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

En la ''figura 6'' hemos representado la posición inicial y final del anillo según el desplazamiento descrito. Apenas se aprecia la deformación, pero esto es debido a que esta tiene un valor muy pequeño, al encontrarse dividido entre <math> 30\rho </math> .
Para ejemplificar esto hemos variado el denominador y hemos representado las posiciones inicial y final para el campo:
:<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{\rho}\vec g_{\rho}
</math>

Si aplicamos el valor de este campo como desplazamiento en cada punto obtenemos una deformación clara del cuerpo, como se aprecia en la ''figura 7''.

{|
|-
| [[Archivo:AP5.JPG|350px|miniaturadeimagen|izquierda|''Figura 6'']]|| [[Archivo:Ap5ch.JPG|350px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 7'']]
|}

==Divergencia y rotacional==

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

En este caso, al considerar el campo
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}
</math>
, la divergencia la obtenemos de la expresión en coordenadas cilíndricas:

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}
\left(\sqrt{|g|} u^i \right)</math>

Dado que <math> {u^\theta}</math> y <math>{u^z}</math> son cero, no se considerarán en el cálculo de la divergencia.

:<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\right)]=0</math>

A raíz de este resultado, diremos que el campo vectorial <math> \vec u</math> es adivergente <math> ( \nabla \cdot \vec u = 0)</math> , esto es, el anillo no actúa como fuente <math> ( \nabla \cdot \vec u > 0)</math> o sumidero <math> ( \nabla \cdot \vec u < 0)</math> en ningún punto de la superficie. Se trata de un sólido incompresible.

En el anillo de estudio, donde <math>\vec u</math> simboliza los desplazamientos, el '''rotacional''' representa el efecto de giro del sólido alrededor del vector <math> \vec n</math> <math>\bot</math> al anillo debido al desplazamiento:

:<math>
\vec u=\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g^{\rho}
</math>

:<math> \nabla\times\vec u =
\begin{vmatrix}
\vec g_{\rho} & \vec g_{\theta} & \vec g_{z} \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
=-\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{z}
</math>

:<math>|\nabla\times\vec u|=\frac{\pi}{2}\frac{\cos(\pi \theta/2)}{30\rho}</math>

[[Archivo:AP7.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|''Figura 8'']]

La representación del rotacional tiene forma de función cosenoidal. El valor del rotacional varía además en función del valor de <math>\rho</math>, haciéndose más pequeño a medida que <math>\rho</math> crece (son inversamente proporcionales). Todo esto aparece representado en la parte derecha de la ''figura 8''. Se observa una discontinuidad en la figura para el valor de <math>\theta=0</math>, pues se obtienen distintos valores al aproximarse desde 0 ó <math>{2\pi}</math>, por lo que los límites no coinciden. En la parte izquierda de la figura tenemos representada la misma gráfica vista desde arriba (dos dimensiones). El color refleja el valor del rotacional, siendo el rojo los valores más altos y el azul los más bajos.

==Deformaciones elásticas==
Un material elástico lineal es aquel cuya relación tensión-deformación viene representada por una función lineal (recta). Un material será homogéneo si tiene las mismas propiedades en todos los puntos que lo componen y será isótropo si estas propiedades se extienden de igual forma en todas las direcciones (las propiedades no dependen de la posición).
Considerando un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, se puede definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij}
</math>

Siendo: 
* <math> \vec u </math> el campo vectorial con el que estamos trabajando 
* <math> \epsilon_{ij} </math> la parte simétrica del tensor gradiente de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \nabla \cdot \vec u </math> la divergencia de dicho <math> \vec u </math> 
* <math> \lambda , \mu </math> los coeficientes de Lamé 

=== Coeficientes de Lamé ===
El coficiente <math> \mu </math> es el módulo de elasticidad transversal. El coeficiente <math>\lambda</math> no tiene interpretación física directa, pero junto al parámetro <math> \mu </math> forma una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos. En otras palabras, los parámetros <math>\lambda</math> y <math> \mu </math> son los que determinan el módulo elástico de un material (la relación tensión-deformación propia de cada material).
Existen otros coeficientes que también afectan al módulo de elasticidad como el módulo de Young o el módulo de compresibilidad. Existe una [http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_elasticidad tabla de conversión] entre las diferentes constantes que afectan al módulo de elasticidad.

=== Tensiones normales ===
Al aplicar el tensor de tensiones a nuestro campo vectorial tenemos que la divergencia obtenida es igual a 0 (ver ap. Divergencia y rotacional) y por tanto queda que <math>
\sigma_{ij}=2\mu \epsilon_{ij},
</math>
Si tomamos <math>\lambda=\mu=1</math> tenemos que <math>\sigma_{ij}=2·1·(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)</math>y podemos ver que únicamente depende del parámetro μ, módulo de elasticidad '''transversal''', por lo que las tensiones que analizaremos ahora serán únicamente las '''normales'''.

Matriz de tensiones del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> → <math>(\sigma^i_{ j})= \begin{bmatrix}
\frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & 0 \\
\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} & \frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

Expresión del tensor de deformaciones en forma diádica
<math>\sigma^i_{j}= \frac{-\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^ρ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\rho}\otimes\vec g^θ+\frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^ρ+\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2}\vec g_{\theta}\otimes\vec g^θ</math>

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>====

:<math> \vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:AP8_rho.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 9'']]

====Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_θ </math>====

:<math> \vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho = -\frac{2·\sin(\pi \theta/2)}{30\rho^2} \vec g_θ </math>

[[Archivo:AP8_theta.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 10'']]

===Tensiones tangenciales===
En las ''figuras 12 y 14'' que se definen a continuación vemos que las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales son inapreciables. Podemos reducir en nuestro programa de [http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab] el valor del denominador, que es inversamente proporcional a la deformación, y ver como se deforma la placa. La deformación es mayor en los puntos cuya tensión es mayor. Gráficamente, el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
También apreciamos que la deformación es mayor en las regiones de la placa con mayor densidad de flechas de campo.
====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho} \vec g_θ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:AP9.JPG|326px|miniaturadeimagen|''Figura 11'']]
||
[[Archivo:DEF9.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 12'']]
|}

====Respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_θ </math>====
:<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho| = \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{60\rho^2} \vec g_ρ </math>

{|
|-
|
[[Archivo:---.jpg|355px|miniaturadeimagen|''Figura 13'']]
||
[[Archivo:DEF10.JPG|350px|miniaturadeimagen|''Figura 14'']]
|}

Para ver mejor las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales podemos hacer algo similar a lo que hicimos para visualizar mejor el campo de deformaciones debidas al campo <math> \vec u </math> en el apartado 3.
Como ya se ha explicado, la deformación es inversamente proporcional al denominador de la expresión de las tensiones tangenciales, y un valor del denominador tan elevado como el que tenemos (tanto en la dirección de <math> \vec g_ρ </math> como de <math> \vec g_θ </math> tenemos que <math> ρ </math> aparece multiplicado por 60) hace que las deformaciones sean inapreciables.

Si reducimos este valor podremos apreciar una mayor deformación, tal y como se muestra a continuación:

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho} \vec g_θ </math>

[[Archivo:DEF9_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 15'']]

Nueva tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_θ </math>:
:<math> \frac{\pi·\cos(\pi \theta/2)}{3\rho^2} \vec g_ρ </math>

[[Archivo:DEF10_CAMBIADA.JPG|350px|thumb|centro|''Figura 16'']]

==ANEXO: Programas Matlab==
Visualización de la malla:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3])
view(2) % vista 2D

Función logarítmica:
fplot('-log(u+0.1)',[0 50])
title('Funcion de temperatura')
grid on

Temperaturas en 2D y en 3D:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,T)
view(2) % dibujar el mallado
title('temperaturas 2D');
subplot(1,2,2);
plot3(xx,yy,T)
title('temperaturas 3D');

Gradiente de temperaturas:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
T=-log(uu+0.1);
gradx=-xx./(uu.*log(uu+0.1));
grady=-yy./(uu.*log(uu+0.1));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,gradx,grady)

Campo de vectores dado y campo de deformaciones:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
ux=(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
uy=(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,-3,3])
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

Deformación de la placa debida al campo dado:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(30.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Deformación de la placa debida al campo dado <math> \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
X=xx+(xx.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
Y=yy+(yy.*sin(vv.*pi./2))./(1.*uu);
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('inicial')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
title('final')
axis([-3,3,-3,3]);

Rotacional:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
zz=abs((pi.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu));
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,zz)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,zz)
title('rotacional 3D')

Tensiones normales según la dirección de <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones normales según la dirección de <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=(-2.*yy.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
ty=(2.*xx.*sin((pi.*vv)./2))./(30.*uu.^3);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ </math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2));
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2 )); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(60.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec g_ρ \rightarrow </math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
ty=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu);
X=xx+abs(-pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*uu); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Deformaciones debidas a las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> VARIACIÓN DE LOS DATOS PARA MEJORAR LA VISUALIZACIÓN DE LAS DEFORMACIONES:
h=0.1;
u=1:h:2; % definir intervalo rho [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % definir intervalo theta [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % definir mallado
xx=uu.*cos(vv); % parametrizacion
yy=uu.*sin(vv);
tx=abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
ty=abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
X=xx+abs(pi.*xx.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
Y=yy+abs(pi.*yy.*cos((pi.*vv)./2))./(3.*(uu.^2)); %Para ver las deformaciones, cambiar el 60 por 3 aprox.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
hold on
quiver(xx,yy,tx,ty)
axis([-3,3,-3,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Deformaciones')

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:29:35Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones tangenciales */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:11:21Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T21:09:37Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T11:19:59Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T11:09:09Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Archivo:DEF10 CAMBIADA.JPG

2013-12-10T11:08:55Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Archivo:DEF9 CAMBIADA.JPG

2013-12-10T11:06:08Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T11:02:45Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T11:02:10Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T11:01:52Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_ρ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T11:01:29Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Deformaciones elásticas */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T11:01:17Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T10:44:44Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T10:43:04Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Archivo:AP10 2.jpg

2013-12-10T10:40:25Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Archivo:AP9 2.jpg

2013-12-10T10:22:47Z

María, Pablo, Aroa y Marta:

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T10:10:00Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_ρ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T10:09:05Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T10:02:52Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T10:02:41Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Divergencia y rotacional */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T10:01:08Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Divergencia y rotacional */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T09:59:41Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Divergencia y rotacional */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T09:54:44Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T09:53:31Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Respecto al plano ortogonal a \vec g_ρ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T09:49:39Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_θ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T09:49:02Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Tensiones normales según la dirección de \vec g_ρ */

Visualización de campos en un anillo plano (Grupo 9-C)

2013-12-10T09:48:02Z

María, Pablo, Aroa y Marta: /* Definición del campo de deformaciones \vec u */