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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:51:29Z

Manuflo:

{{Trabajo|Visualización e interpretación de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*yy)i + 0*uu j
Ux=0*xx;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que en comparación con la gráfica de deformaciones (figura 5), las zonas de mayor deformación coinciden con las zonas de menor tensión y viceversa.
[[Archivo:Tensiones ortogonales j222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 8) Tensiones tangenciales del plano ortogonal a j]]
Por último obtenemos las tensiones tangenciales del plano normal a <math>\vec j </math> con expresión <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Representado por la figura 8.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*vv)i + 0*uu j
Uy=0*xx;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que las zonas máximas y mínimas tienen igual comportamiento que en el caso anterior.

Con esto finalizamos el estudio de las diferentes manitudes escalares, vectoriales y tensoriales de las diversas situaciones a las que ha sido sometida la placa rectangular de este estudio.

--[[Usuario:Manuflo|Manuflo]] ([[Usuario discusión:Manuflo|discusión]]) 12:50 10 dic 2013 (CET)

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:50:41Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:49:31Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:48:40Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*yy)i + 0*uu j
Ux=0*xx;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que en comparación con la gráfica de deformaciones (figura 5), las zonas de mayor deformación coinciden con las zonas de menor tensión y viceversa.
[[Archivo:Tensiones ortogonales j222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 8) Tensiones tangenciales del plano ortogonal a j]]
Por último obtenemos las tensiones tangenciales del plano normal a <math>\vec j </math> con expresión <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Representado por la figura 8.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*vv)i + 0*uu j
Uy=0*xx;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que las zonas máximas y mínimas tienen igual comportamiento que en el caso anterior.

Con esto finalizamos el estudio de las diferentes manitudes escalares, vectoriales y tensoriales de las diversas situaciones a las que ha sido sometida la placa rectangular de este estudio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:47:05Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:45:58Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*yy)i + 0*uu j
Ux=0*xx;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que en comparación con la gráfica de deformaciones (figura 5), las zonas de mayor deformación coinciden con las zonas de menor tensión y viceversa.
[[Archivo:Tensiones ortogonales j222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 8) Tensiones tangenciales del plano ortogonal a j]]
Por último obtenemos las tensiones tangenciales del plano normal a <math>\vec j </math> con expresión <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Representado por la figura 8.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*vv)i + 0*uu j
Uy=0*xx;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que las zonas máximas y mínimas tienen igual comportamiento que en el caso anterior.

Con esto finalizamos el estudio de los diferentes aspectos tensoriales de las diversas situaciones a las que ha sido sometida la placa rectangular de este estudio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:43:47Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*yy)i + 0*uu j
Ux=0*xx;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que en comparación con la gráfica de deformaciones (figura 5), las zonas de mayor deformación coinciden con las zonas de menor tensión y viceversa.
[[Archivo:Tensiones ortogonales j222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 8) Tensiones tangenciales del plano ortogonal a j]]
Por último obtenemos las tensiones tangenciales del plano normal a <math>\vec j </math> con expresión <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*vv)i + 0*uu j
Uy=0*xx;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que las zonas máximas mínimas tienen igual comportamiento que en el caso anterior.

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:42:32Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*yy)i + 0*uu j
Ux=0*xx;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

Podemos observar que en comparación con la gráfica de deformaciones (figura 5), las zonas de mayor deformación coinciden con las zonas de menor tensión y viceversa.
[[Archivo:Tensiones ortogonales j222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 8) Tensiones tangenciales del plano ortogonal a j]]
Por último obtenemos las tensiones tangenciales del plano normal a <math>\vec j </math> con expresión <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*vv)i + 0*uu j
Uy=0*xx;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:39:38Z

Manuflo:

Archivo:Tensiones ortogonales j222.jpg

2013-12-10T11:38:43Z

Manuflo: Imágen de las tensiones tangenciales del plano ortogonal a j.

Imágen de las tensiones tangenciales del plano ortogonal a j.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:35:48Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:30:44Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:29:37Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla % el campo U viene representado por la expresion
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*yy)i + 0*uu j %definimos las componentes del campo U
Ux=0*xx;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:28:37Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==
[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla % el campo U viene representado por la expresion
U(uu,vv)=0.1*sen(pi*yy)i + 0*uu j %definimos las componentes del campo U
Ux=0*xx;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
subplot(1,2,1)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
view(2)
subplot(1,2,2)
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
colorbar
}}

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:26:20Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==
[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:25:35Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.
[[Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(Figura 7) Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:24:39Z

Manuflo:

Archivo:Tensiones ortogonales i222.jpg

2013-12-10T11:22:59Z

Manuflo: Imágen representativa del tensor de deformaciones tangenciales al plano normal al vector i.

Imágen representativa del tensor de deformaciones tangenciales al plano normal al vector i.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:22:01Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos.

Empezamos obteniendo las tensiones tangenciales del plano ortogonal a <math>\vec i </math> que vienen definidas por la expresión <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>; representadas por la figura 7.

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:17:35Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.

Procedemos al cálculo de las tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> y a <math>\vec j </math> con valores de <math>\lambda=\mu=1</math> y obtenemos sus respectivos dibujos (figuras 7 y 8).
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:16:54Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:09:22Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:08:54Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|400x300|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:07:53Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.

==Tensor de Deformaciones==

Si definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> llamado tensor de deformaciones. Escribimos el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de cada material.
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T11:03:11Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que el rotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math> que contienen los puntos que son más susceptibles a sufrir una rotación en torno a un eje perpendicular a ellas.
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:59:40Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
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view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que elrotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, y=1, y=2</math>
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:59:11Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que elrotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0, Y=1, y=2</math>
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:58:43Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que elrotacional alcanza valores máximos en las rectas <math>y=0 Y=1 y=2</math>
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:49:44Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
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view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
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subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
Se puede observar que elrotacional alcanza valores máximos en los puntos
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:45:42Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo <math>\ \vec u </math>
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % generamos la malla
R=abs((0.1*pi).*cos(pi*yy));
surf(xx,yy,R)
axis([-0.9,0.9,-1,2.5])
view(2)
colorbar
}}
[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:25:21Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
quiver(xx,yy,Tx,Ty) % Ahora superponemos el gradiente y las líneas de nivel
hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3]) % Delimitamos una región sobre los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso de nuestro estudio será calcular el rotacional del campo \vec u(x,y)
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:24:10Z

Manuflo:

{{Beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Deseamos visualizar e interpretar campos escalares y vectoriales, para ello nos vamos a servir del estudio de una placa rectangular, basándonos en herramientas como el programa informático Matlab. Dicho programa nos proporcionará las imágenes que se mostrarán como ejemplo.

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.
[[Archivo:Malladorectangulo.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 1) Ejemplo visual del mallado de los puntos interiores del sólido]]
==Realización del Mallado==

Comenzaremos dibujando el mallado de los puntos interiores del sólido. Mostramos el código matlab a continuación:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) %Se fijan y centran los ejes
view(2) % Nos permite verlo en 2 dimensiones
}}

[[Archivo:Temperatura222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 2) Imagen del campo escalar de temperaturas]]
==Obtención del gradiente de temperaturas==
Continuamos obteniendo el campo escalar de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujo de la malla
axis([-2,2,-1,3]) % Región de dibujo
view(2) % Visualizado en 2 dimensiones
}}

Se observa la variación de temperaturas en función de <math>\rho</math> y <math>\theta</math> como expresa el campo <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math> .

Procedemos a calcular el gradiente de temperaturas en cada punto, que expresará la dirección de máxima variación en cada punto. con la siguiente fórmula:

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
Como se observa en la figura 3 (representamos el gradiente en forma de vectores) el gradiente es perpendicular a las líneas de nivel del campo en todos los puntos.
[[Archivo:gradiente222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 3) Representación de los vectores del gradiente sobre el campo]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
figure(1) % Preparamos la plantilla
T=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % Campo escalar
Tx=-xx./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
Ty=-yy./(sqrt(xx.^2+yy.^2).*(sqrt(xx.^2+yy.^2)+0.1)); % Campo vectorial
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hold on
contour(xx,yy,T) % Delimitamos la gráfica
plot(x,x-x,'k','linewidth',1); %Límites
plot(x,2+x-x,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'k','linewidth',1);
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view(2)
}}

[[Archivo:Campo_de_vectores_U222.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(Figura 4) Campo de vectores u(x,y)]]
==Campo de vectores aplicado sobre la placa <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10} \vec i</math>==

Definimos el campo de vectores <math>\vec u(x,y) </math> y estudiamos el efecto que genera al ser aplicado sobre nuestra placa de estudio.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
U=0.1*sin(pi*y)i %Definimos el campo de vectores U y sus componentes
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
quiver(xx,yy,Ux,Uy) %Dibujamos el campo vectorial
view(2)
}}

[[Archivo:DesplazamientoprovocadoporU.jpg|400x300px|miniaturadeimagen|derecha|(figura 5) Estados inicial (derecha) y final (izquierda) tras el desplazamiento, de los puntos interiores del sólido.]]

Para visualizar mejor la aplicación del campo de vectores sobre los puntos de nuestra placa de estudio adjuntamos la figura 5 con el estado inicial y el final tras el desplazamiento:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; % Vector x con valores entre -0,5 y 0,5 con saltos de h
y=0:h:2; % Vector y con valores entre 0 y 2 con saltos de h
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Matrices de coordenadas
subplot(1,2,1) %Dibujamos el sólido antes del desplazamiento
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
subplot(1,2,2) %Dibujamos el sólido después de desplazarse
Ux=0.1*sin(pi*yy);
Uy=0*xx;
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-0.9,0.9,-1,3])
}}

Continuamos nuestro estudio calculando la divergencia del campo <math>\vec u(x,y) </math> que viene expresada por:
<math>\nabla· \vec u = \frac{ 1 }{ \sqrt g }\frac{ \partial (\sqrt g \vec u) }{ \partial x } </math>
en el caso de nuestro estudio la divergencia es nula, puesto que el campo sólo tiene componente en <math> \vec i </math> y ésta no depende de la variable x:
<math>\nabla· \vec u = 0 </math>

El siguiente paso en nuestra aventura será calcular el rotacional del campo \vec u(x,y)
[[Archivo:Rotacional222.jpg|miniaturadeimagen|(figura 6) Imagen del rotacional del campo u(x,y)]]

[[.Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Rotacional222.jpg

2013-12-10T10:21:00Z

Manuflo: Imagen visual del rotacional del campo u(x,y)

Imagen visual del rotacional del campo u(x,y)

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:16:46Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:14:48Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:10:36Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:08:34Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T10:06:15Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T09:30:35Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T09:27:52Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T09:26:13Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T09:22:38Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T09:19:46Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-10T09:17:40Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-09T19:28:04Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-09T19:27:10Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-09T19:25:58Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-09T19:18:10Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-09T19:17:30Z

Manuflo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(A18)

2013-12-09T19:16:37Z

Manuflo: