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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T22:13:13Z

ManuelCorvo:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀1; 1] x [􀀀1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos ū sobre la placa ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T19:26:05Z

ManuelCorvo:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀1; 1] x [􀀀1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui + vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos ū sobre la placa ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv; %Coordenadas i del vector r0
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2); %Coordenadas i del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T19:25:23Z

ManuelCorvo:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:<math>P1: 18y − 81x2 −1 = 0</math>
:<math>P2: 2y + x2 −1 = 0.</math> 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀1; 1] x [􀀀1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui + vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos ū sobre la placa ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv; %Coordenadas i del vector r0
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2); %Coordenadas i del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T19:23:19Z

ManuelCorvo:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:<math>''P1: 18y − 81x2 −1 = 0''</math>
:<math>''P2: 2y + x2 −1 = 0.''</math> 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀1; 1] x [􀀀1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui + vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos ū sobre la placa ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv; %Coordenadas i del vector r0
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2); %Coordenadas i del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T19:21:23Z

ManuelCorvo:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0''
:''P2: 2y + x2 −1 = 0.'' 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀1; 1] x [􀀀1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui + vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos ū sobre la placa ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv; %Coordenadas i del vector r0
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2); %Coordenadas i del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T17:58:12Z

ManuelCorvo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T17:57:19Z

ManuelCorvo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T17:56:23Z

ManuelCorvo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T17:51:54Z

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2014-12-03T17:35:06Z

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2014-12-03T17:31:06Z

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2014-12-03T17:29:14Z

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Usuario discusión:ManuelCorvo

2014-12-01T16:43:03Z

ManuelCorvo: Nueva sección: /* Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(G4-A) */

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== Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(G4-A) ==

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G4-A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}

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[[Categoría:Trabajos 2014-15]]