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Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T22:32:42Z

Macarenagil: /* . Aplicación física */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}
==. Póster==
Se adjunta el enlace para acceder al póster realizado:
 
[[File:Ondas_y_campos_vectoriales_en_un_arco_poster.pdf|1200px]]

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==. Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación del gradiente de temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==. Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==. Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, se pone el foco en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. La temperatura viene dada por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:28:23Z

Macarenagil:

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}
==. Póster==
Se adjunta el enlace para acceder al póster realizado:
 
https://drive.google.com/file/d/1q3zAESErhKPLG0_BWi0yo-tM9qp4aoQI/view?usp=drive_link
==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==. Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación del gradiente de temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==. Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==. Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. La temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:22:06Z

Macarenagil: /* . Aplicación física */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==. Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación del gradiente de temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==. Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==. Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. La temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:20:57Z

Macarenagil: /* Aplicación física */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==. Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación del gradiente de temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==. Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==. Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:20:43Z

Macarenagil: /* Masa aproximando la integral numéricamente */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==. Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación del gradiente de temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==. Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:20:26Z

Macarenagil: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \frac{1}{\rho}\vec e_\theta */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==. Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación del gradiente de temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:20:09Z

Macarenagil: /* Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==. Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:19:51Z

Macarenagil: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec e_\rho */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:19:33Z

Macarenagil: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==. Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

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Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:18:28Z

Macarenagil: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==. Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

[[Archivo:bomba_arco.png|500px|miniatura|derecha|]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T20:10:31Z

Macarenagil: /* . Tensor deformaciones */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

Con el campo de desplazamientos <math>\;\overrightarrow{u}\;</math> se consigue una relación con el tensor de pequeñas deformaciones, que es la parte simétrica del tensor gradiente. Dicho tensor deformaciones viene descrito por la siguiente expresión:
 
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
La Ley de Hooke es una simplificación que relaciona las tensiones con las deformaciones de un sólido lineal. Sin embargo, en este caso se trabaja con un sólido tridimensional, por lo tanto, se hace uso de las ecuaciones constitutivas las cuales relacionan directamente el tensor de tensiones (<math>\;\sigma\;</math>) con el tensor de deformaciones en tres dimensiones. Esta relación en un medio lineal, isótropo y homogéneo se puede expresar como:
 
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Si a un sólido se le corta por un plano perpendicular a la dirección normal, para no perder la condición de equilibrio dentro del sólido se necesita otra fuerza : la tensión. Esta se descompone en una tensión normal, perpendicular al plano del corte, y una tensión tangencial o cortante, que actúa a lo largo de la superficie. En este apartado, se van a particularizar las tensiones normales en dos direcciones: radial y tangencial. Analíticamente, corresponden con los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==12. Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T19:39:04Z

Macarenagil: /* apartado 12 */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==12. Aplicación física==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T19:38:42Z

Macarenagil: /* apartado 12 */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 
La tensión tangencial, en este caso, es nula, ya que el vector de tensiones actúa únicamente en la dirección normal al plano. Por lo tanto no existe ninguna componente tangencial que pueda representarse.

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, la tensión tangencial es nula. Una vez aplicado el vector de tensiones sobre este plano, únicamente apunta en la dirección de la normal, sin componentes paralelas al plano. Es decir, no hay ninguna tensión tangencial que se pueda representar.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Para concluir se va a relacionar el artículo con una aplicación física, en este caso, con una explosión dentro de una mina. Se va a modelizar dicha explosión apoyándose en el estudio realizado en este trabajo.
 
Se considera una mina subterránea con un explosivo en su interior que va a detonar. El medio material que experimenta la perturbación es un macizo rocoso, que es la masa de roca que rodea la excavación de la mina (el túnel o la galería). Para estudiar cómo reacciona el túnel a la explosión, nos enfocamos en una sección clave de la excavación: la bóveda o arco de soporte de la mina.
La posición de los puntos del macizo rocoso en cualquier instante de tiempo<math>\;t\;</math> viene dada por:<math>\;\overrightarrow{r}(x,y,t)=\overrightarrow{r}_{0}(x,y)+\overrightarrow{u}(x,y,t)\;</math> , donde <math>\;\overrightarrow{r}_{0}\;</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo y el vector <math>\overrightarrow{u}</math> el vector desplazamiento. En este caso, la explosión genera una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda: <math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>.
 
La detonación del explosivo no solo genera una perturbación, sino que también libera energía térmica concentrada en las zonas próximas al origen de la explosión. Este aumento de la temperatura viene dado por la función<math>\;T=(x-y)^2\;</math>. Siendo la temperatura un dato conocido, se puede averiguar el gradiente de la temperatura, que indica la dirección de máximo aumento de calor dentro del macizo rocoso.
 
La explosión del material genera una onda de vibración que se propaga radialmente <math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> a través del macizo rocoso. El vector de desplazamiento se define como<math>\;\overrightarrow{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>. Como se puede comprobar, el vector desplazamiento es puramente radial. Este hecho es físicamente coherente con el fenómeno de una explosión, ya que el movimiento radial hacia el exterior representa la fuerza de empuje que fragmenta la roca y la separa del origen de la explosión, siendo el mecanismo principal de la voladura. Este movimiento representa la fase dominante de expansión de la onda, que es la responsable de la fragmentación y expulsión del material.
 
Por lo tanto, la deformación que va a sufrir el sólido por el desplazamiento, es decir, por la vibración de la onda, va a ser radial. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro, lo que produce dicha expansión gradual y continua del material rocoso.
 
Por otra parte, el fenómeno que ocurre cuando un cuerpo sufre un cambio de dimensiones se denomina deformación. Un medio deformable como la tierra tiene una deformación volumétrica definida por <math>\;\varepsilon_{v}=\frac{\bigtriangleup V}{V}\;</math>. La divergencia mide el cambio de volumen debido al desplazamiento, en este caso provocado por la onda de la explosión. Como la divergencia es exactamente la deformación volumétrica, se puede afirmar que si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\gt 0\;</math>, el volumen aumenta (expansión). Por el contrario, si <math>\;\nabla \cdot \overrightarrow{u}\lt 0\;</math>, el volumen disminuye (compresión).En este caso, tiene lugar una expansión, por lo tanto, se puede afirmar que es coherente relacionar el trabajo con una explosión.
 
Con este tensor de deformaciones, se calcula el tensor de tensiones para calcular las tensiones normales, que son directamente responsables de la compresión o tracción del material. En este caso, las tensiones normales van a ser definidas en dos direcciones específicas: en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, que representa la tensión que actúa en la dirección de la propagación de la onda y cuantifica la presión neta ejercida por la detonación; y en la dirección del eje <math>\;\overrightarrow{e}_{\theta}\;</math>, que mide la fuerza que intenta alargar o contraer la circunferencia del arco, siendo esencial para evaluar la estabilidad global del túnel.
 
Finalmente, el hecho de que las tensiones tangenciales sean nulas tiene sentido físico en este contexto. Al tratarse de una explosión, como se mencionó anteriormente, la onda de presión se propaga de forma radial desde el centro de la detonación. Esto implica que no se desarrollan esfuerzos cortantes significativos sobre las superficies consideradas, ya que las partículas del medio se mueven principalmente en dirección normal a dichas superficies. Como consecuencia, las únicas tensiones relevantes son de tipo normal

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T18:01:27Z

Macarenagil: /* Masa aproximando la integral numéricamente */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T17:59:34Z

Macarenagil: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en el mismo sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejo expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T17:59:13Z

Macarenagil: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
Para la representación:
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en el mismo sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejo expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T17:58:33Z

Macarenagil: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
Para la representación:
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en el mismo sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejo expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T17:05:03Z

Macarenagil: /* Masa aproximando la integral numéricamente */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en el mismo sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejo expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T17:03:43Z

Macarenagil: /* Masa aproximando la integral numéricamente */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en el mismo sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejo expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es: 24.65284

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T17:01:41Z

Macarenagil: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es: 24.65284

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T16:33:58Z

Macarenagil: /* Masa aproximando la integral numéricamente */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Para ello se considera el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. La deformación producida por el campo afecta a todo el arco, aunque la magnitud del cambio es relativamente leve.

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T16:16:07Z

Macarenagil: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Para ello se considera el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. La deformación producida por el campo afecta a todo el arco, aunque la magnitud del cambio es relativamente leve.

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T16:15:22Z

Macarenagil: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Para ello se considera el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. La deformación producida por el campo afecta a todo el arco, aunque la magnitud del cambio es relativamente leve.

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T15:55:18Z

Macarenagil: /* . Definición de las características del arco */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Dibujamos su malla (líneas radiales y circunferenciales).

3. Generando un campo vectorial radial que crece con el radio.

4. Se grafica con flechas (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Para ello se considera el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. La deformación producida por el campo afecta a todo el arco, aunque la magnitud del cambio es relativamente leve.

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T15:55:02Z

Macarenagil: /* . Definición de las características del arco */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 

Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Dibujamos su malla (líneas radiales y circunferenciales).

3. Generando un campo vectorial radial que crece con el radio.

4. Se grafica con flechas (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Para ello se considera el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. La deformación producida por el campo afecta a todo el arco, aunque la magnitud del cambio es relativamente leve.

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-04T10:28:55Z

Macarenagil: /* . Tensor deformaciones */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Dibujamos su malla (líneas radiales y circunferenciales).

3. Generando un campo vectorial radial que crece con el radio.

4. Se grafica con flechas (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones u⃗ en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. Podemos observar que la superficie del arco se ve ligeramente afectada, y claramente cómo afecta el campo en ella significativamente. A partir de los siguientes gráficos podemos observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Creamos una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Aplicando un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Tensordeformacionesnormal.png

2025-12-04T10:27:55Z

Macarenagil:

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-04T10:27:23Z

Macarenagil: /* . Tensor deformaciones */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Dibujamos su malla (líneas radiales y circunferenciales).

3. Generando un campo vectorial radial que crece con el radio.

4. Se grafica con flechas (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones u⃗ en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. Podemos observar que la superficie del arco se ve ligeramente afectada, y claramente cómo afecta el campo en ella significativamente. A partir de los siguientes gráficos podemos observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Creamos una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Aplicando un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

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La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png

2025-12-04T10:24:34Z

Macarenagil:

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T18:26:52Z

Macarenagil: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones u⃗ en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>

[[Archivo:Ejercicio5.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T09:47:34Z

Macarenagil: /* . Rotacional de \overrightarrow{u} */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T09:45:48Z

Macarenagil: /* Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-01T20:59:14Z

Macarenagil: /* . Rotacional de \overrightarrow{u} */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-01T20:36:10Z

Macarenagil: /* Máximos y mínimos */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-01T19:53:44Z

Macarenagil: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \frac{1}{\rho}\vec e_\theta */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se aprecia visualmente que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-01T19:46:48Z

Macarenagil: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec e_\rho */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se aprecia visualmente que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
 
 
<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
 

Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarla. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-01T18:58:50Z

Macarenagil: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec e_\rho */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se aprecia visualmente que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir: *<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
 
 
<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
 

Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarla. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-01T18:36:40Z

Macarenagil: /* Máximos y mínimos */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se aprecia visualmente que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
 
 
<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
 

Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarla. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-01T18:07:09Z

Macarenagil: /* Máximos y mínimos */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
 
 
<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
 

Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarla. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T20:58:51Z

Macarenagil: /* Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T20:57:11Z

Macarenagil: /* . Divergencia de \overrightarrow{u} */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T17:04:14Z

Macarenagil: /* Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T16:58:30Z

Macarenagil: /* Máximos y mínimos */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T16:52:25Z

Macarenagil: /* . La temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se obtiene se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T16:52:01Z

Macarenagil: /* Máximos y mínimos */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos, también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se obtiene se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T16:48:53Z

Macarenagil: /* . La temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos, también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se obtiene su máximo cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T15:32:40Z

Macarenagil: /* Mallado del arco */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
La temperatura es una magnitud escalar,
La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

===Máximos y mínimos===
También se ha calculado la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco, obteniendo 7,99<math> ^{o}C </math> y 0,00<math> ^{o}C </math> respectivamente.

{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}

La temperatura está definida como <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>.

Como la función está elevada al cuadrado, siempre será mayor o igual que cero, por lo tanto la temperatura mínima ocurre cuando el interior del cuadrado se iguala a cero:
<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta forma se demuestra que la temperatura mínima es 0,00<math> ^{o}C </math>, y se alcanza en todos aquellos puntos donde la x es igual a la y.

Para maximizar la temperatura, se utilizan las coordenadas polares <math>x=\rho cos\theta , y=\rho sen\theta</math>.
Entonces <math>x-y=\rho (cos\theta - sen\theta)</math>.
Se calcula el valor absoluto <math>\left|cos\theta - sen\theta \right|</math> y se obtiene que se hace máximo cuando <math>\theta=0</math> (El arco está entre <math>0</math> y <math>\Pi</math>) y <math>\rho=2</math> (el radio es máximo).
Es decir, la temperatura máxima se alcanza en <math>x=2,y<=0</math>, y es 7,99<math> ^{o}C </math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T15:24:57Z

Macarenagil: /* . La temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se adjunta el código para el mallado de los puntos interiores del sólido junto con una imagen para ilustrarlo. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
La temperatura es una magnitud escalar,
La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

===Máximos y mínimos===
También se ha calculado la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco, obteniendo 7,99<math> ^{o}C </math> y 0,00<math> ^{o}C </math> respectivamente.

{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}

La temperatura está definida como <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>.

Como la función está elevada al cuadrado, siempre será mayor o igual que cero, por lo tanto la temperatura mínima ocurre cuando el interior del cuadrado se iguala a cero:
<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta forma se demuestra que la temperatura mínima es 0,00<math> ^{o}C </math>, y se alcanza en todos aquellos puntos donde la x es igual a la y.

Para maximizar la temperatura, se utilizan las coordenadas polares <math>x=\rho cos\theta , y=\rho sen\theta</math>.
Entonces <math>x-y=\rho (cos\theta - sen\theta)</math>.
Se calcula el valor absoluto <math>\left|cos\theta - sen\theta \right|</math> y se obtiene que se hace máximo cuando <math>\theta=0</math> (El arco está entre <math>0</math> y <math>\Pi</math>) y <math>\rho=2</math> (el radio es máximo).
Es decir, la temperatura máxima se alcanza en <math>x=2,y<=0</math>, y es 7,99<math> ^{o}C </math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T12:32:35Z

Macarenagil: /* El arco */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se adjunta el código para el mallado de los puntos interiores del sólido junto con una imagen para ilustrarlo. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==

La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

===.Máximos y mínimos===
También se ha calculado la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco, obteniendo 7,99<math> ^{o}C </math> y 0,00<math> ^{o}C </math> respectivamente.

{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}

La temperatura está definida como <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>.
Como la función está elevada al cuadrado, siempre será mayor o igual que cero, por lo tanto la temperatura mínima ocurre cuando el interior del cuadrado se iguala a cero

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>. Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T11:22:29Z

Macarenagil: /* . Definición de las características del arco */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se adjunta el código para el mallado de los puntos interiores del sólido junto con una imagen para ilustrarlo. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==

La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura, utilizando curvas de nivel que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>. Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la resolución de la divergencia de manera numérica. Además,con ayuda del programa, se ha dibujado dicha divergencia en el arco.
 
 

'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]