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Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-10T11:49:25Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, se dibuja con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, se realizan dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de <math>y</math> se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
u=inline('0*x','x' ,'y','z');
v=inline('0*y','x' ,'y','z');
w=inline('abs(2*y-1)','x','y','z');

x=0:0.1:0.5;
y=0:0.1:1;
z=1;
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);

U=u(X,Y,Z);
V=v(X,Y,Z);
W=w(X,Y,Z);

quiver3(X,Y,Z,U,V,W)
axis([0,1,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Modulo rotacional.jpg|x350px|marco|centro|Representación del modulo del rotacional de un diametro de una seccion diferencial de tuberia.]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Rotmodulo.jpg|x350px|marco|centro|Módulo de los vectores del campo rotacional.]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-10T09:43:00Z

M.martinezdelahidalga: /* Campos de presiones y velocidades. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, se dibuja con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, se realizan dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de <math>y</math> se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
u=inline('0*x','x' ,'y','z');
v=inline('0*y','x' ,'y','z');
w=inline('abs(2*y-1)','x','y','z');

x=0:0.1:0.5;
y=0:0.1:1;
z=1;
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);

U=u(X,Y,Z);
V=v(X,Y,Z);
W=w(X,Y,Z);

quiver3(X,Y,Z,U,V,W)
axis([0,1,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Modulo rotacional.jpg|x350px|marco|centro|Representación del modulo del rotacional de un diametro de una seccion diferencial de tuberia.]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Rotmodulo.jpg|x350px|marco|centro|Módulo de los vectores del campo rotacional.]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-10T09:39:44Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, se dibuja con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, se realizan dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
u=inline('0*x','x' ,'y','z');
v=inline('0*y','x' ,'y','z');
w=inline('abs(2*y-1)','x','y','z');

x=0:0.1:0.5;
y=0:0.1:1;
z=1;
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);

U=u(X,Y,Z);
V=v(X,Y,Z);
W=w(X,Y,Z);

quiver3(X,Y,Z,U,V,W)
axis([0,1,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Modulo rotacional.jpg|x350px|marco|centro|Representación del modulo del rotacional de un diametro de una seccion diferencial de tuberia.]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Rotmodulo.jpg|x350px|marco|centro|Módulo de los vectores del campo rotacional.]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-09T13:00:06Z

M.martinezdelahidalga: /* Rotacional de un campo vectorial. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
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figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
u=inline('0*x','x' ,'y','z');
v=inline('0*y','x' ,'y','z');
w=inline('abs(2*y-1)','x','y','z');

x=0:0.1:0.5;
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U=u(X,Y,Z);
V=v(X,Y,Z);
W=w(X,Y,Z);

quiver3(X,Y,Z,U,V,W)
axis([0,1,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Modulo rotacional.jpg|x350px|marco|centro|Representación del modulo del rotacional de un diametro de una seccion diferencial de tuberia.]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Rotmodulo.jpg|x350px|marco|centro|Módulo de los vectores del campo rotacional.]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
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}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
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fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
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axis([0,4,-1,2])
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}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-09T09:28:59Z

M.martinezdelahidalga: Página blanqueada

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T16:13:44Z

M.martinezdelahidalga: /* Rotacional de un campo vectorial. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
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}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
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}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
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figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
u=inline('0*x','x' ,'y','z');
v=inline('0*y','x' ,'y','z');
w=inline('2*y-1','x','y','z');

x=0:0.1:0.5;
y=0:0.1:1;
z=1;
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);

U=u(X,Y,Z);
V=v(X,Y,Z);
W=w(X,Y,Z);

quiver3(X,Y,Z,U,V,W)

axis([0,1,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalyz.jpg|x350px|centro|Representación del rotacional del un diametro de una sección diferencial de tuberia. ]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Rotmodulo.jpg|x350px|marco|centro|Módulo de los vectores del campo rotacional.]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Archivo:Rotmodulo.jpg

2013-12-08T16:11:56Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T16:11:05Z

M.martinezdelahidalga: /* Rotacional de un campo vectorial. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
u=inline('0*x','x' ,'y','z');
v=inline('0*y','x' ,'y','z');
w=inline('2*y-1','x','y','z');

x=0:0.1:0.5;
y=0:0.1:1;
z=1;
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);

U=u(X,Y,Z);
V=v(X,Y,Z);
W=w(X,Y,Z);

quiver3(X,Y,Z,U,V,W)

axis([0,1,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalyz.jpg|x350px|centro|Representación del rotacional del un diametro de una sección diferencial de tuberia. ]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
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fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
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axis([0,4,-1,2])
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}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T16:10:23Z

M.martinezdelahidalga: /* Rotacional de un campo vectorial. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
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view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
[[Archivo:rotacionalyz.jpg|x350px|centro|Representación del rotacional del un diametro de una sección diferencial de tuberia. ]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
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}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
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}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T16:08:06Z

M.martinezdelahidalga: /* Rotacional de un campo vectorial. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
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}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
[[Archivo:rotacionalyz.jpg|x350px|centro|Representación del rotacional del un diametro de una sección diferencial de tuberia. ]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T16:06:37Z

M.martinezdelahidalga: /* Rotacional de un campo vectorial. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Representado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=abs(2*yy-1);
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
[[Archivo:Rotacionalyz|miniaturadeimagen|Representación del rotacional del un diametro de una sección diferencial de tuberia. ]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
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}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T16:02:12Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
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}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
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}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:temperaturanivelgrad.jpg|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T16:01:17Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
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}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
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[[Archivo:Temperaturanivelgrad|x300px|marco|centro|Curvas de nivel frente a campo gradiente.]]

Archivo:Temperaturanivelgrad.jpg

2013-12-08T15:58:43Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:58:07Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

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}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
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figure(1)
f=-xx+3;
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}}
Campo de velocidades:
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}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
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f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
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fx=2*xx-2;
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}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente frente a las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:57:10Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
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}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
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}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
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y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
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}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
color=pcolor(xx,yy,f);
set(color,'EdgeColor','none');
hold on
contour(xx,yy,f,30,'k')
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
contour(xx,yy,f,50,'k')
hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

==Gradiente de Temperatura==
El campo gradiente es un conjunto de vectores que indican la dirección y sentido en el cual el campo escalar varía con mayor rapidez, siendo el módulo de dichos vectores el ritmo de variación del campo escalar en esa dirección.
Resulta importante recalcar que los vectores que forman el campo gradiente serán siempre ortogonales a las curvas de nivel del potencial del que proviene.
Así pues se representa a continuación el campo gradiente de temperaturas:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:51:01Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
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}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado un campo de temperaturas <math>T(x,y)</math> que representa la temperatura en cada uno de los puntos se procede a mostrar gráficamente la distribución en la sección (x,y) de la tuberia.
Dado

:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>

Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
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}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Se puede observar que al aumentar x y disminuir y la Temperatura es máxima, siendo mínima en punto (1,1).

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:43:58Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

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figure(1)
xx=uu;
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}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
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}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
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x=0:0.1:4;
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V=v(X,Y);
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}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
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f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

[[Archivo:Rotacional.jpg|x260px|marco|izquierda|Representación del rotacional para un diametro de una sección transversal diferencial de tuberia ]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado el campo de temperaturas:
:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>
Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
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fx=2*xx-2;
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}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:43:10Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
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}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
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[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
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[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
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quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
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f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

[[Archivo:Rotaciona.jpg|x260px|marco|izquierda|Representación del rotacional para un diametro de una sección transversal diferencial de tuberia ]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado el campo de temperaturas:
:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>
Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(xx-1).^2-yy.^2;
%color=pcolor(xx,yy,f);
%set(color,'EdgeColor','none');
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hold on
fx=2*xx-2;
fy=-2*yy;
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axis([0,4,-1,2])
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Temperaturanivel.jpg|x300px|marco|centro|Representación del campo escalar de temperaturas a lo largo de la tuberia ]]

Archivo:Temperaturanivel.jpg

2013-12-08T15:41:58Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:41:33Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
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f=-xx+3;
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}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
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}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
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[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

[[Archivo:Rotaciona.jpg|x260px|marco|izquierda|Representación del rotacional para un diametro de una sección transversal diferencial de tuberia ]]

=Campo y Gradiente de la Temperatura=
La Temperatura es una magnitud física escalar, por ello se modeliza matemáticamente mediante campos escalares.
==Campo de Temperaturas==
Dado el campo de temperaturas:
:<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2</math>
Este es representado mediante MATLAB:

{{matlab|codigo=
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Archivo:Modulo rotacional.jpg

2013-12-08T15:28:40Z

M.martinezdelahidalga:

Archivo:Rotacionalyz.jpg

2013-12-08T15:27:25Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:25:01Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

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[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
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Campo de velocidades:
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[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

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[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

=Campo y Gradiente de la Temperatura=

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:23:35Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

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[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>
:<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
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Campo de velocidades:
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U=u(X,Y);
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quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

:<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
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figure(1)
f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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set(color,'EdgeColor','none');
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view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:21:21Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
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figure(1)
xx=uu;
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view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>

<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
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view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
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[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
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view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

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view(2)
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}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional: <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo:<math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T15:20:38Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
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}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>

<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
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[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math> = <math>\vec v(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec j</math>.

Se puede observar que <math>\vec v </math> es irrotacional, pues la divergencia de <math>\vec u </math> es nula y los dos únicos terminos del rotacional de <math>\vec v </math> son nulos por ser la derivada del campo respecto de <math> (x,z)</math> igual a 0.
Con el propósito de hallar las lineas de corriente del campo de velocidades se calcula el potencial escalar del campo <math>\vec v </math>, el cual será llamado <math>\psi</math>.

Puesto que las lineas de nivel de <math>\psi</math> son ortogonales a los vectores del campo <math>\vec v </math>,por ser este su gradiente, estas serán paralelas y por tanto 'tangentes' al campo <math>\vec u </math>. Por lo que las curvas de nivel resultan ser las lineas de corriente del campo <math>\vec u </math>.

<math> \psi= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \times ((y^2)/2-(y^3)/3) </math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
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f=((yy.^2)/2-(yy.^3)/3);
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}}

[[Archivo:Potencial.jpg|x300px|marco|centro|Lineal de corriente del campo vectorial u.]]

=Rotacional de un campo vectorial.=
Para ver el movimiento concreto con el que fluyen las partículas del fluido estudiado se introduce el concepto matemático de ''Rotacional''[[http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional]]. Este se puede intrepretar físicamente como la tendencia que muestra un campo vectorial, en este caso la velocidad del fluido, a inducir rotación alrededor de un punto o partícula. Esta rotación se dará en un sentido u otro dependiendo de la diferente magnitud del campo a un lado y otro de la partícula observada.
Dado el campo <math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>.

Se calcula su rotacional <math>\nabla \times \vec u=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)\vec k</math>.

Con módulo: <math>|\nabla \times \vec u|=(p_1-p_2)/(2\mu)\times (2y-1)</math>.

El rotacional resulta estar dirigido en la dirección del eje z, con lo que, las partículas girarán en el plano (x,y) en un sentido u otro según sea el rotacional en el punto positivo o negativo.
Se observa en la ecuación que el módulo del rotacional es mayor en los extremos de la tuberia y=0,1 y mínimo en el centro de la misma y=0,5. Se deduce pues, que las partículas que más giran son las de las paredes, mientras que las del centro no giran.
*'''En las paredes''' las partículas de fluido tendrán velocidad nula en el lado de a pared y una cierta velocidad en el otro, explicando así su giro.
*'''En en el centro''' las partículas tienen igual velocidad a ambos lados, por ello no sufren ningún tipo de tendencia a girar.

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:54:31Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:48:41Z

M.martinezdelahidalga:

Archivo:Potencial.jpg

2013-12-08T14:38:52Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:38:15Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:37:37Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:31:53Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:27:03Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:25:48Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible(Grupo 24-C)

2013-12-08T14:16:46Z

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Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-08T14:13:47Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-08T13:19:06Z

M.martinezdelahidalga:

[[Categoría:Teoria de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]
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{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
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[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>

<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
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f=-xx+3;
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Campo de velocidades:
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[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

=Lineas de Corriente.=
Para saber la trayectoria que seguirá un punto determinado del fluido se crea el concepto de linea de corriente. Las lineas de corriente[http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente] de un fluido en movimiento son aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades, es decir, las tangentes al campo en cada punto.
Para poder obtenerlas se calcula un campo <math>\vec v </math> que en cada punto es ortongonal a <math>\vec u </math>. Siendo <math>\vec v=\vec k \times \vec u</math>

Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-08T13:03:24Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-08T12:54:57Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-08T12:50:04Z

M.martinezdelahidalga:

{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>

<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)

axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel2.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

Archivo:Presionesnivel2.jpg

2013-12-08T12:48:55Z

M.martinezdelahidalga:

Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-08T12:43:58Z

M.martinezdelahidalga:

{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
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axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>

<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
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}}
Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
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y=0:0.1:1;
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view(2)
}}

[[Archivo:Presionesnivel.jpg|x260px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
[[Archivo:Velocidad.jpg|x260px|marco|derecha|Campo de velocidades. ]]

Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.

Interpretación de campos de un fluido incompresible

2013-12-08T12:23:57Z

M.martinezdelahidalga:

{{beta}}

{{Trabajo|Interpretación de campos de un fluido incompresible. Grupo 24-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
<math>p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)</math>.
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
<math>\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i</math>

Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo <math>[0,4]\times[0,1]</math> ocupada por un fluido fijados los ejes en la región <math>[0,4]\times[-1,2]</math>.
{{matlab|codigo=

h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Malla.jpeg|x200px|marco|centro|Mallado de la tuberia.]]

=Ecuación de Navier-Stokes e Incompresibilidad.=

Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
*'''El fluido es incompresible''', con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
*'''El fluido es estacionario''', lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la ''Ecuación de Navier-Stokes estacionaria'' y la condición de incompresibilidad de un fluido.

==Incompresibilidad de fluidos==
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama '''Incompresible'''.

Para el caso estudiado <math>\nabla \cdot \vec u =0</math>.

==Ecuación de Navier-Stokes==
Las ''Ecuaciones de Navier-Stokes'' son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano.
En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
Siendo <math>\mu</math>
la viscosidad del fluido.
Verficada en el caso estudiado.

=Campos de presiones y velocidades.=

Supuesto que <math>p_1=2</math>, <math>p_2=1</math> y <math>\mu=1</math>. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:

<math>p(x,y)=(-x+3)</math>

<math>\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i</math>

Camo de presiones:
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4;
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figure(1)
f=-xx+3;
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Campo de velocidades:
{{matlab|codigo=
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
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x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
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[[Archivo:Presionesnivel.jpg|x250px|marco|izquierda|Campo de presiones.]]
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Archivo:Velocidad.jpg

2013-12-08T12:15:18Z

M.martinezdelahidalga:

Archivo:Presionesnivel.jpg

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Interpretación de campos de un fluido incompresible

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Interpretación de campos de un fluido incompresible

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Interpretación de campos de un fluido incompresible

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Interpretación de campos de un fluido incompresible

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