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Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-10T10:11:17Z

Mª Elena Pérez Fernández:

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Mª Elena Pérez Fernández, Andrea Moya Pérez, Alberto de Vera Nuñez, Alfonso Vázquez Rodríguez}}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo: ''(ρ=2,θ=t,z=0,t€(0,2π)''

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Con la aplicación de este código, podemos calcular el valor medio de presión, con lo que obtenemos un valor de 9,91

[[Categoría:TC19/20]]

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-10T09:54:43Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión media del fluido */

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-10T08:59:49Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión media del fluido */

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-09T12:19:13Z

Mª Elena Pérez Fernández:

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T19:04:32Z

Mª Elena Pérez Fernández:

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Mª Elena Pérez Fernández, Elena Moya Pérez, Alberto de Vera Nuñez, Alfonso Vázquez Rodríguez}}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo: ''(ρ=2,θ=t,z=0,t€(0,2π)''

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Con la aplicación de este código, podemos calcular el valor medio de presión, con lo que obtenemos un valor de 7,629

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T19:03:48Z

Mª Elena Pérez Fernández:

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 6 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Mª Elena Pérez Fernández, Elena Moya Pérez, Alberto de Vera Nuñez, Alfonso Vázquez Rodríguez}}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo: ''(ρ=2,θ=t,z=0,t€(0,2π)''

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Con la aplicación de este código, podemos calcular el valor medio de presión, con lo que obtenemos un valor de 7,629

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:59:33Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión media del fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo: ''(ρ=2,θ=t,z=0,t€(0,2π)''

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Con la aplicación de este código, podemos calcular el valor medio de presión, con lo que obtenemos un valor de 7,629

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:47:08Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo: ''(ρ=2,θ=t,z=0,t€(0,2π)''

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Con la aplicación de este código, podemos calcular el valor medio de presión, con lo que obtenemos un valor de

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:45:44Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
ρ=2
θ=t t€(0,2π)
z=0

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Con la aplicación de este código, podemos calcular el valor medio de presión, con lo que obtenemos un valor de

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:10:39Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión media del fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Con la aplicación de este código, podemos calcular el valor medio de presión, con lo que obtenemos un valor de

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:07:31Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Curvas de nivel de presión */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores, al rodear al objeto las presiones se ven disminuidas. Teniendo esto en cuenta, y el intervalo en el que trabajamos, podemos deducir el siguiente código para escribir las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2+(1+1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:04:26Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Curvas de nivel de presión */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como se ha demostrado en apartados anteriores la
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:02:56Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Curvas de nivel de presión */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T18:01:19Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Líneas de corriente */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

=='''Líneas de corriente'''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:59:54Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Líneas de corriente */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|550x550px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|400x400px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|750x750px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:58:02Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Líneas de corriente */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|550x550px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|500x500px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|300x300px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|750x750px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|550x550px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|350x350px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|350x350px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|350x350px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|350x350px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:54:30Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Líneas de corriente */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|400x400px|centro]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|350x350px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|350x350px|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|350x350px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|350x350px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|350x350px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|350x350px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|350x350px|centr0]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|350x350px|centro]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|350x350px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:51:44Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Ecuación de Navier-Stokes */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|centro]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|500x500px|centro]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|500x500px|centro]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:50:32Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Ecuación de Navier-Stokes */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|250x250px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuación.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:

[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:49:14Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión del fluido. Ecuación de bernouilli */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|750x750px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|750x750px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:48:18Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión del fluido. Ecuación de bernouilli */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|400x400px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|500x500px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|500x500px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|600x600px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:47:06Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión del fluido. Ecuación de bernouilli */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|300x300px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|350x350px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|300x300px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|500x500px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|500x500px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:45:28Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión del fluido. Ecuación de bernouilli */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|200x200px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntos alcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|200x200px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:43:20Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:32:56Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|750x750px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:32:26Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|600x600px|centro]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|500x500px|centro]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|500x500px|centro]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:31:22Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|500x500px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:30:58Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Lineas de corriente del campo */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
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| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|500x500px| centro]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|500x500px|centro]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:30:14Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Lineas de corriente del campo */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|500x500px|centro]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|300x300px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:29:11Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Lineas de corriente del campo */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:28:44Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Demostración de divergencia nula */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|100x100px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|300x300px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:27:45Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Demostración de rotacional y divergencia nulos */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|450x450px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:26:33Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Demostración de rotacional y divergencia nulos */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|250x250px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|350x350px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:25:55Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Caso particular */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|250x250px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:25:37Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Gradiente ortogonal a superficies de nivel */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|280x280px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:25:16Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Gradiente ortogonal a superficies de nivel */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|200x200px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:24:39Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Gradiente ortogonal a superficies de nivel */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|300x300px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:24:01Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Campo de velocidades de un fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|500x500px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:23:33Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Campo de velocidades de un fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|500x500px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|500x500px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:22:46Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Campo de velocidades de un fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|200x200px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:21:59Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Campo de velocidades de un fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|300x300px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:21:11Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Región ocupada por un fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|400x400px|centro]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:20:36Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Región ocupada por un fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|600x600px|centro]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|500x500px|]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:11:15Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Curvas de nivel de presión */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|700x700px|]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|500x500px|]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T17:10:50Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión media del fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|700x700px|]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|500x500px|]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2)+(1-1-1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2));
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-(1-1/ro.^2).^2*sin(teta).^2+(1+1/ro.^2).*(cos(teta).^2)/(ro.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T16:29:33Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión media del fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|700x700px|]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|500x500px|]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2)+(1-1-1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2));
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2)+(1-1-1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2));
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T16:28:45Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Presión media del fluido */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|700x700px|]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|500x500px|]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2)+(1-1-1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2));
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
%Reticula
h=0.01;
ro=1:h:5;
teta=0:h:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Presión del fluido
p=10-((sin(V).^2)).*((1-(1./(U.^2))))-((((cos(V)).^2)).*(((1./U)+(1./(U.^3))).^2)).*(U.^2);
%Integral de la presión
pres=U.*p;
%Integral
volumen=h^2*pres;
w=sum(sum(volumen));
%Área de la corona circular
area=(pi*5^2)-(pi*1^2);
%Presión media
presmedia=w/área
}}
Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de '''8.9444''' que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T16:22:51Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Curvas de nivel de presión */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|700x700px|]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|500x500px|]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Teorema de Kutta-Joukowski.Paradoja D´Alembert'''==

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema perteneciente a la aerodinámica. Se trata de un teorema que relaciona la fuerza que ejerce un fluido con su circulación a lo largo del cuerpo. La circulación es la integral de línea de la velacidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cuerpo. En las descripciones de dicho teorema, tomó como sólido un cilindro circular.

En resumen podemos decir que este teorema concluye que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Por otro lado la Paradoja de D´Alembert es una contradicción a la que se llegó tras estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, lo cual se contradice con la observación.

En nuestro caso, empezaremos parametrizando el obstáculo:
[[Archivo:1.png|miniaturadeimagen|centro]]

Calculamos la circulación en el intervalo (a,b)=(0,2π):

[[Archivo:10yo.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:4.png|600px|miniaturadeimagen|centro]]

Obtenemos el resultado de que la circulación es nula. Esto va en contra de la intuición ya que se supone que el fluido debería ejercer una fuerza sobre el obstáculo, pero aplicando el Teorema de Kutta-Joukowski, llegamos a la conclusión de que la fuerza es nula también. Encontrándonos con la conocida Paradoja D'Alembert.

==''Curvas de nivel de presión''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.
{{matlab|codigo=
%Reticula
ro=1:0.1:5;
teta=0:0.1:2*pi;
[U,V]=meshgrid(ro,teta);
%Cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Formula de la presión
p=10-(1-1/p.^2).^2*sin(V).^2)+(1-1-1/p.^2).*(cos(V).^2)/(p.^2));
%Dibujo de las curvas de nivel
contour(X,Y,p,50,'linewidth',1.5)
axis([-5,5-5,5])
axis equal
}}

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de 8.9444 que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Visualización de campos escales y vectoriales en fluidos.6/19

2019-12-05T16:06:37Z

Mª Elena Pérez Fernández: /* Ecuación de Navier-Stokes */

En el artículo desarrollado a continuación se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular. Trabajaremos en el plano con coordenadas cilíndricas (polares ya que se reduce al plano),ya que debido a la forma del obstáculo, los cálculos nos resultarán más sencillos. Las gráficas que mostraremos, fueron obtenidas con el programa de MATLAB/OCTAVE:

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado !! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|-
| Ejemplo || Ejemplo
|}
=='''Introducción'''==
Antes de comenzar con el desarrollo del ejercicio, en necesario explicar qué es un fluido incompresible. Un fluido incompresible es todo aquel cuya masa y volumen no sufren variaciones, por lo que permanecen constantes en el tiempo, es decir, se opone a las compresiones ofrecidas bajo cualquier condición o circunstancia. En términos matemáticos, lo que esto significa es que dicho fluido tendrá densidad constante, lo que facilitará las operaciones por homogeneidad de sus propiedades en cualquier posición.
=='''Región ocupada por un fluido'''==
Para la representación del fluido utilizamos coordenadas polares con los límites establecidos en el enunciado.

''x=u*cos(v)
y=u*sin(v)''
El código para esta representación es:

[[Archivo:Pitu1.jpg|700x700px|]]

[[Archivo:Sdfhkwhf.png|500x500px|]]

=='''Campo de velocidades de un fluido'''==
Sabiendo que estamos ante un campo escalar en coordenadas cilíndricas, el cálculo del gradiente lo realizaremos a partir de:

[[Archivo:Jghtytytytytyty.png|250x250px|centro]]

Y conociendo

[[Archivo:Ssssssssssssssssssssssss.png|210x100px|centro]]

obtenemos:

[[Archivo:Tttttttttttt.png|300x300px|centro]]

Representamos la función potencial (de esta ahora vamos a presentar solo las curvas de nivel para poder observar en relación a las velocidades)

[[Archivo:Trabajoelena1.jpg|150x150px|centro]]

Y la función gradiente de ϕ que representa el campo de velocidades del fluido

[[Archivo:Trabajoelena2.jpg|150x150px|centro]]

[[Archivo:Ooooooooooo.png|300x300px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena3.jpg|300x300px|centro]]

Observamos en el gráfico que nos salen ortogonales a las curvas de nivel ϕ

[[Archivo:Trabajoelena4.jpg|250x250px|centro]]

=='''Gradiente ortogonal a superficies de nivel'''==
La ecuación nos muestra el producto escalar de dos vectores. Como este es igual a cero quiere decir que los vectores son perpendiculares.
''u'' es el vector gradiente y ''n'' es el vector perpendicular a las curvas de nivel como podemos deducir del enunciado. Lo que interpretamos de esta ecuación una vez conocidos los vectores, es que el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel.
Para demostrarlo, vamos a comprobar que el ''∇f(ρ,θ,z)'' es ortogonal a cualquier curva contenida en la superficie.
Consideramos un punto P de la superficie de nivel S: ''''f(ρ,θ,z)''= K y c(t)'' la parametrización de una curva. Se cumple que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Puesto que hemos dicho que la curva está contenida en la superficie.
Si derivamos, la expresión anterior respecto de t usando la regla de la cadena, tenemos que:

[[Archivo:Rtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrtrrtrtrt.png|150x150px|centro]]

Esto significa que ∇f es ortogonal al vector tangente a la curva ''c'', es decir, es ortogonal a la curva. Como hemos trabajado de forma genérica, queda demostrado que el ∇f es ortogonal a todas las curvas de la superficie y, por tanto, es ortogonal a S.
===Caso particular===
Nos dicen que ''ρ'' es muy grande, y que por lo tanto, ''1/ρ≈0''. En este caso, ''u'' tendrá el siguiente valor:

[[Archivo:Parparapraprpaprar.png|200x200px|centro]]

=='''Demostración de rotacional y divergencia nulos'''==
===''Rotacional nulo''===
Comprobamos analíticamente que el rotacional de ''u'' es nulo, el rotacional es el determinante de la siguiente matriz:

[[Archivo:Trabajoelena5.jpg|200x200px|centro]]

En nuestro caso al venir la función vectorial del gradiente de una función escalar, el rotacional sería:

[[Archivo:Trabajoelena6.jpg|200x200px|centro]]

De manera que hacer el determinante se anula de la siguiente manera

[[Archivo:Trabajoelena007.jpg|200x200px|centro]]

===''Demostración de divergencia nula''===

[[Archivo:Hjhjhjhjhjhjhjhj.png|200x200px|centro]]

Sabiendo que

[[Archivo:Gtgtgtgt.png|200x200px|centro]]

realizamos el cálculo:

[[Archivo:Hthththththhtht.png|500x500px|centro]]

Como nos dicen que esto es igual a cero:

[[Archivo:Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.png|200x200px|centro]]

Simplificamos y llegamos a una igualdad y por tanto se verifica lo propuesto.

==''Lineas de corriente del campo''==
Ahora vamos a dibujar las lineas de corriente ''v'', que van ser tangentes de ''u''. Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a ''u:v = k x u''

[[Archivo:Trabajoelena8.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena9.jpg|200x200px|centro]]

[[Archivo:Trabajoelena10.jpg|300x300px|]]

También necesitaremos la función de la corriente ψ que es la potencial de ''v'':

[[Archivo:Trabajoelena11.jpg|200x200px|centro]]

Dibujaremos la función potencial inicial, la nueva función potencial que representa la corriente, las velocidades y sus ortogonales:

[[Archivo:Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.png|300x300px|]]

[[Archivo:Trabajoelena12.jpg|300x300px|]]

=='''Velocidades máxima y mínima en frontera del obstáculo'''==

[[Archivo:Ggggggggggggggggg.png|300x300px|]]

vmax=2
vmin=0.0248

[[Archivo:Trabajoelena13.jpg|300x300px|]]

Ahora dibujamos las líneas de nivel para observar los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, con ''contour(x,y,t)''

[[Archivo:Trabajoelena14.jpg|300x300px|]]

=='''Presión del fluido. Ecuación de bernouilli'''==
Suponiendo que la densidad de flujo es constante d=2 y verificando la ecuación:

[[Archivo:Alberto1.jpg|150x150px|centro]]

Nos pide calcular la presión dando el valor 10 a la constante, dibujarla y en que puntosalcanza al mayor y menor valor.

Tenemos que el campo es:

[[Archivo:Alberto2.jpg|150x150px|centro]]

despejando P en la ecuación de arriba nos queda: P=10-|u|^2, donde:

[[Archivo:Alberto3.PNG|200x200px|centro]]

Por lo tanto.

[[Archivo:Alberto4.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto5.PNG|300x300px|centro]]

Puntos donde se alcanza la mayor y menor presión:

[[Archivo:Alberto6.PNG|200x200px|centro]]

Comparándolo con los puntos donde se alcanza mayor y menor velocidad:
La velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa

Las gráficas conseguidas son:

[[Archivo:Alberto7.PNG|300x300px|centro]]

[[Archivo:Alberto8.PNG|300x300px|centro]]

=='''Ecuación de Navier-Stokes'''==

[[Archivo:Alberto9.PNG|150x150px|izquierda]]

Haremos el gradiente de: ''1/2*d|u| + P = cte'', de esa forma demostraremos que cumple la ecuacion.

Que el gradiente sea lineal, quiere decir:
[[Archivo:Alberto10 (1).PNG|200x200px|izquierda]]

Por lo que:

[[Archivo:Alberto11.PNG|200x200px|izquierda]]

De esta manera queda demostrado que cumple la ecuación de Navier-Stokes.

==''Líneas de corriente''==

Las líneas de corriente son tangentes a la velocidad.
Para poder dibujarlas primero calculamos el vector perpendicular a ''u:v=k x u''

[[Archivo:Alberto12.PNG|200x200px|izquierda]]

Por ser la divergencia nula como se ha dicho en el apartado anterior, el rotacional será 0.

Calculamos la función potencial φ:

[[Archivo:Alberto13.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto14.PNG|200x200px|miniaturadeimagen|centro]]

Comprobación:

[[Archivo:Alberto15.PNG|200x200px|centro]]

Ahora lo dibujamos, el código utilizado es:

[[Archivo:Alberto16.PNG|200x200px|centro]]

[[Archivo:Alberto17.PNG|200x200px|centro]]

También tenemos la presión:

[[Archivo:Alberto18.PNG|200x200px|centro]]

Módulo de la velocidad:

[[Archivo:Ffffffffffffffffffff.png|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto19.PNG|200x200px|izquierda]]

[[Archivo:Alberto20.PNG|200x200px|centro]]

¿Cómo cambia la velocidad y presión al rodear al obstáculo?
La presión y la velocidad bajan.

=='''Curvas de nivel de presión'''==
Como anteriormente hemos observado, los máximos valores para la presión los encontramos en la zona superior e inferior del óbstaculo, correspondiéndose con las zonas de menor velocidad. Mientras que en los laterales las líneas son de un color azul que equivale a valores más bajos de la presión, justo donde las corrientes se alejan del obstáculo.

=='''Presión media del fluido'''==

Vamos a calcular la presión media del fluido. Para ello se hará un aaproximacion de la integral de la presion y lo dividiremos entre el área de la región que ocupa el fluido. En este caso es el área de una corona circular de radios 1 y 5. Realizamos la aproximación de la presión mediante Matlab:

Realizando estos cálculos obtenemos un resultado de 8.9444 que si contrastamos con una de las gráficas de la presión podemos ver que concuerda, ya que en la gráfica a simple vista se observa como los valores medios rondan este valor.

Archivo:Alberto20.PNG

2019-12-05T16:03:40Z

Mª Elena Pérez Fernández: