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Archivo:Luis13.jpg

2015-03-12T19:37:54Z

Luisntp:

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-12T19:35:40Z

Luisntp: /* EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))
Para formular el modelo hemos utilizado un análisis compartimental ya que consideramos el edificio como una sola habitación en el que la temperatura está definida como T(t)

==PROBLEMA DE CAUCHY==
La ley de enfriamiento de Newton establece que:

''"Cuando la diferencia entre un cuerpo y su medio externo no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo" ''

Teniendo esto en cuenta, esta ley establece que hay una razón de cambio de temperatura que es proporcional a la temperatura interior y exterior del edificio designadas en nuestro caso como T(t) y M(t) respectivamente. Dicha razón queda determinada según el P.V.I siguiente:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0 \\
T(to)=T_0
\end{matrix}
\right . </math>

k: es una constante real que depende del número de ventanas, aislamiento del edificio..

==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO==
===EDIFICIO "CERRADO"===
A la hora de analizar la temperatura del edificio vamos a ir suponiendo distintas situaciones,en está primera situación vamos a tratar de saber cuanto tiempo tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio cuando esta cerrado, esto quiere decir que en el interior del edificio no hay actividad que afecte al calentamiento o enfriamiento del mismo ni tampoco hay calefacción ni aire acondicionado, por tanto las variables U(t) y H(t) son iguales a cero; por sólo vamos a tener en cuenta la temperatura exterior M(t).

Suponemos que la temperatura en el interior del edificio y a media noche es 14ºC, y la temperatura exterior es constante e igual 8ºC, (M(t)=8ºC), por otra parte, la constante de tiempo del edificio está definida como t'= <math>\dfrac{1}{k} </math>, nosotros suponemos que t'=3, por lo tanto la constante k=<math>\dfrac{1}{3} </math>.

Con las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, obtenemos el siguiente P.V.I:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=\dfrac{1}{3}(8-T), t>0 \\
T(to)=14
\end{matrix}
\right . </math>

Utilizamos el método de Euler implícito para el PVI anterior, con una longitud de paso h=0,001 y compararemos este resultado con el resultado de la ecuación exacta obtenida analíticamente.
Implementado el código que a continuación se muestra en Matlab, se ha llegado al gráfico que responde a nuestra cuestión inicial.

{{matlab|codigo=
%Variacion de la temperatura del edificio cerrado con Euler implícito
t0 = 0;
tn = 24;
T0 = 14;
h = 0.01;
N =(tn-t0)/h;
t = linspace(0,24,N+1);
%solución exacta
Te = (14-8).*exp(-1/3*t)+8;

T = zeros(size(t));
T(1) = T0;
for i = 1:N
T(i+1) = 1/(1+h/3)*(T(i)+h*(8/3));
end
[T1,t1,Te1];
%Gráfica
hold on
ylabel('Temperatura'); xlabel('Tiempo(h)');
plot(t1,Te1,'g');
plot(t1,T1, 'r',);

hold off

}}

[[Archivo:Grafica 1.jpg|marco|centro]]

Ante todo cabe destacar que la solución exacta y la obtenida mediante el método numérico son prácticamente idénticas. Además en el gráfico se observa un brusco descenso de la temperatura durante las primeras horas del día, para luego estabilizarse cuando ya han pasado aproximadamente 10 horas, es decir el edificio trata de alcanzar el equilibrio térmico entre la temperatura exterior e interior perdiendo calor durante la noche.

===EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO===

En esta segunda situación vamos a analizar la variación de la temperatura en un día hábil, esto quiere decir que a diferencia del aparado anterior en el edificio se esta desarrollando una actividad que genera un calentamiento como por ejemplo las luces, máquinas... Dicho calentamiento está definido mediante la variable H(t). Al suponer estar en una estación del año intermedia no se precisa calefacción ni aire acondicionado por lo tanto, U(t)=0.Por otra parte la temperatura exterior M(t) variará de forma senoidal en un periodo de 24 horas con un mínimo en t=0h y un máximo en t=12h. Con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math>(1)
siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Hay que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Se trata de una ecuación lineal de primer orden en T. La solución será del tipo:
<math>T(t)=T_{hom}(t)+T_{par}(t)</math>
La solución homogénea es: <math>T_{hom}=ce^{-kt}</math>
Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

DEMOSTRACIÓN DE QUE <math> B_0</math> ES APROXIMADAMENTE IGUAL A <math> M_0</math>

<math>TM(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (Bo-B*F(t)+c*e^{-k*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} Bo\, dt}{24}\simeq Bo</math>

donde <math>\int_{0}^{24} F(t)\, dt=0;:\int_{0}^{24} c*e^{-k*t}\, dt\simeq 0</math>.

Por último vamos a demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

Ahora con la ayuda de MATLAB,mediante el método de Euler y Runge-Kutta 4 resolvemos el P.V.I, que se nos presenta para los datos:
<math>H_0=3, M_0=7, K=1/3, B=5, T_0=13</math>

{{matlab|codigo=

t0=0;
tN=24;
y0=13;
H0=3;
M0=7;
k=1/3;
B=5;
w=pi/12;
B0=M0+(H0/k);
C=y0-B0+(B/(1+(w/k)^2));
h=input('Introduce tamaño de paso');
N=(tN-t0)/h;

t=t0:h:tN;

F=(1/(1+(w/k)^2))*(cos(w*t)+(sin(w*t)*(w/k)));
%solucion exacta
x=B0-B*F+C*(exp(-k*t));

y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;

u=zeros(1,N+1); %runge-kutta
u(1)=y0;

for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*((k*((M0-(B*cos(w*t(i))))-y(i)))+3); %euler

U1=(k*((M0-(B*cos(w*t(i))))-y(i)))+3;
U2=(k*((M0-(B*cos(w*(t(i)+(0.5*h))))-(y(i)+(0.5*U1*h))))+3);
U3=k*((M0-(B*cos(w*(t(i)+(0.5*h))))-(y(i)+(0.5*U2*h))))+3;
U4=k*((M0-(B*cos(w*(t(i)+(h))))-(y(i)+(U3*h))))+3;
u(i+1)=u(i)+h/6*(U1+2*U2+2*U3+U4); %runge-kutta4
end
M=M0-(B*cos((w)*t));
figure(1)
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,u,'g')
plot(t,M,'r')
plot(t,x,'y')
legend('Temperatura interior, Euler','Temperatura interior, Runge-kutta','Temperatura exterior')
xlabel('Tiempo en horas');
ylabel('Temperatura en ºC');
hold off

}}

ANÁLISIS DEL GRÁFICO:

En el gráfico se observa que la temperatura media en un día es aproximadamente 16ºC ya que anteriormente hemos demostrado que Bo=Tm. Otro aspecto importante es el retraso de 3 horas de la temperatura interior respecto a la temperatura exterior, que da lugar a periodos en los que la temperatura esta disminuyendo dentro del edificio aumentando la de fuera.

=== EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO===
En esta situación vamos a añadir una variable más, aparte de la temperatura exterior y el calor generado por la actividad en el edificio, se trata de un termostato sencillo que regula la temperatura del interior del edificio en función de la temperatura deseada, designada por <math>T_D</math>. El funcionamiento del termostato es el siguiente: el sistema mide la temperatura real en el interior del edificio y aporta frío o calor dependiendo de la estación, si la temperatura real y la deseada no coinciden, en caso de coincidir el termostato permanece apagado.

El calor o el frío suministrado viene dado por la función:

<math>U(t)=K_u[T_D-T(t)]</math>

Del enunciado sabemos que la solución analítica del P.V.I es:

<math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>

Donde:
\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \, \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
Para demostrar que lo anterior es cierto, resolvemos el siguiente P.V.I :

<math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>

Como se puede observar, se trata de una ecuación de primer orden cuya solución será del tipo:

<math>T_G=T_H+T_P</math>

<big>* Solución de la ecuación homogénea:

</big><math>T'+KT + KuT = 0</math>
Aplicando el método de variables separadas tenemos que:

<math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math>

y así se llega a la conclusión de que <math>K1= k+K_u</math>
<big>
* Sólución particular:</big>

Para hallarla hemos aplicado el principio de superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para cada una de las siguientes ecuaciones:

* <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuT_{D} (1) </math>
* <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) (2) </math>

En (1) aplicamos el método de resolución por tanteo, y obtenemos lo siguiente:

<math> T_{P1}=Α \ y \ T'_{P1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ </math>.

Vemos que <math>T_{P1}=B2</math> (q.c.d)

Para calcular la segunda solución particular:
<math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión <math> T_{P2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que se resuelve por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en <math> T_{P2}</math>

<math> T_{P2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}sin(ωt) </math>

La solución es <math> T(t)=T_{H}+T_{P1}+T_{P2} </math> donde:
<math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{k_{1}})}^2}sin(ωt)]}+Ce^{-kt}</math>
Idenfificando coeficientes observamos que el coeficiente que multiplica a B1 es F1(t). (c.q.d)

Por último debemos demostrar que <math> C = To – B2 + +F1(0) </math>, para lograrlo basta con imponer la condición: <math>T(0)=T_0</math>.

Por otro lado vamos a demostrar que B2 representa aproximadamente la temperatura media del edificio, muy próxima a la temperatura deseada. Primero suponemos suponemos un valor medio de 24 horas.
La temperatura media esta definida como

<math>T_{media}(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (B_{2}-B_{1}*F_{1}(t)+c*e^{-K_{1}*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} B_{2}\, dt}{24}\simeq B_{2}</math>

Siendo:

* <math>\int_{0}^{24} B_{2}*F_{1}(t)\, dt=0</math> Esto es así porque las funciones son periodicas

* <math>\int_{0}^{24} c*e^{-K_{1}*t}\, dt\simeq 0</math> Debido a que el término exponecial nos dice el enunciado que desaparece a los 30 minutos.

<math>B2=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K1}=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K+K_u}=\dfrac{K_uT_D}{K+K_u}+\dfrac{KM_o+H_o}{K+K_u}=T_D</math>

ya que <math>\dfrac{K_u}{K+K_u}</math> es aprox 1 y <math>\dfrac{KM_O+H_O}{K+K_u}</math> es aproximadamente 0.

Con esto hemos conseguido demostrar que B2 y Tm es aproximadamente la temperatura deseada.

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-12T17:48:34Z

Luisntp: /* EDIFICIO "CERRADO" */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))
Para formular el modelo hemos utilizado un análisis compartimental ya que consideramos el edificio como una sola habitación en el que la temperatura está definida como T(t)

==PROBLEMA DE CAUCHY==
La ley de enfriamiento de Newton establece que:

''"Cuando la diferencia entre un cuerpo y su medio externo no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo" ''

Teniendo esto en cuenta, esta ley establece que hay una razón de cambio de temperatura que es proporcional a la temperatura interior y exterior del edificio designadas en nuestro caso como T(t) y M(t) respectivamente. Dicha razón queda determinada según el P.V.I siguiente:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0 \\
T(to)=T_0
\end{matrix}
\right . </math>

k: es una constante real que depende del número de ventanas, aislamiento del edificio..

==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO==
===EDIFICIO "CERRADO"===
A la hora de analizar la temperatura del edificio vamos a ir suponiendo distintas situaciones,en está primera situación vamos a tratar de saber cuanto tiempo tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio cuando esta cerrado, esto quiere decir que en el interior del edificio no hay actividad que afecte al calentamiento o enfriamiento del mismo ni tampoco hay calefacción ni aire acondicionado, por tanto las variables U(t) y H(t) son iguales a cero; por sólo vamos a tener en cuenta la temperatura exterior M(t).

Suponemos que la temperatura en el interior del edificio y a media noche es 14ºC, y la temperatura exterior es constante e igual 8ºC, (M(t)=8ºC), por otra parte, la constante de tiempo del edificio está definida como t'= <math>\dfrac{1}{k} </math>, nosotros suponemos que t'=3, por lo tanto la constante k=<math>\dfrac{1}{3} </math>.

Con las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, obtenemos el siguiente P.V.I:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=\dfrac{1}{3}(8-T), t>0 \\
T(to)=14
\end{matrix}
\right . </math>

Utilizamos el método de Euler implícito para el PVI anterior, con una longitud de paso h=0,001 y compararemos este resultado con el resultado de la ecuación exacta obtenida analíticamente.
Implementado el código que a continuación se muestra en Matlab, se ha llegado al gráfico que responde a nuestra cuestión inicial.

{{matlab|codigo=
%Variacion de la temperatura del edificio cerrado con Euler implícito
t0 = 0;
tn = 24;
T0 = 14;
h = 0.01;
N =(tn-t0)/h;
t = linspace(0,24,N+1);
%solución exacta
Te = (14-8).*exp(-1/3*t)+8;

T = zeros(size(t));
T(1) = T0;
for i = 1:N
T(i+1) = 1/(1+h/3)*(T(i)+h*(8/3));
end
[T1,t1,Te1];
%Gráfica
hold on
ylabel('Temperatura'); xlabel('Tiempo(h)');
plot(t1,Te1,'g');
plot(t1,T1, 'r',);

hold off

}}

[[Archivo:Grafica 1.jpg|marco|centro]]

Ante todo cabe destacar que la solución exacta y la obtenida mediante el método numérico son prácticamente idénticas. Además en el gráfico se observa un brusco descenso de la temperatura durante las primeras horas del día, para luego estabilizarse cuando ya han pasado aproximadamente 10 horas, es decir el edificio trata de alcanzar el equilibrio térmico entre la temperatura exterior e interior perdiendo calor durante la noche.

===EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO===

En esta segunda situación vamos a analizar la variación de la temperatura en un día hábil, esto quiere decir que a diferencia del aparado anterior en el edificio se esta desarrollando una actividad que genera un calentamiento como por ejemplo las luces, máquinas... Dicho calentamiento está definido mediante la variable H(t). Al suponer estar en una estación del año intermedia no se precisa calefacción ni aire acondicionado por lo tanto, U(t)=0.Por otra parte la temperatura exterior M(t) variará de forma senoidal en un periodo de 24 horas con un mínimo en t=0h y un máximo en t=12h. Con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math>(1)
siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Hay que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Se trata de una ecuación lineal de primer orden en T. La solución será del tipo:
<math>T(t)=T_{hom}(t)+T_{par}(t)</math>
La solución homogénea es: <math>T_{hom}=ce^{-kt}</math>
Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

DEMOSTRACIÓN DE QUE <math> B_0</math> ES APROXIMADAMENTE IGUAL A <math> M_0</math>

<math>TM(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (Bo-B*F(t)+c*e^{-k*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} Bo\, dt}{24}\simeq Bo</math>

donde <math>\int_{0}^{24} F(t)\, dt=0;:\int_{0}^{24} c*e^{-k*t}\, dt\simeq 0</math>.

Por último vamos a demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

Ahora con la ayuda de MATLAB,mediante el método de Euler y Runge-Kutta 4 resolvemos el P.V.I, que se nos presenta para los datos:
<math>H_0=3, M_0=7, K=1/3, B=5, T_0=13</math>

ANÁLISIS DEL GRÁFICO:

En el gráfico se observa que la temperatura media en un día es aproximadamente 16ºC ya que anteriormente hemos demostrado que Bo=Tm. Otro aspecto importante es el retraso de 3 horas de la temperatura interior respecto a la temperatura exterior, que da lugar a periodos en los que la temperatura esta disminuyendo dentro del edificio aumentando la de fuera.

=== EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO===
En esta situación vamos a añadir una variable más, aparte de la temperatura exterior y el calor generado por la actividad en el edificio, se trata de un termostato sencillo que regula la temperatura del interior del edificio en función de la temperatura deseada, designada por <math>T_D</math>. El funcionamiento del termostato es el siguiente: el sistema mide la temperatura real en el interior del edificio y aporta frío o calor dependiendo de la estación, si la temperatura real y la deseada no coinciden, en caso de coincidir el termostato permanece apagado.

El calor o el frío suministrado viene dado por la función:

<math>U(t)=K_u[T_D-T(t)]</math>

Del enunciado sabemos que la solución analítica del P.V.I es:

<math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>

Donde:
\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \, \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
Para demostrar que lo anterior es cierto, resolvemos el siguiente P.V.I :

<math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>

Como se puede observar, se trata de una ecuación de primer orden cuya solución será del tipo:

<math>T_G=T_H+T_P</math>

<big>* Solución de la ecuación homogénea:

</big><math>T'+KT + KuT = 0</math>
Aplicando el método de variables separadas tenemos que:

<math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math>

y así se llega a la conclusión de que <math>K1= k+K_u</math>
<big>
* Sólución particular:</big>

Para hallarla hemos aplicado el principio de superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para cada una de las siguientes ecuaciones:

* <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuT_{D} (1) </math>
* <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) (2) </math>

En (1) aplicamos el método de resolución por tanteo, y obtenemos lo siguiente:

<math> T_{P1}=Α \ y \ T'_{P1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ </math>.

Vemos que <math>T_{P1}=B2</math> (q.c.d)

Para calcular la segunda solución particular:
<math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión <math> T_{P2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que se resuelve por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en <math> T_{P2}</math>

<math> T_{P2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}sin(ωt) </math>

La solución es <math> T(t)=T_{H}+T_{P1}+T_{P2} </math> donde:
<math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{k_{1}})}^2}sin(ωt)]}+Ce^{-kt}</math>
Idenfificando coeficientes observamos que el coeficiente que multiplica a B1 es F1(t). (c.q.d)

Por último debemos demostrar que <math> C = To – B2 + +F1(0) </math>, para lograrlo basta con imponer la condición: <math>T(0)=T_0</math>.

Por otro lado vamos a demostrar que B2 representa aproximadamente la temperatura media del edificio, muy próxima a la temperatura deseada. Primero suponemos suponemos un valor medio de 24 horas.
La temperatura media esta definida como

<math>T_{media}(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (B_{2}-B_{1}*F_{1}(t)+c*e^{-K_{1}*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} B_{2}\, dt}{24}\simeq B_{2}</math>

Siendo:

* <math>\int_{0}^{24} B_{2}*F_{1}(t)\, dt=0</math> Esto es así porque las funciones son periodicas

* <math>\int_{0}^{24} c*e^{-K_{1}*t}\, dt\simeq 0</math> Debido a que el término exponecial nos dice el enunciado que desaparece a los 30 minutos.

<math>B2=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K1}=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K+K_u}=\dfrac{K_uT_D}{K+K_u}+\dfrac{KM_o+H_o}{K+K_u}=T_D</math>

ya que <math>\dfrac{K_u}{K+K_u}</math> es aprox 1 y <math>\dfrac{KM_O+H_O}{K+K_u}</math> es aproximadamente 0.

Con esto hemos conseguido demostrar que B2 y Tm es aproximadamente la temperatura deseada.

Archivo:Grafica 1.jpg

2015-03-12T17:46:11Z

Luisntp:

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-12T17:42:00Z

Luisntp: /* EDIFICIO "CERRADO" */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))
Para formular el modelo hemos utilizado un análisis compartimental ya que consideramos el edificio como una sola habitación en el que la temperatura está definida como T(t)

==PROBLEMA DE CAUCHY==
La ley de enfriamiento de Newton establece que:

''"Cuando la diferencia entre un cuerpo y su medio externo no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo" ''

Teniendo esto en cuenta, esta ley establece que hay una razón de cambio de temperatura que es proporcional a la temperatura interior y exterior del edificio designadas en nuestro caso como T(t) y M(t) respectivamente. Dicha razón queda determinada según el P.V.I siguiente:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0 \\
T(to)=T_0
\end{matrix}
\right . </math>

k: es una constante real que depende del número de ventanas, aislamiento del edificio..

==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO==
===EDIFICIO "CERRADO"===
A la hora de analizar la temperatura del edificio vamos a ir suponiendo distintas situaciones,en está primera situación vamos a tratar de saber cuanto tiempo tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio cuando esta cerrado, esto quiere decir que en el interior del edificio no hay actividad que afecte al calentamiento o enfriamiento del mismo ni tampoco hay calefacción ni aire acondicionado, por tanto las variables U(t) y H(t) son iguales a cero; por sólo vamos a tener en cuenta la temperatura exterior M(t).

Suponemos que la temperatura en el interior del edificio y a media noche es 14ºC, y la temperatura exterior es constante e igual 8ºC, (M(t)=8ºC), por otra parte, la constante de tiempo del edificio está definida como t'= <math>\dfrac{1}{k} </math>, nosotros suponemos que t'=3, por lo tanto la constante k=<math>\dfrac{1}{3} </math>.

Con las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, obtenemos el siguiente P.V.I:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=\dfrac{1}{3}(8-T), t>0 \\
T(to)=14
\end{matrix}
\right . </math>

Utilizamos el método de Euler implícito para el PVI anterior, con una longitud de paso h=0,001 y compararemos este resultado con el resultado de la ecuación exacta obtenida analíticamente.
Implementado el código que a continuación se muestra en Matlab, se ha llegado al gráfico que responde a nuestra cuestión inicial.

{{matlab|codigo=
%Variacion de la temperatura del edificio cerrado con Euler implícito
t0 = 0;
tn = 24;
T0 = 14;
h = 0.01;
N =(tn-t0)/h;
t = linspace(0,24,N+1);
%solución exacta
Te = (14-8).*exp(-1/3*t)+8;

T = zeros(size(t));
T(1) = T0;
for i = 1:N
T(i+1) = 1/(1+h/3)*(T(i)+h*(8/3));
end
[T1,t1,Te1];
%Gráfica
hold on
ylabel('Temperatura'); xlabel('Tiempo(h)');
plot(t1,Te1,'g');
plot(t1,T1, 'r',);

hold off

}}

Ante todo cabe destacar que la solución exacta y la obtenida mediante el método numérico son prácticamente idénticas. Además en el gráfico se observa un brusco descenso de la temperatura durante las primeras horas del día, para luego estabilizarse cuando ya han pasado aproximadamente 10 horas, es decir el edificio trata de alcanzar el equilibrio térmico entre la temperatura exterior e interior perdiendo calor durante la noche.

===EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO===

En esta segunda situación vamos a analizar la variación de la temperatura en un día hábil, esto quiere decir que a diferencia del aparado anterior en el edificio se esta desarrollando una actividad que genera un calentamiento como por ejemplo las luces, máquinas... Dicho calentamiento está definido mediante la variable H(t). Al suponer estar en una estación del año intermedia no se precisa calefacción ni aire acondicionado por lo tanto, U(t)=0.Por otra parte la temperatura exterior M(t) variará de forma senoidal en un periodo de 24 horas con un mínimo en t=0h y un máximo en t=12h. Con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math>(1)
siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Hay que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Se trata de una ecuación lineal de primer orden en T. La solución será del tipo:
<math>T(t)=T_{hom}(t)+T_{par}(t)</math>
La solución homogénea es: <math>T_{hom}=ce^{-kt}</math>
Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

DEMOSTRACIÓN DE QUE <math> B_0</math> ES APROXIMADAMENTE IGUAL A <math> M_0</math>

<math>TM(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (Bo-B*F(t)+c*e^{-k*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} Bo\, dt}{24}\simeq Bo</math>

donde <math>\int_{0}^{24} F(t)\, dt=0;:\int_{0}^{24} c*e^{-k*t}\, dt\simeq 0</math>.

Por último vamos a demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

Ahora con la ayuda de MATLAB,mediante el método de Euler y Runge-Kutta 4 resolvemos el P.V.I, que se nos presenta para los datos:
<math>H_0=3, M_0=7, K=1/3, B=5, T_0=13</math>

ANÁLISIS DEL GRÁFICO:

En el gráfico se observa que la temperatura media en un día es aproximadamente 16ºC ya que anteriormente hemos demostrado que Bo=Tm. Otro aspecto importante es el retraso de 3 horas de la temperatura interior respecto a la temperatura exterior, que da lugar a periodos en los que la temperatura esta disminuyendo dentro del edificio aumentando la de fuera.

=== EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO===
En esta situación vamos a añadir una variable más, aparte de la temperatura exterior y el calor generado por la actividad en el edificio, se trata de un termostato sencillo que regula la temperatura del interior del edificio en función de la temperatura deseada, designada por <math>T_D</math>. El funcionamiento del termostato es el siguiente: el sistema mide la temperatura real en el interior del edificio y aporta frío o calor dependiendo de la estación, si la temperatura real y la deseada no coinciden, en caso de coincidir el termostato permanece apagado.

El calor o el frío suministrado viene dado por la función:

<math>U(t)=K_u[T_D-T(t)]</math>

Del enunciado sabemos que la solución analítica del P.V.I es:

<math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>

Donde:
\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \, \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
Para demostrar que lo anterior es cierto, resolvemos el siguiente P.V.I :

<math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>

Como se puede observar, se trata de una ecuación de primer orden cuya solución será del tipo:

<math>T_G=T_H+T_P</math>

<big>* Solución de la ecuación homogénea:

</big><math>T'+KT + KuT = 0</math>
Aplicando el método de variables separadas tenemos que:

<math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math>

y así se llega a la conclusión de que <math>K1= k+K_u</math>
<big>
* Sólución particular:</big>

Para hallarla hemos aplicado el principio de superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para cada una de las siguientes ecuaciones:

* <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuT_{D} (1) </math>
* <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) (2) </math>

En (1) aplicamos el método de resolución por tanteo, y obtenemos lo siguiente:

<math> T_{P1}=Α \ y \ T'_{P1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ </math>.

Vemos que <math>T_{P1}=B2</math> (q.c.d)

Para calcular la segunda solución particular:
<math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión <math> T_{P2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que se resuelve por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en <math> T_{P2}</math>

<math> T_{P2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}sin(ωt) </math>

La solución es <math> T(t)=T_{H}+T_{P1}+T_{P2} </math> donde:
<math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{k_{1}})}^2}sin(ωt)]}+Ce^{-kt}</math>
Idenfificando coeficientes observamos que el coeficiente que multiplica a B1 es F1(t). (c.q.d)

Por último debemos demostrar que <math> C = To – B2 + +F1(0) </math>, para lograrlo basta con imponer la condición: <math>T(0)=T_0</math>.

Por otro lado vamos a demostrar que B2 representa aproximadamente la temperatura media del edificio, muy próxima a la temperatura deseada. Primero suponemos suponemos un valor medio de 24 horas.
La temperatura media esta definida como

<math>T_{media}(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (B_{2}-B_{1}*F_{1}(t)+c*e^{-K_{1}*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} B_{2}\, dt}{24}\simeq B_{2}</math>

Siendo:

* <math>\int_{0}^{24} B_{2}*F_{1}(t)\, dt=0</math> Esto es así porque las funciones son periodicas

* <math>\int_{0}^{24} c*e^{-K_{1}*t}\, dt\simeq 0</math> Debido a que el término exponecial nos dice el enunciado que desaparece a los 30 minutos.

<math>B2=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K1}=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K+K_u}=\dfrac{K_uT_D}{K+K_u}+\dfrac{KM_o+H_o}{K+K_u}=T_D</math>

ya que <math>\dfrac{K_u}{K+K_u}</math> es aprox 1 y <math>\dfrac{KM_O+H_O}{K+K_u}</math> es aproximadamente 0.

Con esto hemos conseguido demostrar que B2 y Tm es aproximadamente la temperatura deseada.

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-12T16:48:01Z

Luisntp: /* EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))
Para formular el modelo hemos utilizado un análisis compartimental ya que consideramos el edificio como una sola habitación en el que la temperatura está definida como T(t)

==PROBLEMA DE CAUCHY==
La ley de enfriamiento de Newton establece que:

''"Cuando la diferencia entre un cuerpo y su medio externo no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo" ''

Teniendo esto en cuenta, esta ley establece que hay una razón de cambio de temperatura que es proporcional a la temperatura interior y exterior del edificio designadas en nuestro caso como T(t) y M(t) respectivamente. Dicha razón queda determinada según el P.V.I siguiente:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0 \\
T(to)=T_0
\end{matrix}
\right . </math>

k: es una constante real que depende del número de ventanas, aislamiento del edificio..

==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO==
===EDIFICIO "CERRADO"===
A la hora de analizar la temperatura del edificio vamos a ir suponiendo distintas situaciones,en está primera situación vamos a tratar de saber cuanto tiempo tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio cuando esta cerrado, esto quiere decir que en el interior del edificio no hay actividad que afecte al calentamiento o enfriamiento del mismo ni tampoco hay calefacción ni aire acondicionado, por tanto las variables U(t) y H(t) son iguales a cero; por sólo vamos a tener en cuenta la temperatura exterior M(t).

Suponemos que la temperatura en el interior del edificio y a media noche es 14ºC, y la temperatura exterior es constante e igual 8ºC, (M(t)=8ºC), por otra parte, la constante de tiempo del edificio está definida como t'= <math>\dfrac{1}{k} </math>, nosotros suponemos que t'=3, por lo tanto la constante k=<math>\dfrac{1}{3} </math>.

Con las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, obtenemos el siguiente P.V.I:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=\dfrac{1}{3}(8-T), t>0 \\
T(to)=14
\end{matrix}
\right . </math>

Utilizamos el método de Euler implícito para el PVI anterior, con una longitud de paso h=0,001 y compararemos este resultado con el resultado de la ecuación exacta obtenida analíticamente.
Implementado el código que a continuación se muestra en Matlab, se ha llegado al gráfico que responde a nuestra cuestión inicial.

{{matlab|codigo=
%Variacion de la temperatura del edificio cerrado con Euler implícito
t0 = 0;
tn = 24;
T0 = 14;
h = 0.01;
N =(tn-t0)/h;
t = linspace(0,24,N+1);
%solución exacta
Te = (14-8).*exp(-1/3*t)+8;

T = zeros(size(t));
T(1) = T0;
for i = 1:N
T(i+1) = 1/(1+h/3)*(T(i)+h*(8/3));
end
[T1,t1,Te1];
%Gráfica
hold on
ylabel('Temperatura'); xlabel('Tiempo(h)');
plot(t1,Te1,'g');
plot(t1,T1, 'b',);
legend('Solucion exacta','Euler implicito',)
hold off

}}

Ante todo cabe destacar que la solución exacta y la obtenida mediante el método numérico son prácticamente idénticas. Además en el gráfico se observa un brusco descenso de la temperatura durante las primeras horas del día, para luego estabilizarse cuando ya han pasado aproximadamente 10 horas, es decir el edificio trata de alcanzar el equilibrio térmico entre la temperatura exterior e interior perdiendo calor durante la noche.

===EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO===

En esta segunda situación vamos a analizar la variación de la temperatura en un día hábil, esto quiere decir que a diferencia del aparado anterior en el edificio se esta desarrollando una actividad que genera un calentamiento como por ejemplo las luces, máquinas... Dicho calentamiento está definido mediante la variable H(t). Al suponer estar en una estación del año intermedia no se precisa calefacción ni aire acondicionado por lo tanto, U(t)=0.Por otra parte la temperatura exterior M(t) variará de forma senoidal en un periodo de 24 horas con un mínimo en t=0h y un máximo en t=12h. Con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math>(1)
siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Hay que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Se trata de una ecuación lineal de primer orden en T. La solución será del tipo:
<math>T(t)=T_{hom}(t)+T_{par}(t)</math>
La solución homogénea es: <math>T_{hom}=ce^{-kt}</math>
Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

DEMOSTRACIÓN DE QUE <math> B_0</math> ES APROXIMADAMENTE IGUAL A <math> M_0</math>

<math>TM(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (Bo-B*F(t)+c*e^{-k*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} Bo\, dt}{24}\simeq Bo</math>

donde <math>\int_{0}^{24} F(t)\, dt=0;:\int_{0}^{24} c*e^{-k*t}\, dt\simeq 0</math>.

Por último vamos a demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

Ahora con la ayuda de MATLAB,mediante el método de Euler y Runge-Kutta 4 resolvemos el P.V.I, que se nos presenta para los datos:
<math>H_0=3, M_0=7, K=1/3, B=5, T_0=13</math>

ANÁLISIS DEL GRÁFICO:

En el gráfico se observa que la temperatura media en un día es aproximadamente 16ºC ya que anteriormente hemos demostrado que Bo=Tm. Otro aspecto importante es el retraso de 3 horas de la temperatura interior respecto a la temperatura exterior, que da lugar a periodos en los que la temperatura esta disminuyendo dentro del edificio aumentando la de fuera.

=== EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO===
En esta situación vamos a añadir una variable más, aparte de la temperatura exterior y el calor generado por la actividad en el edificio, se trata de un termostato sencillo que regula la temperatura del interior del edificio en función de la temperatura deseada, designada por <math>T_D</math>. El funcionamiento del termostato es el siguiente: el sistema mide la temperatura real en el interior del edificio y aporta frío o calor dependiendo de la estación, si la temperatura real y la deseada no coinciden, en caso de coincidir el termostato permanece apagado.

El calor o el frío suministrado viene dado por la función:

<math>U(t)=K_u[T_D-T(t)]</math>

Del enunciado sabemos que la solución analítica del P.V.I es:

<math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>

Donde:
\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \, \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
Para demostrar que lo anterior es cierto, resolvemos el siguiente P.V.I :

<math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>

Como se puede observar, se trata de una ecuación de primer orden cuya solución será del tipo:

<math>T_G=T_H+T_P</math>

<big>* Solución de la ecuación homogénea:

</big><math>T'+KT + KuT = 0</math>
Aplicando el método de variables separadas tenemos que:

<math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math>

y así se llega a la conclusión de que <math>K1= k+K_u</math>
<big>
* Sólución particular:</big>

Para hallarla hemos aplicado el principio de superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para cada una de las siguientes ecuaciones:

* <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuT_{D} (1) </math>
* <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) (2) </math>

En (1) aplicamos el método de resolución por tanteo, y obtenemos lo siguiente:

<math> T_{P1}=Α \ y \ T'_{P1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ </math>.

Vemos que <math>T_{P1}=B2</math> (q.c.d)

Para calcular la segunda solución particular:
<math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión <math> T_{P2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que se resuelve por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en <math> T_{P2}</math>

<math> T_{P2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}sin(ωt) </math>

La solución es <math> T(t)=T_{H}+T_{P1}+T_{P2} </math> donde:
<math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{k_{1}})}^2}sin(ωt)]}+Ce^{-kt}</math>
Idenfificando coeficientes observamos que el coeficiente que multiplica a B1 es F1(t). (c.q.d)

Por último debemos demostrar que <math> C = To – B2 + +F1(0) </math>, para lograrlo basta con imponer la condición: <math>T(0)=T_0</math>.

Por otro lado vamos a demostrar que B2 representa aproximadamente la temperatura media del edificio, muy próxima a la temperatura deseada. Primero suponemos suponemos un valor medio de 24 horas.
La temperatura media esta definida como

<math>T_{media}(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (B_{2}-B_{1}*F_{1}(t)+c*e^{-K_{1}*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} B_{2}\, dt}{24}\simeq B_{2}</math>

Siendo:

* <math>\int_{0}^{24} B_{2}*F_{1}(t)\, dt=0</math> Esto es así porque las funciones son periodicas

* <math>\int_{0}^{24} c*e^{-K_{1}*t}\, dt\simeq 0</math> Debido a que el término exponecial nos dice el enunciado que desaparece a los 30 minutos.

<math>B2=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K1}=\dfrac{K_uT_D+KM_O+H_O}{K+K_u}=\dfrac{K_uT_D}{K+K_u}+\dfrac{KM_o+H_o}{K+K_u}=T_D</math>

ya que <math>\dfrac{K_u}{K+K_u}</math> es aprox 1 y <math>\dfrac{KM_O+H_O}{K+K_u}</math> es aproximadamente 0.

Con esto hemos conseguido demostrar que B2 y Tm es aproximadamente la temperatura deseada.

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-12T14:10:16Z

Luisntp: /* EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))
Para formular el modelo hemos utilizado un análisis compartimental ya que consideramos el edificio como una sola habitación en el que la temperatura está definida como T(t)

==PROBLEMA DE CAUCHY==
La ley de enfriamiento de Newton establece que:

''"Cuando la diferencia entre un cuerpo y su medio externo no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo" ''

Teniendo esto en cuenta, esta ley establece que hay una razón de cambio de temperatura que es proporcional a la temperatura interior y exterior del edificio designadas en nuestro caso como T(t) y M(t) respectivamente. Dicha razón queda determinada según el P.V.I siguiente:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0 \\
T(to)=T_0
\end{matrix}
\right . </math>

k: es una constante real que depende del número de ventanas, aislamiento del edificio..

==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO==
===EDIFICIO "CERRADO"===
A la hora de analizar la temperatura del edificio vamos a ir suponiendo distintas situaciones,en está primera situación vamos a tratar de saber cuanto tiempo tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio cuando esta cerrado, esto quiere decir que en el interior del edificio no hay actividad que afecte al calentamiento o enfriamiento del mismo ni tampoco hay calefacción ni aire acondicionado, por tanto las variables U(t) y H(t) son iguales a cero; por sólo vamos a tener en cuenta la temperatura exterior M(t).

Suponemos que la temperatura en el interior del edificio y a media noche es 14ºC, y la temperatura exterior es constante e igual 8ºC, (M(t)=8ºC), por otra parte, la constante de tiempo del edificio está definida como t'= <math>\dfrac{1}{k} </math>, nosotros suponemos que t'=3, por lo tanto la constante k=<math>\dfrac{1}{3} </math>.

Con las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, obtenemos el siguiente P.V.I:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=\dfrac{1}{3}(8-T), t>0 \\
T(to)=14
\end{matrix}
\right . </math>

Utilizamos el método de Euler implícito para el PVI anterior, con una longitud de paso h=0,001 y compararemos este resultado con el resultado de la ecuación exacta obtenida analíticamente.
Implementado el código que a continuación se muestra en Matlab, se ha llegado al gráfico que responde a nuestra cuestión inicial.

{{matlab|codigo=
%Variacion de la temperatura del edificio cerrado con Euler implícito
t0 = 0;
tn = 24;
T0 = 14;
h = 0.01;
N =(tn-t0)/h;
t = linspace(0,24,N+1);
%solución exacta
Te = (14-8).*exp(-1/3*t)+8;

T = zeros(size(t));
T(1) = T0;
for i = 1:N
T(i+1) = 1/(1+h/3)*(T(i)+h*(8/3));
end
[T1,t1,Te1];
%Gráfica
hold on
ylabel('Temperatura'); xlabel('Tiempo(h)');
plot(t1,Te1,'g');
plot(t1,T1, 'b',);
legend('Solucion exacta','Euler implicito',)
hold off

}}

Ante todo cabe destacar que la solución exacta y la obtenida mediante el método numérico son prácticamente idénticas. Además en el gráfico se observa un brusco descenso de la temperatura durante las primeras horas del día, para luego estabilizarse cuando ya han pasado aproximadamente 10 horas, es decir el edificio trata de alcanzar el equilibrio térmico entre la temperatura exterior e interior perdiendo calor durante la noche.

===EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO===

En esta segunda situación vamos a analizar la variación de la temperatura en un día hábil, esto quiere decir que a diferencia del aparado anterior en el edificio se esta desarrollando una actividad que genera un calentamiento como por ejemplo las luces, máquinas... Dicho calentamiento está definido mediante la variable H(t). Al suponer estar en una estación del año intermedia no se precisa calefacción ni aire acondicionado por lo tanto, U(t)=0.Por otra parte la temperatura exterior M(t) variará de forma senoidal en un periodo de 24 horas con un mínimo en t=0h y un máximo en t=12h. Con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math>(1)
siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Hay que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Se trata de una ecuación lineal de primer orden en T. La solución será del tipo:
<math>T(t)=T_{hom}(t)+T_{par}(t)</math>
La solución homogénea es: <math>T_{hom}=ce^{-kt}</math>
Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

DEMOSTRACIÓN DE QUE <math> B_0</math> ES APROXIMADAMENTE IGUAL A <math> M_0</math>

<math>TM(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (Bo-B*F(t)+c*e^{-k*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} Bo\, dt}{24}\simeq Bo</math>

donde <math>\int_{0}^{24} F(t)\, dt=0;:\int_{0}^{24} c*e^{-k*t}\, dt\simeq 0</math>.

Por último vamos a demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

Ahora con la ayuda de MATLAB,mediante el método de Euler y Runge-Kutta 4 resolvemos el P.V.I, que se nos presenta para los datos:
<math>H_0=3, M_0=7, K=1/3, B=5, T_0=13</math>

ANÁLISIS DEL GRÁFICO:

En el gráfico se observa que la temperatura media en un día es aproximadamente 16ºC ya que anteriormente hemos demostrado que Bo=Tm. Otro aspecto importante es el retraso de 3 horas de la temperatura interior respecto a la temperatura exterior, que da lugar a periodos en los que la temperatura esta disminuyendo dentro del edificio aumentando la de fuera.

=== EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO===
En esta situación vamos a añadir una variable más, aparte de la temperatura exterior y el calor generado por la actividad en el edificio, se trata de un termostato sencillo que regula la temperatura del interior del edificio en función de la temperatura deseada, designada por <math>T_D</math>. El funcionamiento del termostato es el siguiente: el sistema mide la temperatura real en el interior del edificio y aporta frío o calor dependiendo de la estación, si la temperatura real y la deseada no coinciden, en caso de coincidir el termostato permanece apagado.

El calor o el frío suministrado viene dado por la función:

<math>U(t)=K_u[T_D-T(t)]</math>

Del enunciado sabemos que la solución analítica del P.V.I es:

<math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>

Donde:
\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \, \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
Para demostrar que lo anterior es cierto, resolvemos el siguiente P.V.I :

<math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>

Como se puede observar, se trata de una ecuación de primer orden cuya solución será del tipo:

<math>T_G=T_H+T_P</math>

<big>* Solución de la ecuación homogénea:

</big><math>T'+KT + KuT = 0</math>
Aplicando el método de variables separadas tenemos que:

<math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math>

y así se llega a la conclusión de que <math>K1= k+K_u</math>
<big>
* Sólución particular:</big>

Para hallarla hemos aplicado el principio de superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para cada una de las siguientes ecuaciones:

* <math> y_{1}(t)=kMo+Ho+KuT_{D} (1) </math>
* <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) (2) </math>

En (1) aplicamos el método de resolución por tanteo, y obtenemos lo siguiente:

<math> T_{P1}=Α \ y \ T'_{P1}=0 </math> obtenemos <math> A = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{k + Ku}\ </math> y <math> T_{p1}= \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ </math>.

Vemos que <math>T_{P1}=B2</math> (q.c.d)

Para calcular la segunda solución particular:
<math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> . Derivando esta expresión <math> T_{P2}=-fsen(ωt)+gωcos (ωt) </math> y sustituyéndola en la EDOL llegamos a un sistema de ecuaciones que se resuelve por Cramer, obteniendo los valores de f y g y sustituyéndolos en <math> T_{P2}</math>

<math> T_{P2} (t)=-\frac{\frac{kB}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{KB}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}sin(ωt) </math>

La solución es <math> T(t)=T_{H}+T_{P1}+T_{P2} </math> donde:
<math>T(t)=\frac{kMo+Ho+kUT_{D}}{K_{1}}-B1{[\frac{\frac{k}{K_{1}}}{1+{(\frac{ω}{K_{1}})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{k}{K_{1}^2}ω}{1+{(\frac{ω}{k_{1}})}^2}sin(ωt)]}+Ce^{-kt}</math>
Idenfificando coeficientes observamos que el coeficiente que multiplica a B1 es F1(t). (c.q.d)

Por último debemos demostrar que <math> C = To – B2 + +F1(0) </math>, para lograrlo basta con imponer la condición: <math>T(0)=T_0</math>.

Por otro lado vamos a demostrar que B2 representa aproximadamente la temperatura media del edificio, muy próxima a la temperatura deseada. Primero suponemos suponemos un valor medio de 24 horas.
La temperatura media esta definida como

<math>T_{media}(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (B_{2}-B_{1}*F_{1}(t)+c*e^{-K_{1}*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} B_{2}\, dt}{24}\simeq B_{2}</math>

Siendo:

* <math>\int_{0}^{24} B_{2}*F_{1}(t)\, dt=0</math> Esto es así porque las funciones son periodicas

* <math>\int_{0}^{24} c*e^{-K_{1}*t}\, dt\simeq 0</math> Debido a que el término exponecial nos dice el enunciado que desaparece a los 30 minutos.

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-12T13:24:37Z

Luisntp: /* EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))
Para formular el modelo hemos utilizado un análisis compartimental ya que consideramos el edificio como una sola habitación en el que la temperatura está definida como T(t)

==PROBLEMA DE CAUCHY==
La ley de enfriamiento de Newton establece que:

''"Cuando la diferencia entre un cuerpo y su medio externo no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo" ''

Teniendo esto en cuenta, esta ley establece que hay una razón de cambio de temperatura que es proporcional a la temperatura interior y exterior del edificio designadas en nuestro caso como T(t) y M(t) respectivamente. Dicha razón queda determinada según el P.V.I siguiente:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0 \\
T(to)=T_0
\end{matrix}
\right . </math>

k: es una constante real que depende del número de ventanas, aislamiento del edificio..

==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO==
===EDIFICIO "CERRADO"===
A la hora de analizar la temperatura del edificio vamos a ir suponiendo distintas situaciones,en está primera situación vamos a tratar de saber cuanto tiempo tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio cuando esta cerrado, esto quiere decir que en el interior del edificio no hay actividad que afecte al calentamiento o enfriamiento del mismo ni tampoco hay calefacción ni aire acondicionado, por tanto las variables U(t) y H(t) son iguales a cero; por sólo vamos a tener en cuenta la temperatura exterior M(t).

Suponemos que la temperatura en el interior del edificio y a media noche es 14ºC, y la temperatura exterior es constante e igual 8ºC, (M(t)=8ºC), por otra parte, la constante de tiempo del edificio está definida como t'= <math>\dfrac{1}{k} </math>, nosotros suponemos que t'=3, por lo tanto la constante k=<math>\dfrac{1}{3} </math>.

Con las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, obtenemos el siguiente P.V.I:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=\dfrac{1}{3}(8-T), t>0 \\
T(to)=14
\end{matrix}
\right . </math>

Utilizamos el método de Euler implícito para el PVI anterior, con una longitud de paso h=0,001 y compararemos este resultado con el resultado de la ecuación exacta obtenida analíticamente.
Implementado el código que a continuación se muestra en Matlab, se ha llegado al gráfico que responde a nuestra cuestión inicial.

{{matlab|codigo=
%Variacion de la temperatura del edificio cerrado con Euler implícito
t0 = 0;
tn = 24;
T0 = 14;
h = 0.01;
N =(tn-t0)/h;
t = linspace(0,24,N+1);
%solución exacta
Te = (14-8).*exp(-1/3*t)+8;

T = zeros(size(t));
T(1) = T0;
for i = 1:N
T(i+1) = 1/(1+h/3)*(T(i)+h*(8/3));
end
[T1,t1,Te1];
%Gráfica
hold on
ylabel('Temperatura'); xlabel('Tiempo(h)');
plot(t1,Te1,'g');
plot(t1,T1, 'b',);
legend('Solucion exacta','Euler implicito',)
hold off

}}

Ante todo cabe destacar que la solución exacta y la obtenida mediante el método numérico son prácticamente idénticas. Además en el gráfico se observa un brusco descenso de la temperatura durante las primeras horas del día, para luego estabilizarse cuando ya han pasado aproximadamente 10 horas, es decir el edificio trata de alcanzar el equilibrio térmico entre la temperatura exterior e interior perdiendo calor durante la noche.

===EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO===

En esta segunda situación vamos a analizar la variación de la temperatura en un día hábil, esto quiere decir que a diferencia del aparado anterior en el edificio se esta desarrollando una actividad que genera un calentamiento como por ejemplo las luces, máquinas... Dicho calentamiento está definido mediante la variable H(t). Al suponer estar en una estación del año intermedia no se precisa calefacción ni aire acondicionado por lo tanto, U(t)=0.Por otra parte la temperatura exterior M(t) variará de forma senoidal en un periodo de 24 horas con un mínimo en t=0h y un máximo en t=12h. Con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math>(1)
siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Hay que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Se trata de una ecuación lineal de primer orden en T. La solución será del tipo:
<math>T(t)=T_{hom}(t)+T_{par}(t)</math>
La solución homogénea es: <math>T_{hom}=ce^{-kt}</math>
Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

DEMOSTRACIÓN DE QUE <math> B_0</math> ES APROXIMADAMENTE IGUAL A <math> M_0</math>

<math>TM(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (Bo-B*F(t)+c*e^{-k*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} Bo\, dt}{24}\simeq Bo</math>

donde <math>\int_{0}^{24} F(t)\, dt=0;:\int_{0}^{24} c*e^{-k*t}\, dt\simeq 0</math>.

Por último vamos a demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

Ahora con la ayuda de MATLAB,mediante el método de Euler y Runge-Kutta 4 resolvemos el P.V.I, que se nos presenta para los datos:
<math>H_0=3, M_0=7, K=1/3, B=5, T_0=13</math>

ANÁLISIS DEL GRÁFICO:

En el gráfico se observa que la temperatura media en un día es aproximadamente 16ºC ya que anteriormente hemos demostrado que Bo=Tm. Otro aspecto importante es el retraso de 3 horas de la temperatura interior respecto a la temperatura exterior, que da lugar a periodos en los que la temperatura esta disminuyendo dentro del edificio aumentando la de fuera.

=== EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO===
En esta situación vamos a añadir una variable más, aparte de la temperatura exterior y el calor generado por la actividad en el edificio, se trata de un termostato sencillo que regula la temperatura del interior del edificio en función de la temperatura deseada, designada por <math>T_D</math>. El funcionamiento del termostato es el siguiente: el sistema mide la temperatura real en el interior del edificio y aporta frío o calor dependiendo de la estación, si la temperatura real y la deseada no coinciden, en caso de coincidir el termostato permanece apagado.

El calor o el frío suministrado viene dado por la función:

<math>U(t)=K_u[T_D-T(t)]</math>

Del enunciado sabemos que la solución analítica del P.V.I es:

<math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>

Donde:
\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \, \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
Para demostrar que lo anterior es cierto, resolvemos el siguiente P.V.I :

<math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>

Como se puede observar, se trata de una ecuación de primer orden cuya solución será del tipo:

<math>T_G=T_H+T_P</math>

* Solución de la ecuación homogénea:
<math>T'+KT + KuT = 0</math>
Aplicando el método de variables separadas tenemos que:

<math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math>

y así se llega a la conclusión de que <math>K1= k+K_u</math>

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-12T13:24:12Z

Luisntp: /* EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO */

{{Beta}}
{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))
Para formular el modelo hemos utilizado un análisis compartimental ya que consideramos el edificio como una sola habitación en el que la temperatura está definida como T(t)

==PROBLEMA DE CAUCHY==
La ley de enfriamiento de Newton establece que:

''"Cuando la diferencia entre un cuerpo y su medio externo no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo" ''

Teniendo esto en cuenta, esta ley establece que hay una razón de cambio de temperatura que es proporcional a la temperatura interior y exterior del edificio designadas en nuestro caso como T(t) y M(t) respectivamente. Dicha razón queda determinada según el P.V.I siguiente:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0 \\
T(to)=T_0
\end{matrix}
\right . </math>

k: es una constante real que depende del número de ventanas, aislamiento del edificio..

==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO==
===EDIFICIO "CERRADO"===
A la hora de analizar la temperatura del edificio vamos a ir suponiendo distintas situaciones,en está primera situación vamos a tratar de saber cuanto tiempo tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio cuando esta cerrado, esto quiere decir que en el interior del edificio no hay actividad que afecte al calentamiento o enfriamiento del mismo ni tampoco hay calefacción ni aire acondicionado, por tanto las variables U(t) y H(t) son iguales a cero; por sólo vamos a tener en cuenta la temperatura exterior M(t).

Suponemos que la temperatura en el interior del edificio y a media noche es 14ºC, y la temperatura exterior es constante e igual 8ºC, (M(t)=8ºC), por otra parte, la constante de tiempo del edificio está definida como t'= <math>\dfrac{1}{k} </math>, nosotros suponemos que t'=3, por lo tanto la constante k=<math>\dfrac{1}{3} </math>.

Con las hipótesis expuestas en el párrafo anterior, obtenemos el siguiente P.V.I:

<math> \left \{
\begin{matrix}
T'=\dfrac{1}{3}(8-T), t>0 \\
T(to)=14
\end{matrix}
\right . </math>

Utilizamos el método de Euler implícito para el PVI anterior, con una longitud de paso h=0,001 y compararemos este resultado con el resultado de la ecuación exacta obtenida analíticamente.
Implementado el código que a continuación se muestra en Matlab, se ha llegado al gráfico que responde a nuestra cuestión inicial.

{{matlab|codigo=
%Variacion de la temperatura del edificio cerrado con Euler implícito
t0 = 0;
tn = 24;
T0 = 14;
h = 0.01;
N =(tn-t0)/h;
t = linspace(0,24,N+1);
%solución exacta
Te = (14-8).*exp(-1/3*t)+8;

T = zeros(size(t));
T(1) = T0;
for i = 1:N
T(i+1) = 1/(1+h/3)*(T(i)+h*(8/3));
end
[T1,t1,Te1];
%Gráfica
hold on
ylabel('Temperatura'); xlabel('Tiempo(h)');
plot(t1,Te1,'g');
plot(t1,T1, 'b',);
legend('Solucion exacta','Euler implicito',)
hold off

}}

Ante todo cabe destacar que la solución exacta y la obtenida mediante el método numérico son prácticamente idénticas. Además en el gráfico se observa un brusco descenso de la temperatura durante las primeras horas del día, para luego estabilizarse cuando ya han pasado aproximadamente 10 horas, es decir el edificio trata de alcanzar el equilibrio térmico entre la temperatura exterior e interior perdiendo calor durante la noche.

===EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO===

En esta segunda situación vamos a analizar la variación de la temperatura en un día hábil, esto quiere decir que a diferencia del aparado anterior en el edificio se esta desarrollando una actividad que genera un calentamiento como por ejemplo las luces, máquinas... Dicho calentamiento está definido mediante la variable H(t). Al suponer estar en una estación del año intermedia no se precisa calefacción ni aire acondicionado por lo tanto, U(t)=0.Por otra parte la temperatura exterior M(t) variará de forma senoidal en un periodo de 24 horas con un mínimo en t=0h y un máximo en t=12h. Con Mo y B constantes >0 y <math>\ ω=\frac{π}{12}\ </math> radianes/hora y un <math>\ T(0)=To </math>.
Para demostrar que: <math> T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} </math>(1)
siendo \[\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right.\]
Hay que resolver el problema de valor inicial: \[\left\{\begin{matrix}\ T'=k[Mo-Bcos(ωt)-T]+Ho, \\ T(0)=To & \end{matrix}\right.\]
Se trata de una ecuación lineal de primer orden en T. La solución será del tipo:
<math>T(t)=T_{hom}(t)+T_{par}(t)</math>
La solución homogénea es: <math>T_{hom}=ce^{-kt}</math>
Para resolver la solución particular aplicamos el principio de la superposición y obtenemos dos soluciones particulares una para <math> y_{1}(t)=kMo+Ho </math> y otra para <math> y_{2}(t)=-kBcos(ωt) </math>
Tanteamos una solucion <math> T_{p1}=Α \ y \ T'_{p1}=0 </math> y resolviendo nos da <math> Α=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math> y <math> T_{p1}=Mo+\frac{Ho}{k}\ </math>
Y seguidamente para la segunda solucion particular tanteamos <math> T_{p2}=fcos(ωt)+gsin(ωt) </math> que metiendola en la ecuación <math> T'_{p2}+kT_{p2}=-kBcos(ωt)</math> y resolviendo por Cramer obtenemos <math> f=\frac{ωkB}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> <math> g=\frac{{k}^2B}{-{ω}^2-{k}^2}\ </math> y por tanto <math> T_{p2}=\frac{-B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)-\frac{\frac{ω}{k}B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)</math>

La solución <math> T(t)=T_{h}+T_{p1}+T_{p2} </math> nos queda <math> T(t)=Mo+\frac{Ho}{k}\ -B[\frac{1}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}cos(ωt)+\frac{\frac{ω}{k}}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}sin(ωt)] +Ce^{-kt} </math> e imponiendo la condición inicial <math> T(0)=To </math> se obtiene un <math> C=To -Bo+\frac{B}{1+{(\frac{ω}{k})}^2}\ </math> exactamente como dice el enunciado.

DEMOSTRACIÓN DE QUE <math> B_0</math> ES APROXIMADAMENTE IGUAL A <math> M_0</math>

<math>TM(t)=\frac{\int_{0}^{24} T(t)\, dt}{24}=\frac{\int_{0}^{24} (Bo-B*F(t)+c*e^{-k*t})\, dt}{24}\simeq\frac{\int_{0}^{24} Bo\, dt}{24}\simeq Bo</math>

donde <math>\int_{0}^{24} F(t)\, dt=0;:\int_{0}^{24} c*e^{-k*t}\, dt\simeq 0</math>.

Por último vamos a demostrar que la variación senoidal del edificio tiene un retraso de '''α''' horas respecto a la variación exterior con un <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2} cos(ωt-α), t>0 </math> y que <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

De modo que nos queda <math> F(t) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}(cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt)) = (1+\frac{ω^2}{k^2})^{-1/2}cos(ωt-α) </math> → <math> cos(ωt) + \frac{ω}{k}\sin(ωt) = cos(ωt)cos(α) + sin(ωt)sin(α) </math>

\[\left\{\begin{matrix}\ cos(ωt)=cos(ωt)cos(α) & \frac{w}{k}\sin(ωt)=sin(ωt)sin(α) & \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix}\ 1=cos(α) & \frac{w}{k}=sin(α) & \end{matrix}\right.\]

Y por lo tanto <math> tan(α)=\frac{ω}{k}\ </math>

Ahora con la ayuda de MATLAB,mediante el método de Euler y Runge-Kutta 4 resolvemos el P.V.I, que se nos presenta para los datos:
<math>H_0=3, M_0=7, K=1/3, B=5, T_0=13</math>

ANÁLISIS DEL GRÁFICO:

En el gráfico se observa que la temperatura media en un día es aproximadamente 16ºC ya que anteriormente hemos demostrado que Bo=Tm. Otro aspecto importante es el retraso de 3 horas de la temperatura interior respecto a la temperatura exterior, que da lugar a periodos en los que la temperatura esta disminuyendo dentro del edificio aumentando la de fuera.

==== EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DE VERANO O INVIERNO====
En esta situación vamos a añadir una variable más, aparte de la temperatura exterior y el calor generado por la actividad en el edificio, se trata de un termostato sencillo que regula la temperatura del interior del edificio en función de la temperatura deseada, designada por <math>T_D</math>. El funcionamiento del termostato es el siguiente: el sistema mide la temperatura real en el interior del edificio y aporta frío o calor dependiendo de la estación, si la temperatura real y la deseada no coinciden, en caso de coincidir el termostato permanece apagado.

El calor o el frío suministrado viene dado por la función:

<math>U(t)=K_u[T_D-T(t)]</math>

Del enunciado sabemos que la solución analítica del P.V.I es:

<math> T(t) = B2-B1F1(t)+Ce^{-k1t} </math>

Donde:
\[\left\{\begin{matrix}\ K1 = k+Ku\ , & \\ B2 = \frac{KuT_{D}+kMo+Ho}{K1}\ \, \\ B1 = \frac{kB}{K1}\ \, \\ F1(t)= \frac{\cos(ωt)+\frac{ω}{k1}\sin(ωt)}{1+\frac{ω^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - B2 + F1(0) \ & \end{matrix}\right.\]
Para demostrar que lo anterior es cierto, resolvemos el siguiente P.V.I :

<math> T' = k[(Mo-Bcos(ωt)]-T]+Ho+Ku[T_{D}-T] </math>

Como se puede observar, se trata de una ecuación de primer orden cuya solución será del tipo:

<math>T_G=T_H+T_P</math>

* Solución de la ecuación homogénea:
<math>T'+KT + KuT = 0</math>
Aplicando el método de variables separadas tenemos que:

<math> T = Ce^{-(k+Ku)} </math>

y así se llega a la conclusión de que <math>K1= k+K_u</math>

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T16:17:18Z

Luisntp: /* EDIFICIO "CERRADO" */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T16:15:30Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T16:09:46Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA EN EL INTERIOR DEL EDIFICIO */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T16:06:49Z

Luisntp: /* EDIFICIO "CERRADO" */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T15:47:11Z

Luisntp: q¡

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T15:40:39Z

Luisntp: /* EDIFICIO EN UN DÍA HÁBIL DURANTE LA PRIMAVERA U OTOÑO */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T14:46:01Z

Luisntp: /* EDIFICIO "CERRADO" */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T14:22:46Z

Luisntp: /* EDIFICIO "CERRADO" */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T14:21:41Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA INTERIOR */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T14:05:37Z

Luisntp: /* PROBLEMA DE CAUCHY */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T14:04:28Z

Luisntp: /* PROBLEMA DE CAUCHY */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-11T13:53:09Z

Luisntp: /* INTRODUCCIÓN */

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-05T15:33:04Z

Luisntp:

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-05T15:30:42Z

Luisntp:

{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 22C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))

==PROBLEMA DE CAUCHY==
==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA INTERIOR==

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-05T15:24:10Z

Luisntp:

{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 6C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Antonio Diaz Margarit, Pablo Rodríguez Sandoval, Marta Serrano Grande, David Sánchez Carretero, Ricardo García Dengra}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==INTRODUCCIÓN==
El trabajo que a continuación desarrollaremos, se basa en la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio a lo largo de 24 horas en función de:
:* Temperatura exterior. (M(t))
:* Calor que se genera dentro del edificio. (H(t))
:* Enfriamiento y calentamiento producido por el sistema de aire acondicionado y calefacción respectivamente. (U(t))

==PROBLEMA DE CAUCHY==
==ANÁLISIS DE LA TEMPERATURA INTERIOR==

Modelo Térmico. (grupo 6C)

2015-03-05T15:07:47Z

Luisntp: Página creada con «{{ TrabajoED | Modelo térmico. Grupo 6C | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 |Antonio Diaz Margarit, P...»

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad

2014-12-04T19:15:24Z

Luisntp: Luisntp movió la página Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (11C) a Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (11C)

2014-12-04T19:15:24Z

Luisntp: Luisntp movió la página Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (11C) a Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad

#REDIRECCIÓN [[Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad

2014-12-04T19:14:05Z

Luisntp: Página blanqueada

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T19:13:03Z

Luisntp: /* VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA */

{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen ,la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_2(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2+\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, por lo tanto los desplazamientos que se generan en la placa implican torsiones, rotaciones y tensiones tangenciales, . Los puntos que experimentan un mayor rotacional son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo
h=0.1
u=-2:h:2;
v=.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v); % Mallado
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
hold on;
rot = .2*sqrt(U.^2+V.^2);
surf(X, Y, rot)
axis([0,2.5,0,2.5]);
}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T19:11:50Z

Luisntp:

{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_2(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2+\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, por lo tanto los desplazamientos que se generan en la placa implican torsiones, rotaciones y tensiones tangenciales, . Los puntos que experimentan un mayor rotacional son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo
h=0.1
u=-2:h:2;
v=.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v); % Mallado
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
hold on;
rot = .2*sqrt(U.^2+V.^2);
surf(X, Y, rot)
axis([0,2.5,0,2.5]);
}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T19:11:17Z

Luisntp: /* ROTACIONAL DEL CAMPO \vec u */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_2(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2+\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, por lo tanto los desplazamientos que se generan en la placa implican torsiones, rotaciones y tensiones tangenciales, . Los puntos que experimentan un mayor rotacional son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo
h=0.1
u=-2:h:2;
v=.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v); % Mallado
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
hold on;
rot = .2*sqrt(U.^2+V.^2);
surf(X, Y, rot)
axis([0,2.5,0,2.5]);
}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T19:10:07Z

Luisntp: /* ROTACIONAL DEL CAMPO \vec u */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_2(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2+\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, por lo tanto los desplazamientos que se generan en la placa implican torsiones, rotaciones y tensiones tangenciales, . Los puntos que experimentan un mayor rotacional son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo
h=0.1
u=-2:h:2;
v=.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v); % Mallado
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
hold on;
rot = .2*sqrt(U.^2+V.^2);
surf(X, Y, rot)
axis([0,2.5,0,2.5]);
}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T19:06:03Z

Luisntp: /* ROTACIONAL DEL CAMPO \vec u */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_2(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2+\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero. Los puntos que experimentan un mayor rotacional son
aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo
h=0.1
u=-2:h:2;
v=.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v); % Mallado
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
hold on;
rot = .2*sqrt(U.^2+V.^2);
surf(X, Y, rot)
axis([0,2.5,0,2.5]);
}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T18:59:34Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_2(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2+\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero. Los puntos que experimentan un mayor rotacional son
aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T18:49:20Z

Luisntp: /* ROTACIONAL DEL CAMPO \vec u */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_2(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero. Los puntos que experimentan un mayor rotacional son
aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T18:47:41Z

Luisntp: /* ROTACIONAL DEL CAMPO \vec u */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,y) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero. Los puntos que experimentan un mayor rotacional son
aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T18:46:40Z

Luisntp: /* ROTACIONAL DEL CAMPO \vec u */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero. Los puntos que experimentan un mayor rotacional son
aquellos que están más alejados del origen de coordenadas.
{{matlab|codigo=
% Rotacional con un nuevo u
clf;axis([0,2.5,0,2.5]);
u=-2:.1:2; v=.5:.1:3; % u y v definidas entre [-2,2]x[0.5,3]
[u1,v1]=meshgrid(u,v); % Mallado
x1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)+u1); y1=sqrt(sqrt(u1.^2+v1.^2)-u1);
hold on;
rot = .2*sqrt(u1.^2+v1.^2);
surf(x1, y1, rot)}}
[[Archivo:Rotanuevo.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional]]

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T18:39:45Z

Luisntp: /* ROTACIONAL DEL CAMPO \vec u */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>, es decir, es un campo IRROTACIONAL. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T18:34:05Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
:<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:51:20Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:43:44Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-xy^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:43:18Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-x*y^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}
[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Desplazamiento]]

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:41:55Z

Luisntp: /* ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-x*y^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:39:47Z

Luisntp: /* CAMPO VECTORIAL DE DESPLAZAMIENTOS */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==ANÁLISIS DE LOS EFECTOS QUE PROVOCA UN NUEVO CAMPO DE DESPLAZAMIENTO SOBRE LA PLACA==
En esta sección, vamos a analizar el comportamiento que muestra la placa cuando se le aplica un nuevo campo vectorial <math> \vec u </math>, definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-x*y^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.

{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTO NUEVO.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]
Como se puede observar en el gráfico, el campo lleva la dirección del vector <math>g_u</math> a todos los puntos.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamiento ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Archivo:Rotanuevo.jpg

2014-12-04T16:38:37Z

Luisntp:

Archivo:CAMPO DESPLAZAMIENTOS NUEVO.jpg

2014-12-04T16:33:10Z

Luisntp:

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:17:11Z

Luisntp: /* CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==CAMPO VECTORIAL DE DESPLAZAMIENTOS==
En este apartado, se pide realizar el mismo trabajo realizado anteriormente para el campo <math> \vec u </math> pero para un nuevo campo definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-x*y^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamientos ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, ya que los desplazamientos sobre la placa experimentaran un cambio de dirección, los cuales producirán en el sólido una rotación.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:16:40Z

Luisntp: /* CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==CAMPO VECTORIAL DE DESPLAZAMIENTOS==
En este apartado, se pide realizar el mismo trabajo realizado anteriormente para el campo <math> \vec u </math> pero para un nuevo campo definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-x*y^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.
[[Archivo:Desplazamientos22.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamientos]]
Donde podemos ver a la izquierda el sólido sin deformar, y a la derecha el sólido deformado siguiendo el vector de desplazamientos.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamientos ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, ya que los desplazamientos sobre la placa experimentaran un cambio de dirección, los cuales producirán en el sólido una rotación.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:09:40Z

Luisntp: /* CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==CAMPO VECTORIAL DE DESPLAZAMIENTOS==
En este apartado, se pide realizar el mismo trabajo realizado anteriormente para el campo <math> \vec u </math> pero para un nuevo campo definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-x*y^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamientos ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, ya que los desplazamientos sobre la placa experimentaran un cambio de dirección, los cuales producirán en el sólido una rotación.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>

Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento (GRUPO 11C)

2014-12-04T16:08:16Z

Luisntp: /* CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento GRUPO 11C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Marta Serrano Grande, Alejandro Sistac Ara, Carlos Mateo Sánchez Gómez, Luis Navarro Torres-Puchol, Rodrigo Moldes Bodelón }}
==INTRODUCCIÓN==
Este artículo tiene por objeto analizar el comportamiento físico de una placa plana (dimensión 2) cuando se le somete a la acción de dos campos, uno escalar, la temperatura y otro vectorial, el desplazamiento.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La placa sobre la que se ha realizado el trabajo, es una placa plana (dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las hipérbolas <math>P1:xy-1/2=0</math> y <math>P2=xy-3=0</math> tal y como se muestra en la figura 1. Para su representación se ha elegido el sistema de coordenadas hiperbólicas ya que son las que mejor se adaptan a la geometría mencionada, estas están definidas de la siguiente manera:
:<math>x= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
con u y v definidas en (u,v)Є[-2,2]×[0.5,3].
Los ejes x e y se han definido en los intervalos [0,2.5] y [0,2.5] y se ha tomado como paso de muestreo h=1/10. La representación de la superficie se ha obtenido implementando el código en MATLAB que se muestra a continuación:
{{matlab|codigo=
%mallado de los puntos interiores del sólido
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
figure(1)
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado
axis([0,2.5,0,2.5]) % Región del dibujo
view(2)
}}
[[Archivo:Malladohip.jpeg|300px|miniaturadeimagen|centro|Figura1:Mallado de la superficie.]]
[[Categoría:TC14/15]]

==VECTORES DE LA BASE NATURAL==
La transformación
:<math>x=x(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u }</math>
:<math>y=y(u,v)= \sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }</math>
:<math>z=z(u,v)=w</math> define un sistema de coordenadas curvilineas, conocidas como coordenadas hipérbólicas. La base natural asociada a este sistema de coordenadas está formado por los vectores <math>{\vec g_u,\vec g_v ,\vec g_w}</math>, siendo:
:<math>\vec g_u=\frac{ \partial \vec r }{ \partial u }</math>
:<math>\vec g_v=\frac{ \partial \vec r }{ \partial v }</math>
:<math>\vec g_w=\frac{ \partial \vec r }{ \partial w }</math>
y <math>\vec r</math> el vector de posición de un punto genérico dado en coordenadas hiperbólicas: <math>\vec r=\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }+u } \vec i+\sqrt{\ \sqrt{u^2+v^2 }-u }\vec j +w\vec k</math>

Procedemos a la representación de los vectores de la base natural utilizando el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}
[[Archivo:Vectoresbien.jpg|350px|centro|Vectores base natural]]

En el gráfico se observa que <math>\vec g_u , \vec g_v </math> son ortogonales, tienen el mismo módulo, y disminuye conforme los puntos se alejan del origen de coordenadas. Por otra parte se observa que los vectores <math>\vec g_u , \vec g_v</math> son tangentes a la superficie.

==LÍNEAS DE COORDENADAS==
Las líneas coordenadas son aquellas líneas que se obtienen al variar una componente y fijar las restantes. En el gráfico que se muestra a continuación están representadas las líneas de nivel asociadas al sistema de coordenadas hipérbolico. La representación se ha realizado mediante el programa informático MATLAB.
{{matlab|codigo=
u=-3:0.1:10;
v=-3:0.1:10;
for t=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)+u); %Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+t).^2)-u); %Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)+1+t); %Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+t).^2+v.^2)-(1+t)); %Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'g')
plot(z,w,'b')
plot(sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)+1+t),sqrt(sqrt((1+t).^2+(1+t).^2)-(1+t)),'*')
hold off
end
}}
[[Archivo:Lineascoord.jpg|350px|centro|Lineas coordenadas]]

Tal y como se aprecia en el gráfica las líneas de coordenadas son:
* Si <math>u=t , v=v_0</math>, es decir, fijamos el valor de la variable v y dejamos libre u, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes de coordenadas.
:<math>xy=v_0</math>
* Si <math>u=u_0 , v=t</math>, es decir, fijamos el valor de la variable u y dejamos libre v, las líneas de coordenadas son hipérbolas equiláteras cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas, salvo para u_0=0 que es la recta y=x.
:<math>x^2-y^2=2u_0</math>

==CAMPO DE TEMPERATURAS DE LA PLACA==

El campo de temperaturas, es un campo escalar, que representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso el campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math> con t=0, es decir, el campo de temperaturas no depende del tiempo, es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (x,y).

===DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA===

El campo de temperaturas está definido como <math>T(x,y)=e^{-(x+y)^2}</math>, como se ha mencionado anteriormente depende únicamente de las componentes espaciales (x,y), de la forma en qué está definido el campo se deduce que la temperatura aumenta cuando (x+y) disminuye, por lo tanto el punto de máxima temperatura (foco de calor), será el más próximo al origen de coordenadas. Además al tratarse de una función exponencial el conjunto de curvas de nivel variará de una manera geométrica estando más proximas entre sí cuando la temperatura aumente y más alejadas cuando la temperatura disminuya, para dar veracidad a estas hipótesis se ha representado el campo de temperaturas y las curvas de nivel con el programa informático MATLAB, donde se puede apreciar visualmente lo anteriormente expuesto.
{{matlab|codigo=
%distribución de la temperatura
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=exp(-(xx+yy).^2); %campo de temperaturas
surf(xx,yy,T) %representación de la temperatura
axis([0,2.5,0,2.5]) %valores máximos y mínimos de los ejes x e y.
view(2)
%curvas de nivel
contour(X,Y,T,50,'b')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Temphip.JPG|200px|miniaturadeimagen|300px|miniaturadeimagen|centro|Distribución
de temperatura.]] [[Archivo:CURVAS D NIVEL .jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel.]]

'''CONCLUSIÓN''': las hipótesis mencionadas anteriormente son ciertas, ya que la temperatura aumenta conforme nos acercamos al origen de coordenadas, es decir, cuando el valor (x+y) disminuye, también se observa que las curvas de nivel están más próximas entre sí según se aproximan a los puntos de máxima temperatura.

===VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:
:<math>\nabla T=-2e^{-(x+y)^2}\vec i +-2e^{-(x+y)^2}\vec j </math>
Como se observa, el gradiente es un campo vectorial que procedemos a representar implementando el siguiente código MATLAB y una vez trataremos de analizar la variación de la temperatura, facilitándo la imagen la comprensión del texto.
{{matlab|codigo=
%gradiente y curvas de nivel
h=0.1 % paso de muestreo
u=-2:h:2; % Intervalo de u
v=0.5:h:3; % Intervalo de v
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de u y v
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu); % Parametrización
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
T=T=exp(-(xx+yy).^2)
Tx=-2.*exp(-(xx+yy)).^2;
Ty=-2.*exp(-(xx+yy)).^2; % definición del gradiente
contour(xx,yy,T,25) %curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,Tx,Ty) %representación campo vectorial
hold off
}}
[[Archivo:Figura4.jpg|450px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente y Curvas de Nivel]]
* '''''ANÁLISIS DEL GRÁFICO''''':
El gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto, en el gráfico se puede observar que el módulo del gradiente aumenta cuando nos aproximamos al origen de coordenadas por lo tanto la temperatura en torno a ese punto variará más rápidamente. Por otra parte se observa que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel son el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.

== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una deformación que produce sobre la placa un desplazamiento definido por el vector:
:<math>\vec u(u,v)=\frac{v-1/2}{5}\sqrt{u^2+v^2}\vec g_v</math>

Si aplicamos este vector a cada punto obtendremos el desplazamiento total respecto de la placa en repaso. Tal y como está definido el vector desplazamiento, sabemos de antemano que el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_v</math>, para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_v</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(xy^2-\frac{1}{2}y)\vec i + (x^2y-\frac{1}{2}x)\vec j]</math>
A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y')
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

[[Archivo:Campo desplazamiento.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]]

El campo <math>\vec u </math> lleva en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> . En la línea <math>v=1/2</math> el campo es nulo. Sobre una línea <math>v=cte</math> ,<math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|u|</math> y sobre una línea <math>u=cte</math>, <math>|\vec u|</math> crece al crecer <math>|v|</math>.
En los puntos (-u,v) y (u,v) el módulo es el mismo, llevcando en cada punto la dirección del <math>\vec g_v </math> del punto.

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
La deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

{{matlab|codigo=
%solido antes y despues del desplazamiento
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis image
%con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);
subplot(1,2,2)
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);
view(2)
axis image
}}

[[Archivo:Solido desplazado.jpg|350px|miniaturadeimagen|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

Se puede observar que la deformación en nuesta placa ha provocado alargamientos que generan tracciones en todos los puntos de la placa obteniéndose los valores mínimos en los extremos más próximos al origen de coordenadas y por el contrario los máximos valores los encontramos en los extremos más alejados del origen de coordenadas.

===VARIACIÓN DE VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Para calcular el cambio de volumen local de la placa debido al desplazamiento, utilizaremos el operador divergencia pues es una medida de lo anterior. En nuestro caso la divergencia es,
:<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{1}{10}(x^2+y^2)</math>
Está definida en coordenadas cartesianas, ya que en el aparado 6.1 definimos el campo vectorial de desplazamientos en coordenadas cartesianas.
{{matlab|codigo=
u=-2:0.1:2;
v=0.5:0.1:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
subplot(1,2,1)
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);
surf(X,Y,fy)
axis([0,2.5,0,2.5])
view(2)
}}

[[Archivo:Marta.di.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia]]

Tal y como se observa en el gráfico los puntos de con mayor divergencia son aquellos que están más alejados del origen de coordenadas, por tanto en esos puntos la zona experimentará mayores tracciones y mayor variación de volumen.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. En nuestro caso <math>
\nabla\times \vec u=0</math>. Esto se interpreta como que los desplazamientos que se producen sobre la placa no van ha experimentar un cambio de dirección, es decir, no va haber rotación. Por tanto los desplazamientos que se producen sobre la placa, generan una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.
:<math>
\nabla\times \vec u=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec w \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1(x,u) & u_1(x,y) & 0
\end{matrix}\right| = (\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y})\vec k=0
</math>

En este caso concreto, el campo no produce ninguna rotación en el sólido, de forma que no existe una variación del rotacional apreciable en la placa ya que el valor de éste es nulo en todos los puntos del sólido <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|=0</math>

==CAMPO VECTORIAL DE DESPLAZAMIENTOS==
En este apartado, se pide realizar el mismo trabajo realizado anteriormente para el campo <math> \vec u </math> pero para un nuevo campo definido de la siguiente forma: 
<math> \vec u(u,v) =\frac{v-1/2}{5} \sqrt{u^2+v^2} \vec g_u </math> 

En este caso el campo vectorial <math>\vec u</math> posee la dirección del vector <math>\vec g_u</math>, y por ello para representar el campo vectorial desplazamiento, se ha sustituido <math>\vec g_u</math> por sus componentes en coordenadas cartesianas, resultando el siguiente campo vectorial:

:<math>\vec u=\frac{1}{10}[(x^2y^2-\frac{1}{2}x)\vec i + (-x*y^2-\frac{1}{2}y)\vec j]</math>

A continuación se muestra una representación del campo de desplazamiento, obtenida implementado el siguiente código MATLAB.
{{matlab|codigo=
%campo de desplazamiento
h=0.1;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[U,V]=meshgrid(u,v);
m=inline('0.1.*(x.^2*y.^2-0.5.*x)','x','y')
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2-0.5.*x)','y','y')
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);
M=m(X,Y);
N=n(X,Y);
quiver(X,Y,M,N)
axis([0,2.5,0,2.5])
}}

===CONSECUENCIAS DE LA DEFORMACIÓN===
Como en el caso anterior la deformación produce sobre la placa un desplazamiento, que se ha definido en el apartado anterior. A continuación se muestra una imagen donde se puede observar los efectos que ha provocado el desplazamiento respecto de la placa en reposo.

[[Archivo:Desplazamientos22|500px|miniaturadeimagen|centro|Placa sin y con desplazamiento]]

===DIVERGENCIA DEL CAMPO <math> \vec u </math>===

Hallamos la divergencia de <math> \vec u </math>, que será: :<math>\nabla \vec u = \frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}</math>

La cual da nula, lo que significa que no varía el volumen cuando actúa el campo de desplazamientos ya que la divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa.

===ROTACIONAL DEL CAMPO <math> \vec u </math>===
En este caso el rotacional <math>|\bar{\nabla} \times \bar {\vec u}|</math> es distinto de cero, ya que los desplazamientos sobre la placa experimentaran un cambio de dirección, los cuales producirán en el sólido una rotación.

==MASA TOTAL Y CENTRO DE MASAS==
Siendo la densidad de la placa <math> d(x,y)=ye^{-(1/x^2)} </math>, la masa total de la placa estudiada será <math>
M=\iint_\mathbf{D}\;d(x,y)dxdy</math>.
Con el siguiente código MATLAB obtendremos el valor de la masa:

{{matlab|codigo=
h=0.01;
u=-2:h:2;
v=0.5:h:3;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)+uu);
yy=sqrt(sqrt(uu.^2+vv.^2)-uu);
d=yy.*exp(-1./xx.^2).*1./(2.*sqrt(uu.^2+vv.^2));
m=(h.^2).*d
M=sum(sum(m))}}

Lo que nos da un valor de <math> M=1.5105 </math>.

Una vez conocida la masa, es fácil ver que el centro de masas de dicha placa tendrá como coordenadas <math>
X_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{xd(x,y)dxdy}{M}\
</math> e <math>
Y_M=\iint_\mathbf{D}\;\frac{yd(x,y)dxdy}{M}\
</math>.

La obtención de ambos valores sigue el código MATLAB:

{{matlab|codigo=
a=xx.*d;
A=sum(sum(a));
xm=A/(M);
b=yy.*d;
B=sum(sum(b));
ym=B/(M);
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
plot(xm,ym,'*k')
title('Centro de masas')
hold off}}
[[Archivo:Centrodemasas.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|Centro de masas]]
Donde finalmente se obtiene que <math>X_M=1.4671</math> e <math>Y_M=1.3690</math>