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La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T15:21:34Z

Luis.fgonzalez:

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T16:55:13Z

Luis.fgonzalez:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T16:29:37Z

Luis.fgonzalez:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T15:29:26Z

Luis.fgonzalez:

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =1540,2174
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T15:28:45Z

Luis.fgonzalez:

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =1540,2174
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}

[[:Categoría:Teoría de Campos]]
[[:Categoría:TC25/26|2025-26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T15:09:16Z

Luis.fgonzalez:

Discusión:La Clotoide (Grupo 24)
1 Introducción. De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva. Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil. En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva. La expresión matemática de la clotoide es:

γ(t)=(x(t),y(t))=(∫t0cos(s22)ds,∫t0sin(s22)ds),t∈(0,5)

La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide clear; clc; clf; % Definimos los parámetros

L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);
% Definimos los vectores para las coordenadas x y y

x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);
% Definimos las funciones

f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo for i = 2:n

% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva figure; plot(x, y); axis equal; xlabel('eje x'); ylabel('eje y'); title('Curva de la clotoide'); grid on;

3 Velocidad y aceleración. Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad γ˙

y aceleración γ¨
γ′→=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗

γ′′→=−t⋅sin(t22)i⃗ +t⋅cos(t22)j⃗

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide % Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad) dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t) dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración) ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t) ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul) for i = 1:5:n

% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración'); legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best'); hold off; 4 Longitud de la curva.

La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

L(γ′(t))=∫t0|γ′(t)|dt

Como se ha plasmado en el apartado anterior:

γ′→=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗

Cuyo módulo es:

|γ'(t)|=cos2(t22)+sin2(t22)−−−−−−−−−−−−−−−−√=1–√=1

Por tanto la longitud es:

L(γ)=∫50cos2(t22)+sin2(t22)−−−−−−−−−−−−−−−−√dt=∫501dt=5−0=5

5 Vectores tangente y normal. Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

t⃗ (t)=γ′(t)|γ′(t)|=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ 1

n⃗ (t)=γ′(t)×γ′′(t)|γ′(t)×γ′′(t)|×cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ 1=−sin(t22)i⃗ +cos(t22)j⃗

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide % Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t) tx = cos(t.^2/2); ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t) nx = -sin(t.^2/2); ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul) for i = 1:5:n

% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica title('Curva, Vectores tangente y normal'); legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best'); hold off; 6 Curvatura k(t). La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

k(t)=|γ′(t)×γ′′(t)||γ′(t)|3=∣∣(cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ )×(−tsin(t22)i⃗ +tcos(t22)j⃗ )∣∣∣∣cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ ∣∣3=t

La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura % Definimos el parámetro t

t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)

k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura

figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');

7 Circunferencia osculatriz. La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto. Dada esta definición y dado P= γ(2) , es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:

R(t)=1κ(t)

Q(t)=γ(t)+1κ(t)n¯(t)

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

R(2)=12

Q(2)=⎧⎩⎨Qx(2)=∫20cos(s22)ds−(sin(2)2) Qy(2)=∫20sin(s22)ds+(cos(2)2)

Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva %Calculamos las integrales de la curva para t=2 X1=integral(f1,0,2); Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia Qx=X1-(sin(2))/2; Qy=Y1+(cos(2))/2; theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t): R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t): Cx=Qx+R.*cos(theta); Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz: hold on plot(x,y,'r') plot(Cx,Cy,'b') title('Curva y circunferencia osculatriz') axis equal xlabel('Eje x') ylabel('Eje y') hold off 8 Propiedades para la ingeniería. La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

9 Ejemplos en Ingeniería Civil.

Curva circuito Silverstone

Puente Vasco da Gama (Portugal)

Autopista del Sol (México)

Viaducto de Brusio (Suiza)

10 Superficie Reglada. Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

γ(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))=(tcos(t),tsin(t),t),t∈(2π,6π) Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector e¯p , se hace lo siguiente: 1) Se parametriza la curva segun v:

γ(v)=(x1(v),x2(v),x3(v))=(vcos(v),vsin(v),v),v∈(2π,6π)

2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector eρ→

de cilíndricas a cartesianas:

⎛⎝⎜v1v2v3⎞⎠⎟ = ⎛⎝⎜costsint0−sintcost0001⎞⎠⎟

⎛⎝⎜100⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜costsint0⎞⎠⎟

Por lo tanto w⃗ (v)=cosvi¯+sinvj¯

3) Sustituir todos los valores en la formula ϕ(u,v)=γ(v)+u⋅w¯(v)

:
ϕ(u,v)=(vcosv+u⋅cosv)i¯+(vsinv+u⋅sinv)j¯+vk¯¯¯

Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:

Figura 6: Hélicoide cónica clear; clc; clf; %Definimos los parámetros u=(0:0.01:1); v=(2.*pi:0.01:6.*pi); [MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;
%Transformamos las coordenadas en cartesianas x=r.*cos(th); y=r.*sin(th); z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica surf(x,y,z); title('Helicoide cónico'); shading flat;

A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

Torre espiral (Dinamarca)

Helicoide de Caracas (Venezuela)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Discusión:La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T15:08:27Z

Luis.fgonzalez: Página creada con «1 Introducción. De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inve...»

1 Introducción.
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva.
La expresión matemática de la clotoide es:

γ(t)=(x(t),y(t))=(∫t0cos(s22)ds,∫t0sin(s22)ds),t∈(0,5)

La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;

3 Velocidad y aceleración.
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad γ˙
y aceleración γ¨

γ′→=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗

γ′′→=−t⋅sin(t22)i⃗ +t⋅cos(t22)j⃗

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
4 Longitud de la curva.

La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

L(γ′(t))=∫t0|γ′(t)|dt

Como se ha plasmado en el apartado anterior:

γ′→=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗

Cuyo módulo es:

|γ'(t)|=cos2(t22)+sin2(t22)−−−−−−−−−−−−−−−−√=1–√=1

Por tanto la longitud es:

L(γ)=∫50cos2(t22)+sin2(t22)−−−−−−−−−−−−−−−−√dt=∫501dt=5−0=5

5 Vectores tangente y normal.
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

t⃗ (t)=γ′(t)|γ′(t)|=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ 1

n⃗ (t)=γ′(t)×γ′′(t)|γ′(t)×γ′′(t)|×cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ 1=−sin(t22)i⃗ +cos(t22)j⃗

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
6 Curvatura k(t).
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

k(t)=|γ′(t)×γ′′(t)||γ′(t)|3=∣∣(cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ )×(−tsin(t22)i⃗ +tcos(t22)j⃗ )∣∣∣∣cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ ∣∣3=t

La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');

7 Circunferencia osculatriz.
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dada esta definición y dado P= γ(2)
, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:

R(t)=1κ(t)

Q(t)=γ(t)+1κ(t)n¯(t)

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

R(2)=12

Q(2)=⎧⎩⎨Qx(2)=∫20cos(s22)ds−(sin(2)2) Qy(2)=∫20sin(s22)ds+(cos(2)2)

Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
8 Propiedades para la ingeniería.
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

9 Ejemplos en Ingeniería Civil.

Curva circuito Silverstone

Puente Vasco da Gama (Portugal)

Autopista del Sol (México)

Viaducto de Brusio (Suiza)

10 Superficie Reglada.
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

γ(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))=(tcos(t),tsin(t),t),t∈(2π,6π)
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector e¯p
, se hace lo siguiente:
1) Se parametriza la curva segun v:

γ(v)=(x1(v),x2(v),x3(v))=(vcos(v),vsin(v),v),v∈(2π,6π)

2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector eρ→
de cilíndricas a cartesianas:

⎛⎝⎜v1v2v3⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜costsint0−sintcost0001⎞⎠⎟
⎛⎝⎜100⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜costsint0⎞⎠⎟

Por lo tanto w⃗ (v)=cosvi¯+sinvj¯

3) Sustituir todos los valores en la formula ϕ(u,v)=γ(v)+u⋅w¯(v)
:

ϕ(u,v)=(vcosv+u⋅cosv)i¯+(vsinv+u⋅sinv)j¯+vk¯¯¯

Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:

Figura 6: Hélicoide cónica
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;

A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

Torre espiral (Dinamarca)

Helicoide de Caracas (Venezuela)

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T15:05:59Z

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