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La Catenaria (grupo 57)

2025-12-08T13:54:08Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
Aunque la catenaria y la parábola proceden de funciones matemáticas muy distintas, cuando se representan gráficamente dan lugar a curvas sorprendentemente parecidas. Esta similitud visual es tan notable que, durante siglos, se asumió erróneamente que ambas curvas eran la misma. Personajes como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci interpretaron que la forma de los cables o cadenas colgantes seguía una parábola, cuando en realidad se ajusta a una catenaria.

La confusión se mantuvo hasta finales del siglo XVII, cuando el desarrollo del cálculo permitió analizar estas curvas con mayor rigor. Matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens lograron obtener la ecuación exacta de la catenaria y demostraron de forma concluyente que, aunque pueda recordar a una parábola, su naturaleza matemática es diferente.
==Representación en MATLAB==
{{matlab|codigo=
A = 2; % Parámetro de la catenaria
x = linspace(-1, 1, 200); % Intervalo de representación
% Definición de funciones
caten = A * cosh(x / A);
parab = A + (x.^2) / (2*A);
txt1 = 'Catenaria: y=Acosh(x/A)';
txt2='Parabola: y=A+A*(x.^2/2*A)';
figure
h1 = plot(x, caten, 'r-', 'LineWidth', 1.8); % Catenaria
hold on
h2 = plot(x, parab, 'b--', 'LineWidth', 1.8); % Parábola
grid on
titulo = title('Comparación entre catenaria y parábola');
fontsize(titulo, 20, 'points')

lgd = legend(txt1, txt2, 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'north');
fontsize(lgd, 12, 'points')

ejex = xlabel('
𝑥
x', 'Interpreter', 'latex');
fontsize(ejex, 13, 'points')

ejey = ylabel('
𝑦
y', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 0);
fontsize(ejey, 13, 'points')

hold off
}}

===Gráfico===

[[Archivo:Cvp.png]]

En la figura se aprecia la catenaria (representada en rojo) comparada con la parábola (en azul). En el intervalo elegido y para el valor
𝐴=2
A=2, ambas curvas parecen prácticamente coincidir a simple vista.

=Catenoide=
El '''catenoide''' es una superficie de revolución que se obtiene al girar una '''catenaria''' alrededor de un eje. En este caso, la curva generatriz viene dada por:

<center>
<math>
\gamma(t) = (0,\;3\cosh(t/3),\;t), \qquad t\in[-1,1]
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización de la superficie:

<center>
<math>
\begin{cases}
x(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\cos\theta \\
y(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\sin\theta \\
z(t,\theta) = t
\end{cases}
</math>
</center>

con <math>t\in[-1,1]</math> y <math>\theta\in[0,2\pi]</math>.
==Representación en MATLAB==
El siguiente código permite representar la curva generatriz y la superficie del catenoide:

{{matlab|codigo=
% Representación de la curva generatriz del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
c = cosh(t/3);
z = t;
y = 3 .* c;
x = zeros(size(t));

figure
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2)
axis equal
grid minor
title('Curva generatriz del catenoide')

% Parametrización completa del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
theta = linspace(0, 2*pi, 30);

% Mallado
[Mt, Mtheta] = meshgrid(t, theta);

% Coordenadas cilíndricas
Mp = cosh(Mt/3);
MX = Mp .* cos(Mtheta);
MY = Mp .* sin(Mtheta);
MZ = Mt;

% Representación de la superficie del catenoide
figure
surf(MX, MY, MZ)
axis equal
colormap cool
shading flat
grid minor
title('Catenoide')
}}
[[Archivo:G57Catenoide.png]]
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==
Las obras que siguen la forma de una catenaria invertida, generan bóvedas y arcos que distribuyen las cargas de forma eficiente, reduciendo el empuje lateral y permitiendo estructuras esbeltas, como puentes colgantes, muros y cubiertas abovedadas, gracias a su carácter de superficie mínima y alta eficiencia estructural.
Un ejemplo es la Cubierta del Estadio Olímpico de Múnich (1972), de Frei Otto.
Su estructura tensada se basa en superficies mínimas tipo catenoide obtenidas por modelos de películas de jabón, logrando una cubierta extremadamente ligera, estable y eficiente desde el punto de vista estructural.

[[Archivo:Munich-Olimpic-Stadium-Grei-Otto.png]]

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

=Póster=

[[Archivo:POSTER G57.png|miniaturadeimagen|1500px]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-08T13:48:36Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Gráfico */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
Aunque la catenaria y la parábola proceden de funciones matemáticas muy distintas, cuando se representan gráficamente dan lugar a curvas sorprendentemente parecidas. Esta similitud visual es tan notable que, durante siglos, se asumió erróneamente que ambas curvas eran la misma. Personajes como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci interpretaron que la forma de los cables o cadenas colgantes seguía una parábola, cuando en realidad se ajusta a una catenaria.

La confusión se mantuvo hasta finales del siglo XVII, cuando el desarrollo del cálculo permitió analizar estas curvas con mayor rigor. Matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens lograron obtener la ecuación exacta de la catenaria y demostraron de forma concluyente que, aunque pueda recordar a una parábola, su naturaleza matemática es diferente.
==Representación en MATLAB==
{{matlab|codigo=
A = 2; % Parámetro de la catenaria
x = linspace(-1, 1, 200); % Intervalo de representación
% Definición de funciones
caten = A * cosh(x / A);
parab = A + (x.^2) / (2*A);
txt1 = 'Catenaria: y=Acosh(x/A)';
txt2='Parabola: y=A+A*(x.^2/2*A)';
figure
h1 = plot(x, caten, 'r-', 'LineWidth', 1.8); % Catenaria
hold on
h2 = plot(x, parab, 'b--', 'LineWidth', 1.8); % Parábola
grid on
titulo = title('Comparación entre catenaria y parábola');
fontsize(titulo, 20, 'points')

lgd = legend(txt1, txt2, 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'north');
fontsize(lgd, 12, 'points')

ejex = xlabel('
𝑥
x', 'Interpreter', 'latex');
fontsize(ejex, 13, 'points')

ejey = ylabel('
𝑦
y', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 0);
fontsize(ejey, 13, 'points')

hold off
}}

===Gráfico===

[[Archivo:Cvp.png]]

En la figura se aprecia la catenaria (representada en rojo) comparada con la parábola (en azul). En el intervalo elegido y para el valor
𝐴=2
A=2, ambas curvas parecen prácticamente coincidir a simple vista.

=Catenoide=
El '''catenoide''' es una superficie de revolución que se obtiene al girar una '''catenaria''' alrededor de un eje. En este caso, la curva generatriz viene dada por:

<center>
<math>
\gamma(t) = (0,\;3\cosh(t/3),\;t), \qquad t\in[-1,1]
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización de la superficie:

<center>
<math>
\begin{cases}
x(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\cos\theta \\
y(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\sin\theta \\
z(t,\theta) = t
\end{cases}
</math>
</center>

con <math>t\in[-1,1]</math> y <math>\theta\in[0,2\pi]</math>.
==Representación en MATLAB==
El siguiente código permite representar la curva generatriz y la superficie del catenoide:

{{matlab|codigo=
% Representación de la curva generatriz del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
c = cosh(t/3);
z = t;
y = 3 .* c;
x = zeros(size(t));

figure
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2)
axis equal
grid minor
title('Curva generatriz del catenoide')

% Parametrización completa del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
theta = linspace(0, 2*pi, 30);

% Mallado
[Mt, Mtheta] = meshgrid(t, theta);

% Coordenadas cilíndricas
Mp = cosh(Mt/3);
MX = Mp .* cos(Mtheta);
MY = Mp .* sin(Mtheta);
MZ = Mt;

% Representación de la superficie del catenoide
figure
surf(MX, MY, MZ)
axis equal
colormap cool
shading flat
grid minor
title('Catenoide')
}}
[[Archivo:G57Catenoide.png]]
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==
Las obras que siguen la forma de una catenaria invertida, generan bóvedas y arcos que distribuyen las cargas de forma eficiente, reduciendo el empuje lateral y permitiendo estructuras esbeltas, como puentes colgantes, muros y cubiertas abovedadas, gracias a su carácter de superficie mínima y alta eficiencia estructural.
Un ejemplo es la Cubierta del Estadio Olímpico de Múnich (1972), de Frei Otto.
Su estructura tensada se basa en superficies mínimas tipo catenoide obtenidas por modelos de películas de jabón, logrando una cubierta extremadamente ligera, estable y eficiente desde el punto de vista estructural.

[[Archivo:Munich-Olimpic-Stadium-Grei-Otto.png]]

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Archivo:POSTER G57.png|miniaturadeimagen|1500px]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Cvp.png

2025-12-08T13:48:14Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-08T13:46:18Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
Aunque la catenaria y la parábola proceden de funciones matemáticas muy distintas, cuando se representan gráficamente dan lugar a curvas sorprendentemente parecidas. Esta similitud visual es tan notable que, durante siglos, se asumió erróneamente que ambas curvas eran la misma. Personajes como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci interpretaron que la forma de los cables o cadenas colgantes seguía una parábola, cuando en realidad se ajusta a una catenaria.

La confusión se mantuvo hasta finales del siglo XVII, cuando el desarrollo del cálculo permitió analizar estas curvas con mayor rigor. Matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens lograron obtener la ecuación exacta de la catenaria y demostraron de forma concluyente que, aunque pueda recordar a una parábola, su naturaleza matemática es diferente.
==Representación en MATLAB==
{{matlab|codigo=
A = 2; % Parámetro de la catenaria
x = linspace(-1, 1, 200); % Intervalo de representación
% Definición de funciones
caten = A * cosh(x / A);
parab = A + (x.^2) / (2*A);
txt1 = 'Catenaria: y=Acosh(x/A)';
txt2='Parabola: y=A+A*(x.^2/2*A)';
figure
h1 = plot(x, caten, 'r-', 'LineWidth', 1.8); % Catenaria
hold on
h2 = plot(x, parab, 'b--', 'LineWidth', 1.8); % Parábola
grid on
titulo = title('Comparación entre catenaria y parábola');
fontsize(titulo, 20, 'points')

lgd = legend(txt1, txt2, 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'north');
fontsize(lgd, 12, 'points')

ejex = xlabel('
𝑥
x', 'Interpreter', 'latex');
fontsize(ejex, 13, 'points')

ejey = ylabel('
𝑦
y', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 0);
fontsize(ejey, 13, 'points')

hold off
}}

===Gráfico===

[[Archivo:catenariavsparabola.png]]

En la figura se aprecia la catenaria (representada en rojo) comparada con la parábola (en azul). En el intervalo elegido y para el valor
𝐴=2
A=2, ambas curvas parecen prácticamente coincidir a simple vista.

=Catenoide=
El '''catenoide''' es una superficie de revolución que se obtiene al girar una '''catenaria''' alrededor de un eje. En este caso, la curva generatriz viene dada por:

<center>
<math>
\gamma(t) = (0,\;3\cosh(t/3),\;t), \qquad t\in[-1,1]
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización de la superficie:

<center>
<math>
\begin{cases}
x(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\cos\theta \\
y(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\sin\theta \\
z(t,\theta) = t
\end{cases}
</math>
</center>

con <math>t\in[-1,1]</math> y <math>\theta\in[0,2\pi]</math>.
==Representación en MATLAB==
El siguiente código permite representar la curva generatriz y la superficie del catenoide:

{{matlab|codigo=
% Representación de la curva generatriz del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
c = cosh(t/3);
z = t;
y = 3 .* c;
x = zeros(size(t));

figure
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2)
axis equal
grid minor
title('Curva generatriz del catenoide')

% Parametrización completa del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
theta = linspace(0, 2*pi, 30);

% Mallado
[Mt, Mtheta] = meshgrid(t, theta);

% Coordenadas cilíndricas
Mp = cosh(Mt/3);
MX = Mp .* cos(Mtheta);
MY = Mp .* sin(Mtheta);
MZ = Mt;

% Representación de la superficie del catenoide
figure
surf(MX, MY, MZ)
axis equal
colormap cool
shading flat
grid minor
title('Catenoide')
}}
[[Archivo:G57Catenoide.png]]
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==
Las obras que siguen la forma de una catenaria invertida, generan bóvedas y arcos que distribuyen las cargas de forma eficiente, reduciendo el empuje lateral y permitiendo estructuras esbeltas, como puentes colgantes, muros y cubiertas abovedadas, gracias a su carácter de superficie mínima y alta eficiencia estructural.
Un ejemplo es la Cubierta del Estadio Olímpico de Múnich (1972), de Frei Otto.
Su estructura tensada se basa en superficies mínimas tipo catenoide obtenidas por modelos de películas de jabón, logrando una cubierta extremadamente ligera, estable y eficiente desde el punto de vista estructural.

[[Archivo:Munich-Olimpic-Stadium-Grei-Otto.png]]

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Archivo:POSTER G57.png|miniaturadeimagen|1500px]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-08T13:40:32Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Catenoide */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
Aunque la catenaria y la parábola proceden de funciones matemáticas muy distintas, cuando se representan gráficamente dan lugar a curvas sorprendentemente parecidas. Esta similitud visual es tan notable que, durante siglos, se asumió erróneamente que ambas curvas eran la misma. Personajes como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci interpretaron que la forma de los cables o cadenas colgantes seguía una parábola, cuando en realidad se ajusta a una catenaria.

La confusión se mantuvo hasta finales del siglo XVII, cuando el desarrollo del cálculo permitió analizar estas curvas con mayor rigor. Matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens lograron obtener la ecuación exacta de la catenaria y demostraron de forma concluyente que, aunque pueda recordar a una parábola, su naturaleza matemática es diferente.
==Representación en MATLAB==
{{matlab|codigo=
A = 2; % Parámetro de la catenaria
x = linspace(-1, 1, 200); % Intervalo de representación
% Definición de funciones
caten = A * cosh(x / A);
parab = A + (x.^2) / (2*A);
txt1 = 'Catenaria: y=Acosh(x/A)';
txt2='Parabola: y=A+A*(x.^2/2*A)';
figure
h1 = plot(x, caten, 'r-', 'LineWidth', 1.8); % Catenaria
hold on
h2 = plot(x, parab, 'b--', 'LineWidth', 1.8); % Parábola
grid on
titulo = title('Comparación entre catenaria y parábola');
fontsize(titulo, 20, 'points')

lgd = legend(txt1, txt2, 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'north');
fontsize(lgd, 12, 'points')

ejex = xlabel('
𝑥
x', 'Interpreter', 'latex');
fontsize(ejex, 13, 'points')

ejey = ylabel('
𝑦
y', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 0);
fontsize(ejey, 13, 'points')

hold off
}}

===Gráfico===

[[Archivo:catenariavsparabola.png]]

En la figura se aprecia la catenaria (representada en rojo) comparada con la parábola (en azul). En el intervalo elegido y para el valor
𝐴=2
A=2, ambas curvas parecen prácticamente coincidir a simple vista.

=Catenoide=
El '''catenoide''' es una superficie de revolución que se obtiene al girar una '''catenaria''' alrededor de un eje. En este caso, la curva generatriz viene dada por:

<center>
<math>
\gamma(t) = (0,\;3\cosh(t/3),\;t), \qquad t\in[-1,1]
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización de la superficie:

<center>
<math>
\begin{cases}
x(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\cos\theta \\
y(t,\theta) = 3\cosh(t/3)\sin\theta \\
z(t,\theta) = t
\end{cases}
</math>
</center>

con <math>t\in[-1,1]</math> y <math>\theta\in[0,2\pi]</math>.
==Representación en MATLAB==
El siguiente código permite representar la curva generatriz y la superficie del catenoide:

{{matlab|codigo=
% Representación de la curva generatriz del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
c = cosh(t/3);
z = t;
y = 3 .* c;
x = zeros(size(t));

figure
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2)
axis equal
grid minor
title('Curva generatriz del catenoide')

% Parametrización completa del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
theta = linspace(0, 2*pi, 30);

% Mallado
[Mt, Mtheta] = meshgrid(t, theta);

% Coordenadas cilíndricas
Mp = cosh(Mt/3);
MX = Mp .* cos(Mtheta);
MY = Mp .* sin(Mtheta);
MZ = Mt;

% Representación de la superficie del catenoide
figure
surf(MX, MY, MZ)
axis equal
colormap cool
shading flat
grid minor
title('Catenoide')
}}
[[Archivo:G57Catenoide.png]]
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==
Las obras que siguen la forma de una catenaria invertida, generan bóvedas y arcos que distribuyen las cargas de forma eficiente, reduciendo el empuje lateral y permitiendo estructuras esbeltas, como puentes colgantes, muros y cubiertas abovedadas, gracias a su carácter de superficie mínima y alta eficiencia estructural.
Un ejemplo es la Cubierta del Estadio Olímpico de Múnich (1972), de Frei Otto.
Su estructura tensada se basa en superficies mínimas tipo catenoide obtenidas por modelos de películas de jabón, logrando una cubierta extremadamente ligera, estable y eficiente desde el punto de vista estructural.

[[Archivo:Munich-Olimpic-Stadium-Grei-Otto.png]]

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-08T13:37:03Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Ejemplos de la superficie en construcciones civiles */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
Aunque la catenaria y la parábola proceden de funciones matemáticas muy distintas, cuando se representan gráficamente dan lugar a curvas sorprendentemente parecidas. Esta similitud visual es tan notable que, durante siglos, se asumió erróneamente que ambas curvas eran la misma. Personajes como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci interpretaron que la forma de los cables o cadenas colgantes seguía una parábola, cuando en realidad se ajusta a una catenaria.

La confusión se mantuvo hasta finales del siglo XVII, cuando el desarrollo del cálculo permitió analizar estas curvas con mayor rigor. Matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens lograron obtener la ecuación exacta de la catenaria y demostraron de forma concluyente que, aunque pueda recordar a una parábola, su naturaleza matemática es diferente.
==Representación en MATLAB==
{{matlab|codigo=
A = 2; % Parámetro de la catenaria
x = linspace(-1, 1, 200); % Intervalo de representación
% Definición de funciones
caten = A * cosh(x / A);
parab = A + (x.^2) / (2*A);
txt1 = 'Catenaria: y=Acosh(x/A)';
txt2='Parabola: y=A+A*(x.^2/2*A)';
figure
h1 = plot(x, caten, 'r-', 'LineWidth', 1.8); % Catenaria
hold on
h2 = plot(x, parab, 'b--', 'LineWidth', 1.8); % Parábola
grid on
titulo = title('Comparación entre catenaria y parábola');
fontsize(titulo, 20, 'points')

lgd = legend(txt1, txt2, 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'north');
fontsize(lgd, 12, 'points')

ejex = xlabel('
𝑥
x', 'Interpreter', 'latex');
fontsize(ejex, 13, 'points')

ejey = ylabel('
𝑦
y', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 0);
fontsize(ejey, 13, 'points')

hold off
}}

===Gráfico===

[[Archivo:catenariavsparabola.png]]

En la figura se aprecia la catenaria (representada en rojo) comparada con la parábola (en azul). En el intervalo elegido y para el valor
𝐴=2
A=2, ambas curvas parecen prácticamente coincidir a simple vista.

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
El siguiente código permite representar la curva generatriz y la superficie del catenoide:

{{matlab|codigo=
% Representación de la curva generatriz del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
c = cosh(t/3);
z = t;
y = 3 .* c;
x = zeros(size(t));

figure
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2)
axis equal
grid minor
title('Curva generatriz del catenoide')

% Parametrización completa del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
theta = linspace(0, 2*pi, 30);

% Mallado
[Mt, Mtheta] = meshgrid(t, theta);

% Coordenadas cilíndricas
Mp = cosh(Mt/3);
MX = Mp .* cos(Mtheta);
MY = Mp .* sin(Mtheta);
MZ = Mt;

% Representación de la superficie del catenoide
figure
surf(MX, MY, MZ)
axis equal
colormap cool
shading flat
grid minor
title('Catenoide')
}}
[[Archivo:G57Catenoide.png]]
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==
Las obras que siguen la forma de una catenaria invertida, generan bóvedas y arcos que distribuyen las cargas de forma eficiente, reduciendo el empuje lateral y permitiendo estructuras esbeltas, como puentes colgantes, muros y cubiertas abovedadas, gracias a su carácter de superficie mínima y alta eficiencia estructural.
Un ejemplo es la Cubierta del Estadio Olímpico de Múnich (1972), de Frei Otto.
Su estructura tensada se basa en superficies mínimas tipo catenoide obtenidas por modelos de películas de jabón, logrando una cubierta extremadamente ligera, estable y eficiente desde el punto de vista estructural.

[[Archivo:Munich-Olimpic-Stadium-Grei-Otto.png]]

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Munich-Olimpic-Stadium-Grei-Otto.png

2025-12-08T13:35:56Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-08T13:28:17Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Catenoide */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
Aunque la catenaria y la parábola proceden de funciones matemáticas muy distintas, cuando se representan gráficamente dan lugar a curvas sorprendentemente parecidas. Esta similitud visual es tan notable que, durante siglos, se asumió erróneamente que ambas curvas eran la misma. Personajes como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci interpretaron que la forma de los cables o cadenas colgantes seguía una parábola, cuando en realidad se ajusta a una catenaria.

La confusión se mantuvo hasta finales del siglo XVII, cuando el desarrollo del cálculo permitió analizar estas curvas con mayor rigor. Matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens lograron obtener la ecuación exacta de la catenaria y demostraron de forma concluyente que, aunque pueda recordar a una parábola, su naturaleza matemática es diferente.
==Representación en MATLAB==
{{matlab|codigo=
A = 2; % Parámetro de la catenaria
x = linspace(-1, 1, 200); % Intervalo de representación
% Definición de funciones
caten = A * cosh(x / A);
parab = A + (x.^2) / (2*A);
txt1 = 'Catenaria: y=Acosh(x/A)';
txt2='Parabola: y=A+A*(x.^2/2*A)';
figure
h1 = plot(x, caten, 'r-', 'LineWidth', 1.8); % Catenaria
hold on
h2 = plot(x, parab, 'b--', 'LineWidth', 1.8); % Parábola
grid on
titulo = title('Comparación entre catenaria y parábola');
fontsize(titulo, 20, 'points')

lgd = legend(txt1, txt2, 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'north');
fontsize(lgd, 12, 'points')

ejex = xlabel('
𝑥
x', 'Interpreter', 'latex');
fontsize(ejex, 13, 'points')

ejey = ylabel('
𝑦
y', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 0);
fontsize(ejey, 13, 'points')

hold off
}}

===Gráfico===

[[Archivo:catenariavsparabola.png]]

En la figura se aprecia la catenaria (representada en rojo) comparada con la parábola (en azul). En el intervalo elegido y para el valor
𝐴=2
A=2, ambas curvas parecen prácticamente coincidir a simple vista.

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
El siguiente código permite representar la curva generatriz y la superficie del catenoide:

{{matlab|codigo=
% Representación de la curva generatriz del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
c = cosh(t/3);
z = t;
y = 3 .* c;
x = zeros(size(t));

figure
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2)
axis equal
grid minor
title('Curva generatriz del catenoide')

% Parametrización completa del catenoide
t = linspace(-1, 1, 30);
theta = linspace(0, 2*pi, 30);

% Mallado
[Mt, Mtheta] = meshgrid(t, theta);

% Coordenadas cilíndricas
Mp = cosh(Mt/3);
MX = Mp .* cos(Mtheta);
MY = Mp .* sin(Mtheta);
MZ = Mt;

% Representación de la superficie del catenoide
figure
surf(MX, MY, MZ)
axis equal
colormap cool
shading flat
grid minor
title('Catenoide')
}}
[[Archivo:G57Catenoide.png]]
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:G57Catenoide.png

2025-12-08T13:26:01Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

Archivo:POSTER G57.png

2025-12-08T13:01:45Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T18:46:09Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Función de densidad del catenoide */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T16:57:24Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Distribución de la densidad y cálculo de la masa */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\sinh(\tfrac{t}{A})),\quad
dS=A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T16:56:01Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Distribución de la densidad y cálculo de la masa */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\sinh(\tfrac{t}{A})),\quad
dS=A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png

2025-12-06T16:50:37Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T16:43:24Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Distribución de la densidad y cálculo de la masa */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\sinh(\tfrac{t}{A})),\quad
dS=A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T16:30:32Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Función de densidad del catenoide */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==
Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\sinh(\tfrac{t}{A})),\quad
dS=A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T16:26:54Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Función de densidad del catenoide */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;-A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;A\cosh(\tfrac{t}{A})\sinh(\tfrac{t}{A})),\quad
dS=A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(t,\theta)=\frac{t^2}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T16:17:21Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Función de densidad del catenoide */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==

La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la siguiente parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

con <math>t\in(-1,1)</math>, <math>\theta\in(0,2\pi)</math>. En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Masa de la superficie==
Sus derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}
=
\big(
\sinh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
\sinh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
1
\big)
</math>
</center>

 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}
=
\big(
- A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
0
\big)
</math>
</center>

El producto vectorial resulta:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}
=
\left(
- A\cosh(\tfrac{t}{A})\cos\theta,\;
- A\cosh(\tfrac{t}{A})\sin\theta,\;
A\cosh(\tfrac{t}{A})\sinh(\tfrac{t}{A})
\right)
</math>
</center>

y su norma es:
 
<center>
<math>
\left\|
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}
\right\|
=
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)
</math>
</center>

Por tanto, el elemento de área queda:
 
<center>
<math>
dS=A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
</math>
</center>
Ahora, sustituimos la densidad
<center>
<math>
f(t,\theta)=\frac{t^2}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

junto con el área
<center>
<math>
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)\,dt\,d\theta
</math>
</center>

y los intervalos de integración <math>t\in(-1,1)</math>, <math>\theta\in(0,2\pi)</math>, se obtiene la integral de la masa:

 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1}
\frac{t^2}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
\left(3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)
\,dt\,d\theta
</math>
</center>

Extrayendo constantes y simplificando:

 
<center>
<math>
M
=
6\pi
\int_{-1}^{1}
\frac{t^2\,\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
\,dt
</math>
</center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T14:53:01Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Punto y dirección de la máxima variación de temperatura */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T13:34:56Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Campo de vectores en el sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png

2024-12-07T13:34:25Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T13:28:30Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Campo de vectores en el sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Campo de vectores en el sólido==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T13:27:21Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Campo de vectores en el sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Campo de vectores en el sólido==
>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T13:26:06Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Campo de vectores en el sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Campo de vectores en el sólido==
>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:59:02Z

Luis Ignacio Quintana Sierra: /* Campo de vectores en el sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Campo de vectores en el sólido==
>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% T(x,y)
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
ParcialX = 4.*Y.*X.^3-2.*X.^3;
ParcialY = (X.^4-1);
gradiente = sqrt(ParcialX.^2 + ParcialY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PtoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:5:end, 1:5:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas')
ylabel('Eje de ordenadas')
zlabel('Eje de aplicadas')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:58:06Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Campo de vectores en el sólido==
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:56:20Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Campo de vectores en el sólido==
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Masa total de la placa=

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-05T13:00:38Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.1:1;
y1=0:0.1:3;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-2,2,0,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa plana');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.1:1;
y1=0:0.1:3;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-2,2,0,3]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.1;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-05T12:11:40Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10),</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.1:1;
y1=0:0.1:3;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-2,2,0,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa plana');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.1:1;
y1=0:0.1:3;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-2,2,0,3]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.1;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-04T19:43:01Z

Luis Ignacio Quintana Sierra:

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10),</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta grafica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del codigo seria:

*La primera línea del código utiliza algo basico en Matlab,que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las dos siguientes lineas de codigo discretizamos las variables x1 e y1.
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado.
*Finalmente las dos penúltimas lineas servirán para nombrar a los ejes x e y respectivamente, mientras que las últimos dos sirven para añadirle un título a nuestra gráfica y visualizar en planta nuestra placa.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.1:1;
y1=0:0.1:3;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-2,2,0,3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa plana');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|700px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente grafica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
La temperatura máxima alcanzada es de 4.8675 y se alcanza en los puntos (61,1) y (61,61)
{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.1:1;
y1=0:0.1:3;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-2,2,0,3]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T)) %te da el valor máximo de la temperatura
find(T==x) %te dice donde se encuentra este valor contando todos los valores en columnas
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.1;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]