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El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-07T21:56:43Z

Lucia.riesgo: /* = Póster científico */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En la ingeniería civil el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados. El núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región. Mientras, en la región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Esto caracteriza el movimiento del vórtice, donde hay una zona de rotación sólida interior y otra de comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===

El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que este se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, con rotación sólida, los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí la intensidad de los vectores decrecen con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento horizontal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>) se denomina zona de flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Movimiento de una barca en un vórtice de Rankine ===

La vorticidad (<math>\vec{\omega}</math>) es una magnitud fundamental en dinámica de fluidos que mide el grado de rotación local del fluido.

Físicamente indica cuánto giran las partículas de fluido alrededor de su propio centro mientras se desplazan. Esto no debe confundirse con la trayectoria que sigue el fluido ya que una partícula puede estar describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice pero aun así puede no estar girando sobre sí misma.

El modelo de Rankine combina dos comportamientos distintos del fluido:

*Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>) el fluido se comporta como un cuerpo rígido donde todas las partículas rotan con la misma velocidad angular. Por ello, la vorticidad es constante y estrictamente positiva (<math>\omega = \text{cte} > 0</math>). Para una barca pequeña, idealizada como una partícula, esto implica que se desplaza describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice y además gira sobre sí misma de manera continua y en sentido coincidente con el sentido del vórtice (antihorario para <math>\omega>0</math>).

*Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>) el fluido ya no se comporta como un sólido ya que la velocidad angular disminuye con la distancia y el flujo se vuelve irrotacional. Por lo tanto la vorticidad es <math>\omega = 0</math>. Esto significa que el fluido sigue moviéndose formando un vórtice y la barca continúa siguiendo trayectorias circulares alrededor del centro. Sin embargo no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro generando un incremento del campo de presión. Además, la presión disminuye con la altura.

En la región exterior, donde el flujo es potencial, el aumento de presión con el radio continúa, aunque con un gradiente mucho menor que en el núcleo. El descenso vertical con la altura continúa.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre la fuerza centrífuga y el gradiente de presión, diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.

[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo (comparativa entre la presión ideal y real) ===

*Caída de presión ideal mediante el modelo de Rankine:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

*Caída de presión real:

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo.

==== Limitaciones ====

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

==== Cálculo del error ====

La fórmula general para el error relativo es:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|\Delta P_{\mathrm{Real}}-\Delta p_{\mathrm{Rankine}}|}{\Delta P_{\mathrm{Real}}}\times100</math>

Sustituyendo los valores:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|9325\ \mathrm{Pa}-4363.75\ \mathrm{Pa}|}{9325\ \mathrm{Pa}}\times100 = 53.20 </math>

Por tanto, la discrepancia entre la caída de presión real y la predicha por el modelo de Rankine corresponde a un error relativo del 53.20%.

Los modelos meteorológicos modernos buscan errores en la presión central que sean a lo sumo del 5% al 10% para ser considerados fiables en el pronóstico. Un error del 53% es totalmente inaceptable en la práctica meteorológica.

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
Las superficies isobáricas, definidas como aquellas donde la presión se mantiene constante (p = cte), se muestran para p = 95,000 Pa, 97,000 Pa, 99,000 Pa y 100,000 Pa, tanto en su representación tridimensional como en su sección vertical.
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

Como la fachada es plana y está colocada perpendicular al flujo radial, lo único que importa es la componente radial del gradiente de presión, es decir, ∂p/∂ρ, porque es la que realmente actúa de forma normal sobre la superficie. La fuerza que obtenemos refleja cómo la zona de baja presión del centro del tornado afecta a una fachada que queda expuesta. En un vórtice tipo Rankine, la presión va bajando según te acercas al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo, así que entre los radios 3R y R/4 aparece una diferencia de presión que empuja hacia dentro del vórtice.

Cuando la fachada está directamente enfrentada al flujo radial, esa diferencia de presión se convierte en una fuerza que “succiona” la estructura hacia el centro del tornado. El valor obtenido muestra que, aunque la superficie no sea muy grande, la depresión del vórtice puede generar cargas importantes, suficientes para dañar muros ligeros o paneles que no estén bien reforzados.

En resumen, esta fuerza nos permite cuantificar cómo la baja presión del núcleo del tornado afecta a un edificio, y deja claro que el gradiente de presión es uno de los factores que más contribuyen a los daños estructurales en fenómenos de este tipo.

== Póster científico =
https://www.canva.com/design/DAG6wP3g-lw/mhYthTreXbndRxpHFIymcg/view?utm_content=DAG6wP3g-lw&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=uniquelinks&utlId=h21e7e20002

== Bibliografía ==

Geofísica UNAM. (s.f.). Vorticidad y circulación. Universidad Nacional Autónoma de México http://gmc.geofisica.unam.mx/MFluidos/content/U02Cinematica/VorticidadCirculacion.html

Blanco, F., Pérez Ipiña, J. M., & Zacarías, S. (2015, 7 de julio). Análisis del campo de velocidades alrededor de un vórtice en fluidos viscosos. Universidad de Buenos Aires: 
https://stefani-lab.ar/wp-content/uploads/Informe-Fluidos-Blanco-Perez-Ipi%C3%B1a-Zacarias.pdf

Fundación Aquae. (2021, 25 de agosto). ¿Qué es y cómo se forma un tornado?: 
https://www.fundacionaquae.org/wiki/como-se-forma-tornado/

Sposob, G. (2025, 16 de septiembre). Fenómenos atmosféricos. Enciclopedia Concepto: 
https://concepto.de/fenomenos-atmosfericos/

Archivo:Elvórtivederankine664.png

2025-12-07T21:56:23Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-07T21:55:46Z

Lucia.riesgo: /* Póster científico */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En la ingeniería civil el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados. El núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región. Mientras, en la región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Esto caracteriza el movimiento del vórtice, donde hay una zona de rotación sólida interior y otra de comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===

El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que este se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, con rotación sólida, los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí la intensidad de los vectores decrecen con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento horizontal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>) se denomina zona de flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Movimiento de una barca en un vórtice de Rankine ===

La vorticidad (<math>\vec{\omega}</math>) es una magnitud fundamental en dinámica de fluidos que mide el grado de rotación local del fluido.

Físicamente indica cuánto giran las partículas de fluido alrededor de su propio centro mientras se desplazan. Esto no debe confundirse con la trayectoria que sigue el fluido ya que una partícula puede estar describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice pero aun así puede no estar girando sobre sí misma.

El modelo de Rankine combina dos comportamientos distintos del fluido:

*Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>) el fluido se comporta como un cuerpo rígido donde todas las partículas rotan con la misma velocidad angular. Por ello, la vorticidad es constante y estrictamente positiva (<math>\omega = \text{cte} > 0</math>). Para una barca pequeña, idealizada como una partícula, esto implica que se desplaza describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice y además gira sobre sí misma de manera continua y en sentido coincidente con el sentido del vórtice (antihorario para <math>\omega>0</math>).

*Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>) el fluido ya no se comporta como un sólido ya que la velocidad angular disminuye con la distancia y el flujo se vuelve irrotacional. Por lo tanto la vorticidad es <math>\omega = 0</math>. Esto significa que el fluido sigue moviéndose formando un vórtice y la barca continúa siguiendo trayectorias circulares alrededor del centro. Sin embargo no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro generando un incremento del campo de presión. Además, la presión disminuye con la altura.

En la región exterior, donde el flujo es potencial, el aumento de presión con el radio continúa, aunque con un gradiente mucho menor que en el núcleo. El descenso vertical con la altura continúa.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre la fuerza centrífuga y el gradiente de presión, diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.

[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo (comparativa entre la presión ideal y real) ===

*Caída de presión ideal mediante el modelo de Rankine:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

*Caída de presión real:

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo.

==== Limitaciones ====

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

==== Cálculo del error ====

La fórmula general para el error relativo es:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|\Delta P_{\mathrm{Real}}-\Delta p_{\mathrm{Rankine}}|}{\Delta P_{\mathrm{Real}}}\times100</math>

Sustituyendo los valores:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|9325\ \mathrm{Pa}-4363.75\ \mathrm{Pa}|}{9325\ \mathrm{Pa}}\times100 = 53.20 </math>

Por tanto, la discrepancia entre la caída de presión real y la predicha por el modelo de Rankine corresponde a un error relativo del 53.20%.

Los modelos meteorológicos modernos buscan errores en la presión central que sean a lo sumo del 5% al 10% para ser considerados fiables en el pronóstico. Un error del 53% es totalmente inaceptable en la práctica meteorológica.

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
Las superficies isobáricas, definidas como aquellas donde la presión se mantiene constante (p = cte), se muestran para p = 95,000 Pa, 97,000 Pa, 99,000 Pa y 100,000 Pa, tanto en su representación tridimensional como en su sección vertical.
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

Como la fachada es plana y está colocada perpendicular al flujo radial, lo único que importa es la componente radial del gradiente de presión, es decir, ∂p/∂ρ, porque es la que realmente actúa de forma normal sobre la superficie. La fuerza que obtenemos refleja cómo la zona de baja presión del centro del tornado afecta a una fachada que queda expuesta. En un vórtice tipo Rankine, la presión va bajando según te acercas al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo, así que entre los radios 3R y R/4 aparece una diferencia de presión que empuja hacia dentro del vórtice.

Cuando la fachada está directamente enfrentada al flujo radial, esa diferencia de presión se convierte en una fuerza que “succiona” la estructura hacia el centro del tornado. El valor obtenido muestra que, aunque la superficie no sea muy grande, la depresión del vórtice puede generar cargas importantes, suficientes para dañar muros ligeros o paneles que no estén bien reforzados.

En resumen, esta fuerza nos permite cuantificar cómo la baja presión del núcleo del tornado afecta a un edificio, y deja claro que el gradiente de presión es uno de los factores que más contribuyen a los daños estructurales en fenómenos de este tipo.

== Póster científico =
[[Archivo:Elvórtivederankine64.png|600px|miniaturadeimagen]]
https://www.canva.com/design/DAG6wP3g-lw/mhYthTreXbndRxpHFIymcg/view?utm_content=DAG6wP3g-lw&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=uniquelinks&utlId=h21e7e20002

== Bibliografía ==

Geofísica UNAM. (s.f.). Vorticidad y circulación. Universidad Nacional Autónoma de México http://gmc.geofisica.unam.mx/MFluidos/content/U02Cinematica/VorticidadCirculacion.html

Blanco, F., Pérez Ipiña, J. M., & Zacarías, S. (2015, 7 de julio). Análisis del campo de velocidades alrededor de un vórtice en fluidos viscosos. Universidad de Buenos Aires: 
https://stefani-lab.ar/wp-content/uploads/Informe-Fluidos-Blanco-Perez-Ipi%C3%B1a-Zacarias.pdf

Fundación Aquae. (2021, 25 de agosto). ¿Qué es y cómo se forma un tornado?: 
https://www.fundacionaquae.org/wiki/como-se-forma-tornado/

Sposob, G. (2025, 16 de septiembre). Fenómenos atmosféricos. Enciclopedia Concepto: 
https://concepto.de/fenomenos-atmosfericos/

Archivo:El vórtice de Rankine64.png

2025-12-07T21:54:41Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-07T19:51:15Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En la ingeniería civil el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados. El núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región. Mientras, en la región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Esto caracteriza el movimiento del vórtice, donde hay una zona de rotación sólida interior y otra de comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===

El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que este se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, con rotación sólida, los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí la intensidad de los vectores decrecen con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento horizontal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>) se denomina zona de flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Movimiento de una barca en un vórtice de Rankine ===

La vorticidad (<math>\vec{\omega}</math>) es una magnitud fundamental en dinámica de fluidos que mide el grado de rotación local del fluido.

Físicamente indica cuánto giran las partículas de fluido alrededor de su propio centro mientras se desplazan. Esto no debe confundirse con la trayectoria que sigue el fluido ya que una partícula puede estar describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice pero aun así puede no estar girando sobre sí misma.

El modelo de Rankine combina dos comportamientos distintos del fluido:

*Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>) el fluido se comporta como un cuerpo rígido donde todas las partículas rotan con la misma velocidad angular. Por ello, la vorticidad es constante y estrictamente positiva (<math>\omega = \text{cte} > 0</math>). Para una barca pequeña, idealizada como una partícula, esto implica que se desplaza describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice y además gira sobre sí misma de manera continua y en sentido coincidente con el sentido del vórtice (antihorario para <math>\omega>0</math>).

*Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>) el fluido ya no se comporta como un sólido ya que la velocidad angular disminuye con la distancia y el flujo se vuelve irrotacional. Por lo tanto la vorticidad es <math>\omega = 0</math>. Esto significa que el fluido sigue moviéndose formando un vórtice y la barca continúa siguiendo trayectorias circulares alrededor del centro. Sin embargo no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro generando un incremento cuadrático del campo de presión. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo el balance hidrostático.

En la región exterior, donde el flujo es potencial, el aumento de presión con el radio continúa, aunque con un gradiente mucho menor que en el núcleo ya que la velocidad tangencial disminuye como 1/ρ. El descenso vertical con la altura continúa debiéndose a la relación hidrostática.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.

[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo (comparativa entre la presión ideal y real) ===

*Caída de presión ideal mediante el modelo de Rankine:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

*Caída de presión real:

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo.

==== Limitaciones ====

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

==== Cálculo del error ====

La fórmula general para el error relativo es:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|\Delta P_{\mathrm{Real}}-\Delta p_{\mathrm{Rankine}}|}{\Delta P_{\mathrm{Real}}}\times100</math>

Sustituyendo los valores:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|9325\ \mathrm{Pa}-4363.75\ \mathrm{Pa}|}{9325\ \mathrm{Pa}}\times100 = 53.20 </math>

Por tanto, la discrepancia entre la caída de presión real y la predicha por el modelo de Rankine corresponde a un error relativo del 53.20%.

Los modelos meteorológicos modernos buscan errores en la presión central que sean a lo sumo del 5% al 10% para ser considerados fiables en el pronóstico. Un error del 53% es totalmente inaceptable en la práctica meteorológica.

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
Las superficies isobáricas, definidas como aquellas donde la presión se mantiene constante (p = cte), se muestran para p = 95,000 Pa, 97,000 Pa, 99,000 Pa y 100,000 Pa, tanto en su representación tridimensional como en su sección vertical.
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

Como la fachada es plana y está colocada perpendicular al flujo radial, lo único que importa es la componente radial del gradiente de presión, es decir, ∂p/∂ρ, porque es la que realmente actúa de forma normal sobre la superficie. La fuerza que obtenemos refleja cómo la zona de baja presión del centro del tornado afecta a una fachada que queda expuesta. En un vórtice tipo Rankine, la presión va bajando según te acercas al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo, así que entre los radios 3R y R/4 aparece una diferencia de presión que empuja hacia dentro del vórtice.

Cuando la fachada está directamente enfrentada al flujo radial, esa diferencia de presión se convierte en una fuerza que “succiona” la estructura hacia el centro del tornado. El valor obtenido muestra que, aunque la superficie no sea muy grande, la depresión del vórtice puede generar cargas importantes, suficientes para dañar muros ligeros o paneles que no estén bien reforzados.

En resumen, esta fuerza nos permite cuantificar cómo la baja presión del núcleo del tornado afecta a un edificio, y deja claro que el gradiente de presión es uno de los factores que más contribuyen a los daños estructurales en fenómenos de este tipo.

== Póster científico ==

https://www.canva.com/design/DAG6wP3g-lw/mhYthTreXbndRxpHFIymcg/view?utm_content=DAG6wP3g-lw&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=uniquelinks&utlId=h21e7e20002

== Bibliografía ==

Geofísica UNAM. (s.f.). Vorticidad y circulación. Universidad Nacional Autónoma de México http://gmc.geofisica.unam.mx/MFluidos/content/U02Cinematica/VorticidadCirculacion.html

Blanco, F., Pérez Ipiña, J. M., & Zacarías, S. (2015, 7 de julio). Análisis del campo de velocidades alrededor de un vórtice en fluidos viscosos. Universidad de Buenos Aires: 
https://stefani-lab.ar/wp-content/uploads/Informe-Fluidos-Blanco-Perez-Ipi%C3%B1a-Zacarias.pdf

Fundación Aquae. (2021, 25 de agosto). ¿Qué es y cómo se forma un tornado?: 
https://www.fundacionaquae.org/wiki/como-se-forma-tornado/

Sposob, G. (2025, 16 de septiembre). Fenómenos atmosféricos. Enciclopedia Concepto: 
https://concepto.de/fenomenos-atmosfericos/

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-07T18:46:03Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En la ingeniería civil el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados. El núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región. Mientras, en la región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Esto caracteriza el movimiento del vórtice, donde hay una zona de rotación sólida interior y otra de comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===

El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que este se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, con rotación sólida, los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí la intensidad de los vectores decrecen con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento horizontal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>) se denomina zona de flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Movimiento de una barca en un vórtice de Rankine ===

La vorticidad (<math>\vec{\omega}</math>) es una magnitud fundamental en dinámica de fluidos que mide el grado de rotación local del fluido.

Físicamente indica cuánto giran las partículas de fluido alrededor de su propio centro mientras se desplazan. Esto no debe confundirse con la trayectoria que sigue el fluido ya que una partícula puede estar describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice pero aun así puede no estar girando sobre sí misma.

El modelo de Rankine combina dos comportamientos distintos del fluido:

*Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>) el fluido se comporta como un cuerpo rígido donde todas las partículas rotan con la misma velocidad angular. Por ello, la vorticidad es constante y estrictamente positiva (<math>\omega = \text{cte} > 0</math>). Para una barca pequeña, idealizada como una partícula, esto implica que se desplaza describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice y además gira sobre sí misma de manera continua y en sentido coincidente con el sentido del vórtice (antihorario para <math>\omega>0</math>).

*Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>) el fluido ya no se comporta como un sólido ya que la velocidad angular disminuye con la distancia y el flujo se vuelve irrotacional. Por lo tanto la vorticidad es <math>\omega = 0</math>. Esto significa que el fluido sigue moviéndose formando un vórtice y la barca continúa siguiendo trayectorias circulares alrededor del centro. Sin embargo no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo (comparativa entre la presión ideal y real) ===

*Caída de presión ideal mediante el modelo de Rankine:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

*Caída de presión real:

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo.

==== Limitaciones ====

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

==== Cálculo del error ====

La fórmula general para el error relativo es:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|\Delta P_{\mathrm{Real}}-\Delta p_{\mathrm{Rankine}}|}{\Delta P_{\mathrm{Real}}}\times100</math>

Sustituyendo los valores:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|9325\ \mathrm{Pa}-4363.75\ \mathrm{Pa}|}{9325\ \mathrm{Pa}}\times100 = 53.20 </math>

Por tanto, la discrepancia entre la caída de presión real y la predicha por el modelo de Rankine corresponde a un error relativo del 53.20%.

Los modelos meteorológicos modernos buscan errores en la presión central que sean a lo sumo del 5% al 10% para ser considerados fiables en el pronóstico. Un error del 53% es totalmente inaceptable en la práctica meteorológica.

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
Las superficies isobáricas, definidas como aquellas donde la presión se mantiene constante (p = cte), se muestran para p = 95 000 Pa, 97 000 Pa, 99 000 Pa y 100 000 Pa, tanto en su representación tridimensional como en su sección vertical.
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

Como la fachada es plana y está colocada perpendicular al flujo radial, lo único que importa es la componente radial del gradiente de presión, es decir, ∂p/∂ρ, porque es la que realmente actúa de forma normal sobre la superficie. La fuerza que obtenemos refleja cómo la zona de baja presión del centro del tornado afecta a una fachada que queda expuesta. En un vórtice tipo Rankine, la presión va bajando según te acercas al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo, así que entre los radios 3R y R/4 aparece una diferencia de presión que empuja hacia dentro del vórtice.

Cuando la fachada está directamente enfrentada al flujo radial, esa diferencia de presión se convierte en una fuerza que “succiona” la estructura hacia el centro del tornado. El valor obtenido muestra que, aunque la superficie no sea muy grande, la depresión del vórtice puede generar cargas importantes, suficientes para dañar muros ligeros o paneles que no estén bien reforzados.

En resumen, esta fuerza nos permite cuantificar cómo la baja presión del núcleo del tornado afecta a un edificio, y deja claro que el gradiente de presión es uno de los factores que más contribuyen a los daños estructurales en fenómenos de este tipo.

== Póster científico ==

https://www.canva.com/design/DAG6wP3g-lw/mhYthTreXbndRxpHFIymcg/view?utm_content=DAG6wP3g-lw&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=uniquelinks&utlId=h21e7e20002

== Bibliografía ==

Geofísica UNAM. (s.f.). Vorticidad y circulación. Universidad Nacional Autónoma de México http://gmc.geofisica.unam.mx/MFluidos/content/U02Cinematica/VorticidadCirculacion.html

Blanco, F., Pérez Ipiña, J. M., & Zacarías, S. (2015, 7 de julio). Análisis del campo de velocidades alrededor de un vórtice en fluidos viscosos. Universidad de Buenos Aires: 
https://stefani-lab.ar/wp-content/uploads/Informe-Fluidos-Blanco-Perez-Ipi%C3%B1a-Zacarias.pdf

Fundación Aquae. (2021, 25 de agosto). ¿Qué es y cómo se forma un tornado?: 
https://www.fundacionaquae.org/wiki/como-se-forma-tornado/

Sposob, G. (2025, 16 de septiembre). Fenómenos atmosféricos. Enciclopedia Concepto: 
https://concepto.de/fenomenos-atmosfericos/

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-07T18:45:08Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En la ingeniería civil el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados. El núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región. Mientras, en la región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Esto caracteriza el movimiento del vórtice, donde hay una zona de rotación sólida interior y otra de comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===

El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que este se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, con rotación sólida, los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí la intensidad de los vectores decrecen con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento horizontal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>) se denomina zona de flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Movimiento de una barca en un vórtice de Rankine ===

La vorticidad (<math>\vec{\omega}</math>) es una magnitud fundamental en dinámica de fluidos que mide el grado de rotación local del fluido.

Físicamente indica cuánto giran las partículas de fluido alrededor de su propio centro mientras se desplazan. Esto no debe confundirse con la trayectoria que sigue el fluido ya que una partícula puede estar describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice pero aun así puede no estar girando sobre sí misma.

El modelo de Rankine combina dos comportamientos distintos del fluido:

*Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>) el fluido se comporta como un cuerpo rígido donde todas las partículas rotan con la misma velocidad angular. Por ello, la vorticidad es constante y estrictamente positiva (<math>\omega = \text{cte} > 0</math>). Para una barca pequeña, idealizada como una partícula, esto implica que se desplaza describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice y además gira sobre sí misma de manera continua y en sentido coincidente con el sentido del vórtice (antihorario para <math>\omega>0</math>).

*Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>) el fluido ya no se comporta como un sólido ya que la velocidad angular disminuye con la distancia y el flujo se vuelve irrotacional. Por lo tanto la vorticidad es <math>\omega = 0</math>. Esto significa que el fluido sigue moviéndose formando un vórtice y la barca continúa siguiendo trayectorias circulares alrededor del centro. Sin embargo no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo (comparativa entre la presión ideal y real) ===

*Caída de presión ideal mediante el modelo de Rankine:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

*Caída de presión real:

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo.

==== Limitaciones ====

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

==== Cálculo del error ====

La fórmula general para el error relativo es:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|\Delta P_{\mathrm{Real}}-\Delta p_{\mathrm{Rankine}}|}{\Delta P_{\mathrm{Real}}}\times100</math>

Sustituyendo los valores:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|9325\ \mathrm{Pa}-4363.75\ \mathrm{Pa}|}{9325\ \mathrm{Pa}}\times100 = 53.20 </math>

Por tanto, la discrepancia entre la caída de presión real y la predicha por el modelo de Rankine corresponde a un error relativo del 53.20%.

Los modelos meteorológicos modernos buscan errores en la presión central que sean a lo sumo del 5% al 10% para ser considerados fiables en el pronóstico. Un error del 53% es totalmente inaceptable en la práctica meteorológica.

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
Las superficies isobáricas, definidas como aquellas donde la presión se mantiene constante (p = cte), se muestran para p = 95 000 Pa, 97 000 Pa, 99 000 Pa y 100 000 Pa:
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

Como la fachada es plana y está colocada perpendicular al flujo radial, lo único que importa es la componente radial del gradiente de presión, es decir, ∂p/∂ρ, porque es la que realmente actúa de forma normal sobre la superficie. La fuerza que obtenemos refleja cómo la zona de baja presión del centro del tornado afecta a una fachada que queda expuesta. En un vórtice tipo Rankine, la presión va bajando según te acercas al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo, así que entre los radios 3R y R/4 aparece una diferencia de presión que empuja hacia dentro del vórtice.

Cuando la fachada está directamente enfrentada al flujo radial, esa diferencia de presión se convierte en una fuerza que “succiona” la estructura hacia el centro del tornado. El valor obtenido muestra que, aunque la superficie no sea muy grande, la depresión del vórtice puede generar cargas importantes, suficientes para dañar muros ligeros o paneles que no estén bien reforzados.

En resumen, esta fuerza nos permite cuantificar cómo la baja presión del núcleo del tornado afecta a un edificio, y deja claro que el gradiente de presión es uno de los factores que más contribuyen a los daños estructurales en fenómenos de este tipo.

== Póster científico ==

https://www.canva.com/design/DAG6wP3g-lw/mhYthTreXbndRxpHFIymcg/view?utm_content=DAG6wP3g-lw&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=uniquelinks&utlId=h21e7e20002

== Bibliografía ==

Geofísica UNAM. (s.f.). Vorticidad y circulación. Universidad Nacional Autónoma de México http://gmc.geofisica.unam.mx/MFluidos/content/U02Cinematica/VorticidadCirculacion.html

Blanco, F., Pérez Ipiña, J. M., & Zacarías, S. (2015, 7 de julio). Análisis del campo de velocidades alrededor de un vórtice en fluidos viscosos. Universidad de Buenos Aires: 
https://stefani-lab.ar/wp-content/uploads/Informe-Fluidos-Blanco-Perez-Ipi%C3%B1a-Zacarias.pdf

Fundación Aquae. (2021, 25 de agosto). ¿Qué es y cómo se forma un tornado?: 
https://www.fundacionaquae.org/wiki/como-se-forma-tornado/

Sposob, G. (2025, 16 de septiembre). Fenómenos atmosféricos. Enciclopedia Concepto: 
https://concepto.de/fenomenos-atmosfericos/

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-07T13:28:20Z

Lucia.riesgo: /* ¿Qué ocurre en la región exterior? */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>) se denomina zona de flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Movimiento de una barca en un vórtice de Rankine ===

La vorticidad (<math>\vec{\omega}</math>) es una magnitud fundamental en dinámica de fluidos que mide el grado de rotación local del fluido.

Físicamente indica cuánto giran las partículas de fluido alrededor de su propio centro mientras se desplazan. Esto no debe confundirse con la trayectoria que sigue el fluido ya que una partícula puede estar describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice pero aun así puede no estar girando sobre sí misma.

El modelo de Rankine combina dos comportamientos distintos del fluido:

*Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>) el fluido se comporta como un cuerpo rígido donde todas las partículas rotan con la misma velocidad angular. Por ello, la vorticidad es constante y estrictamente positiva (<math>\omega = \text{cte} > 0</math>). Para una barca pequeña, idealizada como una partícula, esto implica que se desplaza describiendo un círculo alrededor del centro del vórtice y además gira sobre sí misma de manera continua y en sentido coincidente con el sentido del vórtice (antihorario para <math>\omega>0</math>).

*Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>) el fluido ya no se comporta como un sólido ya que la velocidad angular disminuye con la distancia y el flujo se vuelve irrotacional. Por lo tanto la vorticidad es <math>\omega = 0</math>. Esto significa que el fluido sigue moviéndose formando un vórtice y la barca continúa siguiendo trayectorias circulares alrededor del centro. Sin embargo no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo (comparativa entre la presión ideal y real) ===

*Caída de presión ideal mediante el modelo de Rankine:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

*Caída de presión real:

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo.

==== Limitaciones ====

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

==== Cálculo del error ====

La fórmula general para el error relativo es:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|\Delta P_{\mathrm{Real}}-\Delta p_{\mathrm{Rankine}}|}{\Delta P_{\mathrm{Real}}}\times100</math>

Sustituyendo los valores:

<math>\mathrm{Error\ Relativo}(\%)=\frac{|9325\ \mathrm{Pa}-4363.75\ \mathrm{Pa}|}{9325\ \mathrm{Pa}}\times100 = 53.20 </math>

Por tanto, la discrepancia entre la caída de presión real y la predicha por el modelo de Rankine corresponde a un error relativo del 53.20%.

Los modelos meteorológicos modernos buscan errores en la presión central que sean a lo sumo del 5% al 10% para ser considerados fiables en el pronóstico. Un error del 53% es totalmente inaceptable en la práctica meteorológica.

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa es la siguiente
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

== Póster científico ==

https://www.canva.com/design/DAG6wP3g-lw/mhYthTreXbndRxpHFIymcg/view?utm_content=DAG6wP3g-lw&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=uniquelinks&utlId=h21e7e20002

== Bibliografía ==

Geofísica UNAM. (s.f.). Vorticidad y circulación. Universidad Nacional Autónoma de México http://gmc.geofisica.unam.mx/MFluidos/content/U02Cinematica/VorticidadCirculacion.html

Blanco, F., Pérez Ipiña, J. M., & Zacarías, S. (2015, 7 de julio). Análisis del campo de velocidades alrededor de un vórtice en fluidos viscosos. Universidad de Buenos Aires: 
https://stefani-lab.ar/wp-content/uploads/Informe-Fluidos-Blanco-Perez-Ipi%C3%B1a-Zacarias.pdf

Fundación Aquae. (2021, 25 de agosto). ¿Qué es y cómo se forma un tornado?: 
https://www.fundacionaquae.org/wiki/como-se-forma-tornado/

Sposob, G. (2025, 16 de septiembre). Fenómenos atmosféricos. Enciclopedia Concepto: 
https://concepto.de/fenomenos-atmosfericos/

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-06T15:02:04Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Barca pequeña flotando en el vórtice. ===
La vorticidad, <math>\vec{\omega}</math> es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

* Si <math>\omega > 0</math>, el fluido gira en sentido antihorario.
* Si <math>\omega = 0</math>, no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

* Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>), <math>\omega = \text{cte} >0 </math>, la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
* Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>), <math>\omega = 0</math>, la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo. ===
<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo:

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

=== diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la depresión en el centro del ojo ===

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa es la siguiente
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-06T15:00:28Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Barca pequeña flotando en el vórtice. ===
La vorticidad, <math>\vec{\omega}</math> es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

* Si <math>\omega > 0</math>, el fluido gira en sentido antihorario.
* Si <math>\omega = 0</math>, no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

* Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>), <math>\omega = \text{cte} >0 </math>, la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
* Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>), <math>\omega = 0</math>, la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo. ===
<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo:

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

=== diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la depresión en el centro del ojo ===

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
[[Archivo:Seccionvertical64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Sección vertical de las superficies isobáricas.]]

<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

Archivo:Seccionvertical64.jpg

2025-12-06T14:59:33Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-06T14:59:03Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Barca pequeña flotando en el vórtice. ===
La vorticidad, <math>\vec{\omega}</math> es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

* Si <math>\omega > 0</math>, el fluido gira en sentido antihorario.
* Si <math>\omega = 0</math>, no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

* Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>), <math>\omega = \text{cte} >0 </math>, la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
* Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>), <math>\omega = 0</math>, la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo. ===
<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo:

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

=== diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la depresión en el centro del ojo ===

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.
[[Archivo:Supisobaricas.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación 3D de las superficies isobáricas.]]
<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

Archivo:Supisobaricas.jpg

2025-12-06T14:58:15Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-06T14:57:00Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Barca pequeña flotando en el vórtice. ===
La vorticidad, <math>\vec{\omega}</math> es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

* Si <math>\omega > 0</math>, el fluido gira en sentido antihorario.
* Si <math>\omega = 0</math>, no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

* Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>), <math>\omega = \text{cte} >0 </math>, la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
* Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>), <math>\omega = 0</math>, la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo. ===
<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo:

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

=== diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la depresión en el centro del ojo ===

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.
<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Superficies isobáricas');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical de las isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-06T14:51:40Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Barca pequeña flotando en el vórtice. ===
La vorticidad, <math>\vec{\omega}</math> es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

* Si <math>\omega > 0</math>, el fluido gira en sentido antihorario.
* Si <math>\omega = 0</math>, no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

* Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>), <math>\omega = \text{cte} >0 </math>, la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
* Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>), <math>\omega = 0</math>, la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo. ===
<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo:

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

=== diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la depresión en el centro del ojo ===

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.
<pre>
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Isobaras 3D - Vórtice de Rankine');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical - Isobaras');
grid on
</pre>

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-06T14:50:59Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Motivación ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Barca pequeña flotando en el vórtice. ===
La vorticidad, <math>\vec{\omega}</math> es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

* Si <math>\omega > 0</math>, el fluido gira en sentido antihorario.
* Si <math>\omega = 0</math>, no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

* Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>), <math>\omega = \text{cte} >0 </math>, la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
* Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>), <math>\omega = 0</math>, la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo. ===
<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

Se ha utilizado la ecuación del campo de presión correspondiente a <math>\rho \in (250, 1000]</math> para <math> p(R^+,0) </math> porque <math> R^+ </math> indica justo fuera del núcleo y, por ello, el límite por la derecha de <math>\rho = 250</math>.

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

Como se puede observar, el valor real de la caída de presión es significativamente mayor al calculado usando la expresión del vórtice de Rankine.
Esto se debe a las limitaciones del modelo:

*El modelo asume una distribución de velocidad tangencial puramente horizontal (<math>v_\theta</math>) y simétrica.
*Además, el modelo de Rankine no considera la extensión completa del campo de baja presión del vórtice ya que solo calcula la presión entre el borde del núcleo y el centro. Sin embargo, en un fenómeno atmosférico real la caída de presión se mide desde la presión atmosférica estándar lejana y esta es diferente a la del borde del núcleo.
*Por otro lado, el modelo de Rankine es una solución idealizada y no viscosa que omite la fricción y, por ende, elimina el desequilibrio de fuerzas que genera el flujo de aire crucial para mantener y generar la baja presión extrema en el centro del vórtice (aunque en el caso concreto de z=0 las presiones en el centro del vórtice coincidan)

=== diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la depresión en el centro del ojo ===

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.
R = 250; vR = 90; z0 = 2800;
P0 = 920e2; Pinf = 1013e2;
rho_air = 1.225; g = 9.81;

Gamma = 2*pi*R*vR;

rho3 = linspace(1,1500,200);
theta3 = linspace(0,2*pi,200);
z3 = linspace(0,z0,200);
[RHO3, TH3, Z3] = meshgrid(rho3,theta3,z3);

X = RHO3.*cos(TH3);
Y = RHO3.*sin(TH3);
Z = Z3;

vtheta3 = zeros(size(RHO3));
vtheta3(RHO3 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO3(RHO3<=R);
vtheta3(RHO3 > R) = Gamma./(2*pi*RHO3(RHO3>R));

p3 = zeros(size(RHO3));
p3(RHO3 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3<=R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3<=R);
p3(RHO3 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta3(RHO3>R).^2 - rho_air*g*Z3(RHO3>R);

isob = [950 970 990 1000]*100;
colors = lines(length(isob));

%% Figura 1: 3D
figure; hold on
for k = 1:length(isob)
fv = isosurface(X,Y,Z,p3,isob(k));
patch(fv,'FaceColor',colors(k,:),'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.6);
end
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('z (m)');
title('Isobaras 3D - Vórtice de Rankine');
axis equal; view(35,20); camlight; lighting gouraud; grid on

%% Figura 2: Sección vertical
rho2 = linspace(1,1500,500);
z2 = linspace(0,z0,500);
[RHO2,Z2] = meshgrid(rho2,z2);

vtheta2 = zeros(size(RHO2));
vtheta2(RHO2 <= R) = Gamma/(2*pi*R^2).*RHO2(RHO2<=R);
vtheta2(RHO2 > R) = Gamma./(2*pi*RHO2(RHO2>R));

p2 = zeros(size(RHO2));
p2(RHO2 <= R) = P0 + 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2<=R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2<=R);
p2(RHO2 > R) = Pinf - 0.5*rho_air*vtheta2(RHO2>R).^2 - rho_air*g*Z2(RHO2>R);

figure; hold on
for k = 1:length(isob)
contour(RHO2,Z2,p2,[isob(k) isob(k)],'LineWidth',2,'Color',colors(k,:));
end
xlabel('ρ (m)'); ylabel('z (m)');
title('Sección vertical - Isobaras');
grid on

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-06T13:29:23Z

Lucia.riesgo: /* Campo vectorial de velocidades */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo 64| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Ana Abollado Vázquez; Elena Tallón Falero; Lucía Riesgo Cobo }}

__TOC__
== Introducción ==
En ingeniería civil, el comportamiento del agua y del aire en movimiento es un factor decisivo en el diseño de infraestructuras como puentes, presas, canales o estructuras portuarias.

Los vórtices aparecen con frecuencia en la entrada de tomas hidráulicas, alrededor de pilares de puentes o en zonas de desagüe. Estos pueden generar pérdidas de eficiencia, erosión o inestabilidad por lo que su estudio resulta esencial para garantizar la seguridad y el rendimiento de las obras civiles.

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado cuya simplicidad permite analizar la velocidad, presión y vorticidad de manera clara proporcionando una base para entender fenómenos más complejos en fluidos rotacionales ya que divide el flujo en dos regiones: un núcleo de rotación sólida, donde la vorticidad es constante, y una zona exterior donde el flujo es irrotacional.

== Campo de velocidades ==
En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

<math>\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}</math>

donde

<math>
v_{\theta}(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho > R.
\end{cases}
</math>

Aquí, <math>R</math> es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y <math>\Gamma</math> es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura <math>z_{0}</math>.

=== Circulación \(\Gamma\) del vórtice ===
El cálculo de la circulación total \(\Gamma\), que determina la intensidad del vórtice, es:

<math>
v_{\theta}(R)
= \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R
\ siendo \ v_{\theta}(R) = 90
</math>

<math>
\Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R
= 45\,000\,\pi \,\frac{m^{2}}{s}
\approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{2}}{s} \\
</math>
Análisis dimensional:
<math>
\\
[\Gamma] = \left[\frac{\frac{m}{s}\cdot m^{2}}{m}\right] = \left[\frac{m^{2}}{s}\right]
</math>

=== Campo de velocidad tangencial ===
Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

<math>

v_{\theta}(\rho)=
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}, & \text{si }\rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}, & \text{si }\rho \in (250,1000].
\end{cases}

= \begin{cases}
\dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt]
\dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000]
\end{cases}
</math>

El campo de velocidad tangencial 𝑣 describe la variación de la velocidad circular alrededor del centro del vórtice en función del radio ρ. En el vórtice de Rankine, este campo presenta dos regímenes diferenciados:

- Núcleo sólido (ρ≤250 m): el flujo rota como un cuerpo rígido y 𝑣 crece linealmente con ρ, indicando vorticidad constante en esta región.

- Región potencial (ρ>250 m): el flujo es irrotacional y la velocidad decrece con 1/ρ, manteniéndose constante la circulación.

Este perfil caracteriza completamente la estructura dinámica del vórtice, permitiendo identificar la transición entre rotación sólida interior y comportamiento potencial exterior.
[[Archivo:CampoVelocidadessss64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Gráfica de la velocidad tangencial en función de la distancia radial]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
rho_max = 1000;

Gamma = vR * 2*pi*R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);

rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));

core = rho <= R;
vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
vtheta(~core) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(~core);

figure;
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;

yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k');
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor','r');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)');
grid on;
xlim([0 rho_max]);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)');
</pre>

=== Campo vectorial de velocidades ===
<math>
\text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800]
</math>
El campo vectorial de velocidades describe, para cada punto del plano horizontal, la dirección tangencial del flujo y la intensidad con la que éste se mueve alrededor del centro del vórtice. En el vórtice de Rankine, dicho campo es puramente tangencial, por lo que cada vector es perpendicular al radio y sigue una trayectoria circular.

<math>
\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} =
\begin{cases}
22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000].
\end{cases}
</math>

En el núcleo interior, el flujo se comporta como una rotación sólida, donde los vectores aumentan en magnitud conforme se alejan del centro, manteniendo una distribución uniforme de vorticidad. En la región exterior, el campo pasa a ser potencial, aquí los vectores disminuyen en intensidad con la distancia, reflejando un movimiento irrotacional en el que la circulación se conserva.

Este campo permite visualizar de forma completa la estructura dinámica del vórtice, distinguiendo claramente la rotación uniforme del núcleo y el comportamiento potencial de la zona exterior.
[[Archivo:Campovectorial64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial de velocidades]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800; ymax = 800;
N = 40;

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);
Vtheta = zeros(size(rho));
core = (rho <= R & rho>0);
outer = (rho > R);

Vtheta(core) = (Gamma/(2*pi*R^2)) .* rho(core);
Vtheta(outer) = (Gamma/(2*pi)) ./ rho(outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy = Vtheta .* cos(theta);

figure; hold on;
quiver(X(core), Y(core), Vx(core), Vy(core), 'b');
quiver(X(outer), Y(outer), Vx(outer), Vy(outer), 'r');

t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Campo vectorial del vórtice de Rankine');
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on;
legend('núcleo','exterior','R');
</pre>
==== Suficiencia del Plano Horizontal ====
La cuestión de por qué es suficiente representarlo en un plano horizontal se justifica en que el vórtice de Rankine es un modelo donde las velocidades dependen solo de la distancia radial al centro y la componente vertical es nula. Esto significa que toda la estructura dinámica, tanto el núcleo como la región exterior, queda completamente descrita en el plano horizontal, sin que la altura introduzca variaciones en el comportamiento del flujo.

== Aplicación del modelo ==

=== Comparativa entre la realidad física y el modelo ===

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical.
Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine. 
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro. 
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo. 

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

{| class="wikitable"
! Fenómeno
! Escala (diámetro)
! Intensidad
! Mecanismos de Formación
|-
| '''Tornados'''
| Desde unas pocas decenas de metros hasta un par de kilómetros
(75–400 m en promedio).
| Vientos de 110–500 km/h (EF0–EF5 en la escala de Beaufort).
Duración de minutos.
| Formación dentro de supercélulas (tormentas muy organizadas con una columna de aire rotante, mesociclón) mediante la cizalladura vertical del viento.
|-
| '''Trombas Marinas'''
| Similar o ligeramente menor a la de un tornado
(10–50 m en promedio).
| 60–90 km/h las no tornádicas y 90–150 km/h las tornádicas (EF0–EF1 en la escala de Beaufort).
Duración de 5–20 minutos.
| -Tornádica: formación igual a la del tornado pero sobre el agua.
-No tornádica: formación por convección local sobre agua caliente.
|-
| '''Huracanes (ciclones tropicales)'''
| Desde 100 hasta 2000 km
(500–600 km en promedio).
| Vientos de 118–250 km/h (categoría 1–5 en la escala Saffir–Simpson).
Duración de días a semanas.
|Formación sobre océanos cálidos donde el aire húmedo asciende y libera calor latente al condensarse. La baja presión en la superficie atrae más aire, el cual rota debido al efecto Coriolis.
|-
| '''Dust Devils (diablo de polvo)'''
| Desde 0,5 hasta 90 m
(0,5–10 m en promedio).
| Vientos de 30–100 km/h.
Duración de segundos a varios minutos.
|Formación por convección térmica local del aire que levanta polvo y arena.
|}

=== El modelo de Burgers-Rott como alternativa más realista al vórtice de Rankine ===

El modelo de Burgers–Rott es una solución analítica de las ecuaciones de Navier–Stokes (ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de los fluidos newtonianos) para un vórtice axisimétrico viscoso sometido a un esfuerzo de estiramiento radial/axial.

En este modelo el campo de velocidades posee tres componentes, a diferencia del de Rankine que solo se define en un plano horizontal.
El modelo de Rankine no exige ninguna variación vertical mientras que el modelo de Burgers-Rott depende de z.

En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), el campo de velocidades del modelo de Burgers–Rott es:

<math>
v_r(r) = -\alpha\, r \qquad [v_r] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\frac{\alpha r^2}{2\nu}}\right)
\qquad [v_\theta] = [\text{m/s}]
</math>

<math>
v_z(z) = 2\alpha z \qquad [v_z] = [\text{m/s}]
</math>

donde:

* <math>\Gamma</math> es la circulación total <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>
* <math>\alpha > 0</math> es la tasa de estiramiento <math>[1/\text{s}]</math>
* <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática <math>[\text{m}^2/\text{s}]</math>

El vórtice de Burgers–Rott es una alternativa más realista al vórtice de Rankine porque:

* Presenta una estructura tridimensional.
* La vorticidad tiene un perfil suave y no una discontinuidad artificial.
* Modela el estrechamiento (por estiramiento) y el ensanchamiento (por viscosidad) de un vórtice real.
* Satisface las ecuaciones de Navier–Stokes, por lo que no es un modelo cinemático sino dinámico. Describe el movimiento real del fluido considerando el equilibrio entre fuerzas, la viscosidad y el estiramiento axial.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidad ==
=== Divergencia del campo de velocidad ===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de salida o entrada de flujo a través de un volumen infinitesimal. En términos físicos, indica si en un punto el fluido se expande, se comprime o simplemente se redistribuye sin generar acumulación.

<math> \nabla \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{\rho}\left( \dfrac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \dfrac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (0,250] \\ \dfrac{1}{\rho}\left( 0 + \dfrac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, & \rho \in (250,1000] \end{cases} </math>

El resultado ∇·v = 0 en todo el dominio indica que el flujo es incompresible. Esto significa que no existen fuentes ni sumideros de masa dentro del campo de velocidad, de modo que el volumen de fluido que entra en cualquier región es exactamente igual al que sale.
Una divergencia nula implica que la densidad del fluido permanece constante y que el movimiento observado corresponde únicamente a un transporte y redistribución del fluido, sin acumulación local ni expansión volumétrica.

En el contexto del vórtice considerado, esta condición asegura que, aunque el fluido experimente un fuerte movimiento azimutal, no hay flujo neto que comprima o dilate el fluido en la dirección radial o axial. Por tanto, el comportamiento del tornado puede modelarse adecuadamente bajo el supuesto de flujo incompresible, coherente con la estructura de un vórtice estacionario.

=== Rotacional del campo de velocidad ===
El rotacional del campo de velocidad permite cuantificar la vorticidad del flujo, es decir, el grado de rotación local que experimentan las partículas de fluido. En el vórtice de Rankine, este análisis muestra con claridad la diferencia entre el núcleo interno y la región exterior.

<math> \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} = \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z}
\end{vmatrix} = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0
\end{vmatrix} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \left( 22500 \dfrac{\rho^2}{R^2} \right) \vec{e}_z = \dfrac{1}{\rho} \cdot 22500 \cdot \dfrac{2 \rho}{R^2} \vec{e}_z = \dfrac{45000}{R^2} \vec{e}_z, & \rho \in (0,250], \\ \dfrac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0
\end{vmatrix}= \dfrac{1}{\rho} \vec{0} = \vec{0}, & \rho \in (250,1000], \end{cases}
z \in [0,z_0 = 2800]
</math>

Dentro del núcleo, el rotacional es constante y distinto de cero, lo que confirma que el flujo se comporta como una rotación sólida con vorticidad uniforme. Esta característica implica que todas las partículas giran con la misma velocidad angular, evidenciando una distribución perfectamente homogénea de la rotación.
En la región exterior, el rotacional se anula, lo que indica un comportamiento totalmente irrotacional. En esta zona, el movimiento ya no es de rotación sólida, sino de tipo potencial, donde las partículas se desplazan siguiendo trayectorias circulares pero sin experimentar rotación local.

En conjunto, el rotacional permite distinguir con precisión ambas zonas: un núcleo con vorticidad constante y una envolvente externa sin vorticidad, caracterizando completamente la estructura del vórtice de Rankine en términos de su dinámica rotacional.
[[Archivo:Rotacionaaaal.jpg|400px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del rotacional del campo de velocidades.]]

<pre>
R = 250;
omega0 = 45000/R^2;

x = linspace(-300,300,25);
y = linspace(-300,300,25);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
RHO = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Uz = zeros(size(X));
Uz(RHO < R) = omega0;

figure
quiver3(X,Y,zeros(size(X)), zeros(size(X)), zeros(size(Y)), Uz, 1.5, 'LineWidth',1.2)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\omega_z')
title('Rotacional del campo de velocidad')
axis equal; grid on; view(30,30)
colormap turbo
</pre>

=== Campo escalar |∇ × v| ===
El campo escalar asociado al rotacional representa la magnitud de la vorticidad en cada punto del flujo. En el vórtice de Rankine, este valor es constante dentro del núcleo y nulo en la región exterior, coherente con la estructura idealizada del modelo.

<math>
\left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert
= \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert
= \sqrt{\,0^{2} + 0^{2} + \left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}\,}
= \sqrt{\left(\frac{45000}{R^{2}}\right)^{2}}
= \frac{45000}{R^{2}}
</math>

En la zona interior, la magnitud del rotacional resulta ser un valor constante, lo que confirma que el flujo posee una vorticidad uniforme característica de una rotación sólida. Esto indica que la intensidad de la rotación es la misma en todo el núcleo.
En la zona exterior, el campo escalar se anula, reflejando un movimiento irrotacional. En esta región no existe rotación local del fluido, a pesar de que las trayectorias sigan siendo circulares.

Este campo escalar permite visualizar de forma clara la distribución de la vorticidad en el vórtice de Rankine y delimitar con precisión la transición entre el núcleo rotante y la región exterior potencial.
[[Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg|600px|miniaturadeimagen|Mapa de colores del campo escalar |∇ × ⃗𝑣|]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800; ymax = 800; N = 400;
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega = zeros(size(rho));
omega(rho <= R & rho>0) = Gamma/(pi*R^2);

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega)
axis equal tight; set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar; cb.Label.String = '\omega (1/s)'; cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Magnitud de la vorticidad');

hold on
t = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(t), R*sin(t), '--k','LineWidth',1.5)

% Leyenda elegante
h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k');
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k');
legend([h1 h2], ...
{['Núcleo: \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f')], ...
'Exterior: \omega = 0'}, ...
'Location','northeast','Box','on','FontSize',11);

</pre>

==== ¿Dónde está concentrada la vorticidad? ====

La vorticidad, como se observa tanto gráfica como analíticamente se encuentra concentrada en el núcleo (<math>\rho > R</math>).

==== ¿Qué ocurre en la región exterior? ====

La región exterior del núcleo, (<math>\rho \le R</math>), esta región se llama flujo irrotacional porque, a pesar de existir velocidad tangencial, la vorticidad (rotación local) es nula.

=== Barca pequeña flotando en el vórtice. ===
La vorticidad, <math>\vec{\omega}</math> es la magnitud que describe cuánto rota o gira localmente el fluido en un punto, es decir, describe cuánto giran las partículas sobre sí mismas.

* Si <math>\omega > 0</math>, el fluido gira en sentido antihorario.
* Si <math>\omega = 0</math>, no hay rotación local, es decir, el fluido se mueve en el vórtice pero sin girar sobre sí mismo.

En el vórtice de Rankine:

* Dentro del núcleo (<math>\rho \le R</math>), <math>\omega = \text{cte} >0 </math>, la barca pequeña (a la que tratamos como una partícula) rota sobre sí misma.
* Fuera del núcleo (<math>\rho > R</math>), <math>\omega = 0</math>, la barca se mueve en el vórtice pero no gira sobre sí misma.

== Campo de presión y gradiente==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math> p(\rho,z) = \begin{cases} P_{0} + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho \le R,\\[6pt] P_{\infty} - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\,v_{\theta}^{2}(\rho) - \rho_{\text{aire}}\,g\,z, & \rho > R, \end{cases} \qquad \rho \in [0,1000]\,\text{m},\; z \in [0,z_{0}] = [0,2800]\,\text{m} </math> 
Considerando \( P_{0}=92000\,\text{Pa},\ P_{\infty}=101325\,\text{Pa},\ \rho_{\text{aire}}=1.225\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\ \text{y}\ g = 9.8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \)

=== Campo de presión===
El campo de presión describe cómo varía la presión en función de la distancia radial y de la altura dentro del vórtice. En el vórtice de Rankine, esta distribución se divide en dos zonas bien diferenciadas.

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
92000 + \dfrac{3969}{50000}\,\rho^{2} - \dfrac{2401}{200}\, z = 92000 + 0{,}07938\,\rho^{2} - 12{,}005\,z, & \rho \in [0,250],\\[6pt]
101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - \dfrac{2401}{200}\, z = 101325 - \dfrac{310078125}{\rho^{2}} - 12{,}005\,z, & \rho \in (250,1000],
\end{cases}
\qquad z \in [0,2800]
</math>

En el núcleo interior, la presión aumenta con el radio debido al régimen de rotación sólida. La aceleración centrífuga crece linealmente con la distancia al centro, lo que genera un incremento cuadrático de la presión hacia la periferia del núcleo. Además, la presión disminuye con la altura siguiendo la relación hidrostática habitual.
En la región exterior, donde el flujo es potencial, la presión presenta un comportamiento diferente: decrece al aumentar el radio, coherente con la reducción de la velocidad tangencial y la conservación de la circulación. Al igual que en el núcleo, existe un descenso lineal con la altura debido al efecto hidrostático.

Este campo de presión permite identificar el equilibrio entre las fuerzas centrífugas y el gradiente de presión, caracterizando la estructura del vórtice y diferenciando claramente la zona de rotación sólida de la región irrotacional exterior.
[[Archivo:Campodepresion64.jpg|600px|miniaturadeimagen| Mapa de colores sobre una sección vertical que pasa por el eje del vórtice.]]
<pre>
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225;
g = 9.81;

rho_max = 1000; z0 = 2800;
Nr = 500; Nz = 300;

rho = linspace(0, rho_max, Nr);
z = linspace(0, z0, Nz);
[RHO,Z] = meshgrid(rho,z);

p = presion(RHO, Z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g);
p_hPa = p/100;

figure;
imagesc(rho, z, p_hPa);
set(gca,'YDir','normal'); axis tight
xlabel('\rho (m)'); ylabel('z (m)');
title('Campo de presión p(\rho,z) [hPa]');
colormap(jet); colorbar

hold on
contour(rho, z, p_hPa, 15, 'k');

function p = presion(rho, z, R, Gamma, P0, Pinf, rho_air, g)
p = zeros(size(rho));
inside = (rho <= R);
p(inside) = P0 + 0.5*rho_air*(Gamma*rho(inside)/(2*pi*R^2)).^2 ...
- rho_air*g*z(inside);
p(~inside) = Pinf - 0.5*rho_air*(Gamma./(2*pi*rho(~inside))).^2 ...
- rho_air*g*z(~inside);
end
</pre>

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo en el suelo. ===
<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
= 101325 + \frac{310078125}{R^{+^2}} - 92000
= 4363{,}75\ \text{ Pa}
</math>

<math>
p_\infty - p_0 = 101325 - 92000 = 9325\ \text{ Pa}
</math>

=== diferencia de presión entre la presión atmosférica estándar y la depresión en el centro del ojo ===

=== Gradiente de presión ===
El gradiente de presión describe la dirección y la intensidad de las fuerzas que actúan sobre el fluido debidas a variaciones espaciales de la presión.

<math>
\nabla p(\rho,z) =
\frac{\partial p}{\partial \rho}\,\hat{e}_{\rho}
\;+\;
\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}\,\hat{e}_{\theta}
\;+\;
\frac{\partial p}{\partial z}\,\hat{e}_{z} =
\begin{cases}
0{,}15876\,\rho \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in [0,250] \\[4pt]
\dfrac{620156250}{\rho^{3}} \hat{e}_{\rho} - 12{,}005\ \hat{e}_{z}, & \text{si }\rho \in (250,1000]
\end{cases}
\quad \text{con } z \in [0,2800]
</math>

[[Archivo:Untitled64.jpg|550px|miniaturadeimagen|Gradiente de presión sobre sección vertical pasante por el eje.]]
<pre>
R = 250; vR = 90;
rho_air = 1.225; g = 9.81;
Gamma = 2*pi*R*vR;

x = linspace(-1000, 1000, 50);
z = linspace(0, 3000, 50);
[X,Z] = meshgrid(x,z);

% Gradiente radial
dPdr = rho_air*Gamma^2 ./ (4*pi^2*X.^3);
dPdr(abs(X)<250) = rho_air*(Gamma/(2*pi*R^2)).^2 .* X(abs(X)<250);

% Gradiente vertical
dPdz = -rho_air*g*ones(size(Z));

figure
quiver(X,Z,dPdr,dPdz,'r')
xlabel('x [m]'); ylabel('z [m]')
title('Gradiente de presión')
axis equal; grid on
axis([-500,500,0,1000])
xticks(-500:100:500)

</pre>

==== Análisis del gradiente de presión ====

A lo largo del modelo de vórtice de Rankine el gradiente varía de la siguiente forma: 
Dentro del núcleo \( \rho \in [0,250] \): 
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 > \rho \), el gradiente de presión es negativo.
*cuando \( \frac{12{,}005}{0{,}15876} = 75{,}617 < \rho \), el gradiente de presión es positivo.
Fuera del núcleo \( \rho \in (250,1000] \):
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 > \rho \), el gradiente de presión es positivo.
*cuando \( \frac{\sqrt[3]{620156250}}{12{,}005} = 372{,}431 < \rho \), el gradiente de presión es negativo.
El gradiente de presión es máximo en la frontera del núcleo (\( \rho = 250 \)):

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = 0,15876 \times 250 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = 620156250 / 250^3 - 12,005 = 27,685
</math>

<math>
\lim_{x \to 250^-} \nabla p(\rho,z) = \lim_{x \to 250^+} \nabla p(\rho,z) = \nabla p(250,z) = 27,685
</math>

Además, el gradiente de presión en el centro del núcleo
(\( \nabla p(0,z) = 0{,}15876 \cdot 0 - 12{,}005 = -12{,}005 \)) muestra cómo en el ojo del vórtice la presión disminuye rápidamente y, por ende, se califica como una zona de depresión a la que el aire es atraído.

Por otro lado la presión es constante y, por ende, la fuerza nula, en \( \rho = 75{,}617 \) y \( \rho = 372{,}431 \).

En un sentido físico, el gradiente de presión apunta predominantemente hacia el centro del vórtice porque la presión es mínima en su núcleo. Esto genera una fuerza centrípeta que atrae el aire radialmente hacia el ojo del vórtice. En el núcleo, la rotación sólida permite que el gradiente de presión y la aceleración centrífuga se equilibren, manteniendo un flujo estable y acelerado hacia el centro.

En el exterior, la disminución de la velocidad tangencial y el gradiente de presión ajustan el equilibrio con la aceleración centrífuga, evitando el colapso del flujo pero manteniendo la atracción hacia el ojo del tornado.

Además, el componente vertical permanece constante asociado al equilibrio hidrostático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=== Representación superficies isobáricas ===
La representación de las superficies isobáricas en p= 95000 Pa, p= 97000 Pa, p= 99000 Pa y p= 100000 Pa.

=== Fuerza neta sobre un área ===
La depresión en el núcleo del tornado genera fuerzas destructivas, la fuerza neta estimada hacia el centro sobre la fachada de una pequeña edificación, de área 𝐴 = 50 m², situada a una distancia 𝜌 = 3 4𝑅 del eje, considerando que la fachada está orientada perpendicularmente al flujo radial del tornado:
<math>
F = A \int_{3R/4}^{R} \nabla p \, d\rho
= 50 \int_{3R/4}^{R} 0{,}15876\,\rho \, d\rho
= 50 \left[ 0{,}15876 \,\frac{\rho^{2}}{2} \right]_{3R/4}^{R}
= 3{,}969 \left( R^{2} - \frac{9}{16}R^{2} \right)
= 3{,}969 \cdot \frac{7}{16} R^{2}
= 1{,}7364375 \cdot 250^{2}
= 108527{,}3438 \,\text{N}
\approx 108{,}5\,\text{kN}
\approx 10{,}85 \, t_{f}
</math>

La fachada se considera plana y orientada perpendicularmente al flujo radial: por tanto solo interesa la componente radial del gradiente de presión ∂p/∂ρ, porque es la componente normal que ejerce presión sobre la cara. La fuerza obtenida representa el efecto de la depresión central del tornado sobre una fachada expuesta. En un vórtice como el de Rankine, la presión disminuye conforme se aproxima al eje debido a la aceleración centrífuga del flujo. Por ello, entre los radios 3R/4 existe una diferencia de presión que actúa de forma neta hacia el interior del vórtice.

Cuando la fachada está orientada perpendicular al flujo radial, esta diferencia de presión se traduce en una fuerza normal que tiende a succionar la estructura hacia el centro del tornado. El resultado obtenido muestra que, incluso para una superficie relativamente pequeña, la depresión generada por el vórtice puede producir cargas significativas, capaces de comprometer la integridad de muros ligeros o paneles no reforzados.

En conjunto, esta fuerza cuantifica el impacto directo de la baja presión asociada al núcleo del tornado sobre una edificación, poniendo de manifiesto el papel dominante del gradiente de presión en los daños estructurales durante este tipo de fenómenos extremos.

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T16:32:54Z

Lucia.riesgo: /* Rotacional del campo de velocidad */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T16:32:37Z

Lucia.riesgo: /* Rotacional del campo de velocidad */

Archivo:Rotacionaaaal.jpg

2025-12-05T16:31:47Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T16:30:58Z

Lucia.riesgo: /* Rotacional del campo de velocidad */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T16:30:23Z

Lucia.riesgo: /* Rotacional del campo de velocidad */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T16:21:57Z

Lucia.riesgo: /* Suficiencia del Plano Horizontal */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:49:50Z

Lucia.riesgo: /* Gradiente de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:49:22Z

Lucia.riesgo: /* Gradiente de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:48:17Z

Lucia.riesgo: /* Gradiente de presión */

Archivo:Untitled64.jpg

2025-12-05T15:46:53Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:45:49Z

Lucia.riesgo: /* Gradiente de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:45:05Z

Lucia.riesgo: /* gradiente de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:44:16Z

Lucia.riesgo: /* gradiente de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:33:30Z

Lucia.riesgo: /* Fuerza neta sobre un área */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:33:20Z

Lucia.riesgo: /* Representación superficies isobáricas */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:20:20Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

Archivo:Campodepresion64.jpg

2025-12-05T15:19:37Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T15:19:02Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:48:35Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión y gradiente */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:48:22Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:48:14Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión y gradiente */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:47:18Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:47:06Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión y gradiente */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:46:51Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:46:38Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:43:53Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:37:27Z

Lucia.riesgo: /* Barca pequeña flotando en el vórtice. */

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2025-12-05T14:36:47Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

El rotacional representado en la imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9; % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);
}}

===Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine===

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==
A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano horizontal]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2025-12-05T14:35:14Z

Lucia.riesgo: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

El rotacional representado en la imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9; % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);
}}

===Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine===

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==
==Campo de presión==
A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano horizontal]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2025-12-05T14:34:52Z

Lucia.riesgo: /* Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

El rotacional representado en la imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9; % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);
}}

===Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine===

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano horizontal]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:33:37Z

Lucia.riesgo: /* Campo escalar |∇ × ⃗𝑣| */

Archivo:Magnitudvorticidad64.jpg

2025-12-05T14:32:23Z

Lucia.riesgo:

El Vórtice de Rankine (grupo 64)

2025-12-05T14:31:56Z

Lucia.riesgo: /* Campo escalar |∇ × ⃗𝑣| */