La Catenaria (grupo 57)

2025-12-06T20:26:45Z

Lucia.candel:

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
Aunque la catenaria y la parábola proceden de funciones matemáticas muy distintas, cuando se representan gráficamente dan lugar a curvas sorprendentemente parecidas. Esta similitud visual es tan notable que, durante siglos, se asumió erróneamente que ambas curvas eran la misma. Personajes como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci interpretaron que la forma de los cables o cadenas colgantes seguía una parábola, cuando en realidad se ajusta a una catenaria.

La confusión se mantuvo hasta finales del siglo XVII, cuando el desarrollo del cálculo permitió analizar estas curvas con mayor rigor. Matemáticos como Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens lograron obtener la ecuación exacta de la catenaria y demostraron de forma concluyente que, aunque pueda recordar a una parábola, su naturaleza matemática es diferente.
==Representación en MATLAB==
{{matlab|codigo=
A = 2; % Parámetro de la catenaria
x = linspace(-1, 1, 200); % Intervalo de representación
% Definición de funciones
caten = A * cosh(x / A);
parab = A + (x.^2) / (2*A);
txt1 = 'Catenaria: y=Acosh(x/A)';
txt2='Parabola: y=A+A*(x.^2/2*A)';
figure
h1 = plot(x, caten, 'r-', 'LineWidth', 1.8); % Catenaria
hold on
h2 = plot(x, parab, 'b--', 'LineWidth', 1.8); % Parábola
grid on
titulo = title('Comparación entre catenaria y parábola');
fontsize(titulo, 20, 'points')

lgd = legend(txt1, txt2, 'Interpreter', 'latex', 'Location', 'north');
fontsize(lgd, 12, 'points')

ejex = xlabel('
𝑥
x', 'Interpreter', 'latex');
fontsize(ejex, 13, 'points')

ejey = ylabel('
𝑦
y', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 0);
fontsize(ejey, 13, 'points')

hold off
}}

===Gráfico===

[[Archivo:catenariavsparabola.png]]

En la figura se aprecia la catenaria (representada en rojo) comparada con la parábola (en azul). En el intervalo elegido y para el valor
𝐴=2
A=2, ambas curvas parecen prácticamente coincidir a simple vista.

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
La curva generatriz del catenoide viene dada por:
<center>
<math>
R(t)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)
</math>
</center>

Al girarla alrededor del eje <math>x_3</math>, se obtiene la parametrización:
 
<center>
<math>
x_1(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\cos\theta;\quad
x_2(t,\theta)=3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\sin\theta;\quad
x_3(t,\theta)=t
</math>
</center>

En forma vectorial:
 
<center>
<math>
\boldsymbol{\gamma}(t,\theta)=
\big(
3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;
3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;
t
\big)
</math>
</center>

==Distribución de la densidad y cálculo de la masa==

[[Archivo:DensidadLaCatenariaG57.png|700 px|miniaturadeimagen|right|Distribución de la densidad sobre el Catenoide]]

Las derivadas parciales son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}=
(\sinh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;\sinh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;1),\quad
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;0)
</math>
</center>

El producto vectorial y su norma (elemento de área) son:
 
<center>
<math>
\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial t}\times\frac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial \theta}=
(-3\cosh(\tfrac{t}{3})\cos\theta,\;-3\cosh(\tfrac{t}{3})\sin\theta,\;3\cosh(\tfrac{t}{3})\sinh(\tfrac{t}{3})),\quad
dS=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right) dt\,d\theta
</math>
</center>

La densidad de la superficie es:
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \quad\longrightarrow\quad f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
</math>
</center>

{{matlab|codigo=
%% Distribución de la densidad sobre un catenoide
% Parámetros
A = 3; % parámetro del catenoide
N = 200; % número de puntos en cada dirección
t = linspace(-1,1,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);

% Generamos mallas 2D
[T, Theta] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización del catenoide
X1 = A*cosh(T/A).*cos(Theta);
X2 = A*cosh(T/A).*sin(Theta);
X3 = T;

% Función de densidad f(x1,x2,x3) = x3^2 / (1 + x1^2 + x2^2)
F = X3.^2 ./ (1 + X1.^2 + X2.^2);

% Gráfico de la densidad
figure
surf(X1,X2,X3,F)
shading interp
colorbar
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
zlabel('x_3')
title('Distribución de la densidad sobre el catenoide')
view(45,30)
}}

Por tanto, la integral de la masa queda:
 
<center>
<math>
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^{1} f(t,\theta) dS
=6\pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1+9\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} dt
</math>
</center>

==Código MATLAB para calcular la masa==
{{matlab|codigo=
% Cálculo de la masa del catenoide por método de rectángulos
A = 3;
a = -1; b = 1;
N = 20000; % número de subintervalos
dt = (b-a)/N; % ancho de cada rectángulo
tmid = a + (0.5:1:N-0.5)*dt; % puntos medios

% Integrando
integrando = ( tmid.^2 .* cosh(tmid./A).^2 ) ./ ( 1 + A^2 .* cosh(tmid./A).^2 );

% Suma de áreas
I = sum(integrando)*dt;

% Masa total
M = 6*pi*I;
fprintf('La masa aproximada es M = %.5f\n', M);
}}
==Resultado de la masa==

Aplicando el código MATLAB, se obtiene la masa aproximada del catenoide:

 
<center>
<math>
\mathbf{M} \approx 1.26465
</math>
</center>

Esta masa corresponde a la integral de la densidad sobre la superficie:

 
<center>
<math>
M = 6 \pi \int_{-1}^{1} \frac{t^2 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}{1 + 9 \cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt
</math>
</center>

donde se ha tomado <math>A = 3</math> y los intervalos <math>t \in [-1,1]</math>, <math>\theta \in [0,2\pi]</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-03T21:59:14Z

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