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Estudio del trazado de la línea de alta velocidad Burgos-Vitoria

2015-11-29T17:07:03Z

Lucasas:

{{ TrabajoSIG | Estudio del trazado la línea de alta velocidad Burgos-Vitoria | Pedro Orihuela Gómez Alvaro Gutiérrez Vázquez Eduardo Hernando Fernández Pablo Rodríguez Sandoval | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción ==
El tren de alta velocidad es el transporte terrestre con más crecimiento en la última década. Los países más desarrollados están apostando fuerte por este sistema. España es uno de los países donde este crecimiento es más marcado, y es que a pesar de la crisis económica, las mayores inversiones en infraestructuras por parte del gobierno español son destinadas al AVE. Tanta es la magnitud de la apuesta por potenciarlo que el presupuesto destinado a ello alcanza los 10.129 millones de euros, estando 3.679 millones (más de un 36%) destinados al sistema de Alta Velocidad. Por tanto, adquiere gran importancia los estudios llevados a cabo para desarrollar este servicio.

El objeto de este trabajo es estudiar el trazado de la Y vasca, es decir, la construcción del eje que una Vitoria- Bilbao- San Sebastián. Cabe destacar que este trazado es uno de los más importantes en inversión que se están llevando a cabo, tan solo por detrás del corredor mediterráneo. No será una vía para llevar únicamente viajeros, sino que además servirá para transportar mercancías, lo cual puede suponer un impulso importante para la economía de estas zonas e incluso de zonas intermedias. Este tramo es de gran importancia ya que reduciría la duración de los trayectos Bilbao-Madrid y Vitoria-Madrid a la mitad de la actual. Incluso la línea de alta velocidad continuará desde San Sebastián a Francia, por lo que se podrá viajar entre dos grandes capitales europeas como son Madrid y París en poco más de cinco horas y media. Este trazado tiene previsto comenzar su servicio en el año 2019. 

[[Archivo:Yvasca.jpg|marco|centro|Trazado de la Y vasca]] 

El estudio se centra concretamente en unir la línea de alta velocidad que tiene previsto llegar hasta Burgos con la futura Y vasca, es decir, se unirá la ciudad castellana con Vitoria que será donde comenzará el trazado vasco. 

== Metodología ==
El estudio se dividirá en dos fases principales: en primer lugar tras analizar una serie de características del terreno se elegirán unos posibles trazados por el que podrá discurrir la vía, para después en la segunda y última fase tras utilizar una serie de criterios se elegirá el trazado más apto de los propuestos. 

=== Criterio para los trazados ===
Para realizar los trazados de la vía se deberán tener en cuenta algunos aspectos como:
* Deberán pasar a una distancia prudencial de los núcleos urbanos para evitar expropiaciones y no causar demasiadas molestias a los vecinos del lugar.
* No deberá pasar por zonas de protección medioambiental.
* Deberá alejarse una distancia mínima de las carreteras autonómicas, nacionales y autovías.
* Deberán cruzarse a distinto nivel los ríos y los embalses.
* Deberán evitarse las centrales eléctricas.
Por ello se descargarán los MDT 25 del terreno y cada uno de los BTN 100 con los mapas antes citados para poder cumplir con todos los criterios. En el caso de los BTN se han tenido que recortar debido a que eran mapas nacionales. Para ello, por ser capas vectoriales se ha empleado el comando ''“cortar”'' y utilizando una capa de corte limitada a la zona de estudio en las coordenadas geográficas elegidas, comprobándose que cada capa está en dicho sistema de coordenadas. Mientras que los MDT se han combinado para unirlos mediante el comando ''“clipper”'' por su carácter master. 

[[Archivo:MDT.png|-10px|marco|centro|MDT combinado]] 

Para guardar las distancias con los núcleos urbanos y las carreteras, se realizarán buffers a 750 m y 75 m, respectivamente. 

[[Archivo:1buffer.jpg|marco|centro|Buffers de nucleos urbanos y viales sobre MDT]] 

Por último, se realizarán los trazados que se crean más oportunos con estos criterios. 

[[Archivo:2trazprop.png|marco|centro|Trazados propuestos]] 

=== Criterios para la elección del trazado. ===
Para la elección del trazado se realizará un índice de susceptibilidad basado en las pendientes, orientaciones y geología. Se reclasificará el terreno otorgándole un peso distinto a cada una de las características, para ello se pasarán los archivos de vectorial a grass, de donde se convertirán a raster para poder reclasificarlos mediante las siguientes reglas de reclasificación que deberán estar en formato ''.txt'':

Ipendientes 
0 thru 10 = 1 
10 thru 20 = 4 
20 thru 30 = 8 
30 thru 40 = 10 
40 thru 50 = 6 
50 thru 60 = 2 
* = 1 
end

Iorientacion 
0 thru 22 = 8 
22 thru 67 = 10 
67 thru 112 = 8 
112 thru 157 = 6 
157 thru 202 = 4 
202 thru 247 = 2 
247 thru 292 = 4 
292 thru 337 = 6 
337 thru 360 = 8 
end

Igeologico 
70 79 82 = 1 
68 77 81 90 101= 2 
75 78 83 87 89 91 99 = 2,5 
74 84 102 = 3 
98 = 4 
72 73= 5 
end
 

[[Archivo:Formi.png|centro]]
 

De este modo se podrá crear el índice de susceptibilidad deseado, con el cual se podrá elegir el trazado óptimo tras haber realizado un buffer de 100 m a todos ellos y hallar la media de la susceptibilidad. Para conseguir dicha media, se ha usado de entre todas las opciones de raster, la de ''“estadísticas de zona”'' que ha permitido obtener la media para cada polígono de una capa vectorial, en este caso el polígono de buffer, sobre el raster de susceptibilidad. El trazado con mejor media será el elegido. 

== Resultados ==
Tras analizar todos los criterios antes citados se han propuesto los siguientes tres trazados junto a los BTN superpuestos: 

[[Archivo:Trazfinal.png|marco|centro|Trazados propuestos ]] 

Siguiendo los índices de susceptibilidad queda la siguiente situación: 

[[Archivo:Traz1.png|marco|centro|Trazado 1 con plano de la zona con el índice de susceptibilidad]]
[[Archivo:Traz2.png|marco|centro|Trazado 2 con plano de la zona con el índice de susceptibilidad]]
[[Archivo:Traz3.png|marco|centro|Trazado 3 con plano de la zona con el índice de susceptibilidad]] 

Por tanto se elegirá el trazado que tenga mayores zonas azules y verdes acorde a la leyenda de la anterior figura. Para ello se recortará cada trazado y se hará una media de los valores de cada trazado, aquel que tenga una media mayor será el elegido. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

{| class="wikitable"
|-
! Trazado !! Media !! Longitud (Km.)
|-
| 1 || 0,4739 || 111,337
|-
| 2 || 0,4029 || 114,476
|-
| 3 || 0,4057 || 102,637
|}

El trazado elegido será el 1 de 111,337 Km. debido a que es el que tiene una mayor media. 

[[Archivo:Ultima.png|marco|centro|Trazado bajo índices de susceptibilidad]] 

== Conclusiones ==
Después de analizar todos los criterios antes expuestos se ha llegado a la conclusión de que el mejor trazado es el trazado 1 al tener mejor media que los otros dos restantes.
En el futuro se aconseja que se analice en profundidad y se hagan las modificaciones oportunas para que el trazado tenga unos movimientos de tierras que permitan su compensación para optimizar costes y que se realice la vía siguiendo la normativa pertinente regulando los radios mínimos, el peralte máximo y la pendiente máxima. También deberá realizarse drenaje en todos los pasos coincidentes con cauces de ríos.
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Estudio del trazado de la línea de alta velocidad Burgos-Vitoria

2015-11-29T16:53:50Z

Lucasas: Se quiere llevar a cabo el trazado del tramo de vía del AVE que una Burgos con Vitoria para así poder enlazar la Y vasca. Para ello se han descargado los BTN necesarios para conocer todos los datos del terreno entre ellos núcleos de pob

{{ TrabajoSIG | Estudio del trazado la línea de alta velocidad Burgos-Vitoria | Pedro Orihuela Gómez Alvaro Gutiérrez Vázquez Eduardo Hernando Fernández Pablo Rodríguez Sandoval | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción ==
El tren de alta velocidad es el transporte terrestre con más crecimiento en la última década. Los países más desarrollados están apostando fuerte por este sistema. España es uno de los países donde este crecimiento es más marcado, y es que a pesar de la crisis económica, las mayores inversiones en infraestructuras por parte del gobierno español son destinadas al AVE. Tanta es la magnitud de la apuesta por potenciarlo que el presupuesto destinado a ello alcanza los 10.129 millones de euros, estando 3.679 millones (más de un 36%) destinados al sistema de Alta Velocidad. Por tanto, adquiere gran importancia los estudios llevados a cabo para desarrollar este servicio.

El objeto de este trabajo es estudiar el trazado de la Y vasca, es decir, la construcción del eje que una Vitoria- Bilbao- San Sebastián. Cabe destacar que este trazado es uno de los más importantes en inversión que se están llevando a cabo, tan solo por detrás del corredor mediterráneo. No será una vía para llevar únicamente viajeros, sino que además servirá para transportar mercancías, lo cual puede suponer un impulso importante para la economía de estas zonas e incluso de zonas intermedias. Este tramo es de gran importancia ya que reduciría la duración de los trayectos Bilbao-Madrid y Vitoria-Madrid a la mitad de la actual. Incluso la línea de alta velocidad continuará desde San Sebastián a Francia, por lo que se podrá viajar entre dos grandes capitales europeas como son Madrid y París en poco más de cinco horas y media. Este trazado tiene previsto comenzar su servicio en el año 2019. 

[[Archivo:Yvasca.jpg|marco|centro|Trazado de la Y vasca]] 

El estudio se centra concretamente en unir la línea de alta velocidad que tiene previsto llegar hasta Burgos con la futura Y vasca, es decir, se unirá la ciudad castellana con Vitoria que será donde comenzará el trazado vasco. 

== Metodología ==
El estudio se dividirá en dos fases principales: en primer lugar tras analizar una serie de características del terreno se elegirán unos posibles trazados por el que podrá discurrir la vía, para después en la segunda y última fase tras utilizar una serie de criterios se elegirá el trazado más apto de los propuestos. 

=== Criterio para los trazados ===
Para realizar los trazados de la vía se deberán tener en cuenta algunos aspectos como:
* Deberán pasar a una distancia prudencial de los núcleos urbanos para evitar expropiaciones y no causar demasiadas molestias a los vecinos del lugar.
* No deberá pasar por zonas de protección medioambiental.
* Deberá alejarse una distancia mínima de las carreteras autonómicas, nacionales y autovías.
* Deberán cruzarse a distinto nivel los ríos y los embalses.
* Deberán evitarse las centrales eléctricas.
Por ello se descargarán los MDT 25 del terreno y cada uno de los BTN 100 con los mapas antes citados para poder cumplir con todos los criterios. En el caso de los BTN se han tenido que recortar debido a que eran mapas nacionales. Para ello, por ser capas vectoriales se ha empleado el comando ''“cortar”'' y utilizando una capa de corte limitada a la zona de estudio en las coordenadas geográficas elegidas, comprobándose que cada capa está en dicho sistema de coordenadas. Mientras que los MDT se han combinado para unirlos mediante el comando ''“clipper”'' por su carácter master. 

[[Archivo:MDT.png|-10px|marco|centro|MDT combinado]] 

Para guardar las distancias con los núcleos urbanos y las carreteras, se realizarán buffers a 750 m y 75 m, respectivamente. 

[[Archivo:1buffer.jpg|marco|centro|Buffers de nucleos urbanos y viales sobre MDT]] 

Por último, se realizarán los trazados que se crean más oportunos con estos criterios. 

[[Archivo:2trazprop.png|marco|centro|Trazados propuestos]] 

=== Criterios para la elección del trazado. ===
Para la elección del trazado se realizará un índice de susceptibilidad basado en las pendientes, orientaciones y geología. Se reclasificará el terreno otorgándole un peso distinto a cada una de las características, para ello se pasarán los archivos de vectorial a grass, de donde se convertirán a raster para poder reclasificarlos mediante las siguientes reglas de reclasificación que deberán estar en formato ''.txt'':

𝐼𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 
0 thru 10 = 1 
10 thru 20 = 4 
20 thru 30 = 8 
30 thru 40 = 10 
40 thru 50 = 6 
50 thru 60 = 2 
* = 1 
end

𝐼𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
0 thru 22 = 8 
22 thru 67 = 10 
67 thru 112 = 8 
112 thru 157 = 6 
157 thru 202 = 4 
202 thru 247 = 2 
247 thru 292 = 4 
292 thru 337 = 6 
337 thru 360 = 8 
end

𝐼𝑔𝑒𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑜 
70 79 82 = 1 
68 77 81 90 101= 2 
75 78 83 87 89 91 99 = 2,5 
74 84 102 = 3 
98 = 4 
72 73= 5 
end
 

[[Archivo:Formi.png|centro]]
 

De este modo se podrá crear el índice de susceptibilidad deseado, con el cual se podrá elegir el trazado óptimo tras haber realizado un buffer de 100 m a todos ellos y hallar la media de la susceptibilidad. Para conseguir dicha media, se ha usado de entre todas las opciones de raster, la de ''“estadísticas de zona”'' que ha permitido obtener la media para cada polígono de una capa vectorial, en este caso el polígono de buffer, sobre el raster de susceptibilidad. El trazado con mejor media será el elegido. 

== Resultados ==
Tras analizar todos los criterios antes citados se han propuesto los siguientes tres trazados junto a los BTN superpuestos: 

[[Archivo:Trazfinal.png|marco|centro|Trazados propuestos ]] 

Siguiendo los índices de susceptibilidad queda la siguiente situación: 

[[Archivo:Traz1.png|marco|centro|Trazado 1 con plano de la zona con el índice de susceptibilidad]]
[[Archivo:Traz2.png|marco|centro|Trazado 2 con plano de la zona con el índice de susceptibilidad]]
[[Archivo:Traz3.png|marco|centro|Trazado 3 con plano de la zona con el índice de susceptibilidad]] 

Por tanto se elegirá el trazado que tenga mayores zonas azules y verdes acorde a la leyenda de la anterior figura. Para ello se recortará cada trazado y se hará una media de los valores de cada trazado, aquel que tenga una media mayor será el elegido. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

{| class="wikitable"
|-
! Trazado !! Media !! Longitud (Km.)
|-
| 1 || 0,4739 || 111,337
|-
| 2 || 0,4029 || 114,476
|-
| 3 || 0,4057 || 102,637
|}

El trazado elegido será el 1 de 111,337 Km. debido a que es el que tiene una mayor media. 

[[Archivo:Ultima.png|marco|centro|Trazado bajo índices de susceptibilidad]] 

== Conclusiones ==
Después de analizar todos los criterios antes expuestos se ha llegado a la conclusión de que el mejor trazado es el trazado 1 al tener mejor media que los otros dos restantes.
En el futuro se aconseja que se analice en profundidad y se hagan las modificaciones oportunas para que el trazado tenga unos movimientos de tierras que permitan su compensación para optimizar costes y que se realice la vía siguiendo la normativa pertinente regulando los radios mínimos, el peralte máximo y la pendiente máxima. También deberá realizarse drenaje en todos los pasos coincidentes con cauces de ríos.
[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:1buffer.jpg

2015-11-29T16:53:07Z

Lucasas:

Archivo:Formi.png

2015-11-29T16:39:44Z

Lucasas:

Archivo:Ultima.png

2015-11-29T16:36:18Z

Lucasas:

Archivo:Traz3.png

2015-11-29T16:35:18Z

Lucasas:

Archivo:Traz2.png

2015-11-29T16:34:38Z

Lucasas:

Archivo:Traz1.png

2015-11-29T16:33:32Z

Lucasas:

Archivo:Trazfinal.png

2015-11-29T16:31:39Z

Lucasas:

Archivo:2trazprop.png

2015-11-29T16:29:35Z

Lucasas:

Archivo:Trazprop.png

2015-11-29T16:27:16Z

Lucasas:

Archivo:Buffers1.png

2015-11-29T16:25:22Z

Lucasas:

Archivo:MDT.png

2015-11-29T16:18:19Z

Lucasas: MDT combinado

MDT combinado

Archivo:Yvasca.jpg

2015-11-29T16:13:39Z

Lucasas: Trazado de la Y vasca

Trazado de la Y vasca

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T22:47:31Z

Lucasas: Página reemplazada por « = NO =»

= NO =

Ecuación de Ondas Grupo 18-A

2015-05-14T22:46:21Z

Lucasas: Página creada con « {{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 | Lucas Fabre...»

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El código según Euler explícito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicación de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una gráfica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamiento del medio.
A continuación se dibujan las gráficas de la energía para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
= Energía del Cable sujeto a una Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot) Hz. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerza con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así esta fuerza se va "acumulando" poco a poco.
En cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial.
Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

=Energía del Cable sujeto al Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

Para el valor b= 2 se muestra un cable estático y con poca energía salvo en los instantes finales que se dispara, en cambio para el valor b=-2 se muestra un cable con una energía que oscila sin ningún patrón aparente entre dos valores acotados.

==Resolución por Fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|700px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|700px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png|1050px]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:56:49Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
= Energía del Cable sujeto a una Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerzas con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así esta fuerza se va "acumulando" poco a poco.
en cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial.
Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

=Energía del Cable sujeto al Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

Para el valor b= 2 se muestra un cable estático y con poca energía salvo en los instantes finales que se dispara, en cambio para el valor b=-2 se muestra un cable con una energía que oscila sin ningún patrón aparente entre dos valores acotados.

==Resolución por Fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|700px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|700px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png|1050px]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:52:42Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
= Energía del Cable sujeto a una Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerzas con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así esta fuerza se va "acumulando" poco a poco.
en cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial.
Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

=Energía del Cable sujeto al Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

==Resolución por fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|700px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|700px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png|1050px]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:47:33Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
= Energía del Cable sujeto a una Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerzas con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así esta fuerza se va "acumulando" poco a poco.
en cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial.
Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

=Energía del Cable sujeto al Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

==Resolución por fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:37:36Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
= Energía del Cable sujeto a una Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

=Energía del Cable sujeto al Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

==Resolución por fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

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[[Categoría:ED14/15]]
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Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:34:26Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
= Energía del Cable sujeto a una Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

=Energía del Cable sujeto al Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

==Resolución por fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
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Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:28:29Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
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[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
=Cable sujeto a Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

=Cable sujeto a Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

==Resolución por fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:GraficoEjercicio7.png

2015-05-14T18:27:25Z

Lucasas:

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:24:20Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
=Cable sujeto a Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

=Cable sujeto a Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

==Resolución por fourier==

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:17:18Z

Lucasas: /* */

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G18 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santacruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
=Cable sujeto a Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]
=Cable sujeto a Aparato=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

=== ===

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-14T18:15:42Z

Lucasas: /* ECUACION DE ONDAS G18 */

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G18 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santacruz }}

=Ecuación de Onda=
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=Modelización por el Método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Método de Euler expllicito y Heun=

==Euler ==
El codigo segun Euler explicito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Heun ==

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

[[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la Energia del Cable=

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

=Cable en Medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]
=Cable sujeto a Estructura=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]
=== ===

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

=== ===

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:GraficoEjercicio5.png

2015-05-14T18:09:05Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 7 (2).png

2015-05-14T18:08:16Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 7 (1).png

2015-05-14T18:07:43Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 2 euler explicitor.png

2015-05-14T17:49:34Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 2 euler explicito.png

2015-05-14T17:46:25Z

Lucasas:

Archivo:Formula metodo heun.png

2015-05-14T17:43:47Z

Lucasas:

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-12T12:49:03Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G18 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santacruz }}
== ECUACION DE ONDAS G18 ==

=== ===
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=== ===

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|1000px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png]]
=== ===

lo mimo con Heun

=== ===

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|1000px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png]]
=== ===

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|1000px]]
=== ===

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periodicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que F0 = 1/L+0.01 Hz, la energ´ıa cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|1000px]]

Se repite el experimento con F0 = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

[[Archivo:GraficoEjercicio6.png]]
=== ===

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energ´ıa para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

=== ===

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|1000px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio8.png]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:GraficoEjercicio8.png

2015-05-12T12:31:33Z

Lucasas:

Archivo:GraficoEjercicio6.png

2015-05-12T12:31:11Z

Lucasas:

Archivo:GraficoEjercicio4.png

2015-05-12T12:30:38Z

Lucasas:

Archivo:GraficoEjercicio2.png

2015-05-12T12:30:24Z

Lucasas:

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-12T12:29:16Z

Lucasas:

{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G18 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marin Lopez-Santacruz }}
== ECUACION DE ONDAS G18 ==

=== ===
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=== ===

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|1000px]]
=== ===

lo mimo con Heun

=== ===

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|1000px]]
=== ===

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|1000px]]
=== ===

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periodicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que F0 = 1/L+0.01 Hz, la energ´ıa cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|1000px]]

Se repite el experimento con F0 = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

=== ===

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energ´ıa para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

=== ===

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|1000px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|1000px]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:Codigo ejercicio 8 (3).png

2015-05-12T12:19:16Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 8 (2).png

2015-05-12T12:18:53Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 8 (1).png

2015-05-12T12:18:28Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 6 (2).png

2015-05-12T12:18:03Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 6 (1).png

2015-05-12T12:17:25Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 5 (2).png

2015-05-12T12:16:27Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 5 (1).png

2015-05-12T12:16:06Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 4 (3).png

2015-05-12T12:15:45Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 4 (2).png

2015-05-12T12:15:23Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 4 (1).png

2015-05-12T12:14:59Z

Lucasas:

Archivo:Codigo ejercicio 2 .png

2015-05-12T12:14:29Z

Lucasas:

Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

2015-05-12T11:40:54Z

Lucasas: /* ECUACION DE ONDAS G18 */

== ECUACION DE ONDAS G18 ==

=== ===
Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t)
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

=== ===

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

=== ===

lo mimo con Heun

=== ===

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

[[Archivo:formula_energia.png|300px]]

mediante el método de diferencias finitas

=== ===

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio.
A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

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Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periodicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que F0 = 1/L+0.01 Hz, la energ´ıa cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

Se repite el experimento con F0 = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

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Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energ´ıa para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

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por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
3x/10 ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =
3/2 – 3x/20 ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0