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2025-12-06T20:01:37Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T19:58:57Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicaciones en la Ingeniería Civil.jpg|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribución de cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente de la torre Londres.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Torre]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolicas varias.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólicas varias]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador de energia solar1.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar1]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Aplicaciones en la Ingeniería Civil.jpg

2025-12-06T19:38:06Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T19:37:43Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicaciones en la Ingeniería Civil.jpg|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribución de cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente de la torre en Londres.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolicas varias.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólicas varias]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador de energia solar1.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar1]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T19:30:06Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribución de cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente de la torre en Londres.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolicas varias.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólicas varias]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador de energia solar1.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar1]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T19:26:29Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribución de cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente Brooklyn en Nueva York.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolicas varias.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólicas varias]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador de energia solar1.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar1]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Distribución de cargas parabola1.jpeg

2025-12-06T18:45:56Z

Lu.alvarez:

Archivo:Distribución de cargas parabola.jpeg

2025-12-06T17:58:54Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T17:58:24Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo: Distribución de cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo: Puente Brooklyn en Nueva York.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolicas varias.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólicas varias]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador de energia solar1.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar1]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Concentrador de energia solar1.jpeg

2025-12-06T17:50:27Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T17:50:04Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo: Puente Brooklyn en Nueva York.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolicas varias.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólicas varias]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador de energia solar1.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar1]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Antena parabolicas varias.jpg

2025-12-06T17:47:30Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T17:46:23Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo: Puente Brooklyn en Nueva York.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolicas varias.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólicas varias]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:PuenteBrooklynenNuevaYork.jpeg

2025-12-06T17:42:19Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T17:41:20Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo: Puente Brooklyn en Nueva York.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:PuentecolganteBrookling.jpeg

2025-12-06T17:40:02Z

Lu.alvarez:

Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg

2025-12-06T17:35:13Z

Lu.alvarez:

Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg

2025-12-06T17:30:31Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-06T17:29:55Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:EntradaparaelTowerBridge-KlookEstadosUnidos.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:PuenteDeLaBarqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Hollywood Bowl.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Hollywood Bowl]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-04T11:30:19Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente_de_la_Torre-LDN.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Torre]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-04T11:28:01Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente de la Torre-LDN.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Torre]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-04T11:26:30Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente de la Torre-LDN.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Torre]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Puente de la Torre.jpg

2025-12-04T11:24:14Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-04T11:23:59Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente de la Torre.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Torre]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Museo Soumaya.jpg

2025-12-04T11:13:10Z

Lu.alvarez:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-04T11:12:38Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente Golden Gate.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente Golden Gate]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Gracias a su solidez y a la eficiencia con la que trabajan las cargas, las estructuras parabólicas resultan especialmente adecuadas para cubrir grandes áreas.

2.1. Estadios y auditorios. Además de repartir las cargas de manera uniforme, (tal como se mencionó anteriormente), este tipo de estructuras ofrece la ventaja adicional de dirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora notablemente la acústica del espacio, como ocurre en el Estadio Hollywood Bowl en Los Ángeles.
[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. Nuevamente, la capacidad de la forma parabólica para distribuir cargas permite que el peso se transfiera eficazmente hacia los pilares. Esto hace posibles construcciones más elevadas y visualmente atractivas, como iglesias o edificios emblemáticos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso de las geometrías parabólicas aparece en el diseño de fachadas que generan efectos visuales dinámicos mientras regulan la entrada de luz natural. Un ejemplo de ello es el Museo Soumaya en Ciudad de México.

[[Archivo:Museo Soumaya.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo Soumaya]]

3.2. Ventilación y luz natural. Las formas parabólicas permiten un flujo de aire e iluminación más eficiente, lo que contribuye a mejorar la sostenibilidad de los edificios.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio de la parábola resulta fundamental para guiar y canalizar fluidos de manera eficiente.

4.1. Acueductos históricos. Los acuerdos romanos son un ejemplo clásico: empleaban curvas parabólicas para garantizar la estabilidad de la estructura y transportar agua a grandes distancias.

4.2. Diseños modernos. En la actualidad, los canales de agua aprovechan diseños parabólicos para optimizar el flujo, reduciendo la pérdida de energía causada por la fricción y la resistencia del agua.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las estructuras parabólicas también se emplean en zonas sísmicas debido a su capacidad para disipar energía durante movimientos de tierra.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos pueden deformarse de manera controlada durante un sismo, lo que permite que la estructura mantenga su integridad sin colapsar.

5.2. Diseños innovadores. En edificios modernos, se utilizan formas parabólicas para reforzar elementos clave, reduciendo así los daños ocasionados por lo terremotos.

=== Otras aplicaciones en ingeniería ===

Una de las características esenciales de la parábola es su poder de reflexión: cualquier rayo que llegue de forma paralela a su eje se desvía de tal manera que termina pasando por su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto explica su uso habitual en tecnologías destinadas a concentrar y dirigir la energía, lo que permite múltiples aplicaciones, entre las cuales se encuentran:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Para captar y concentrar ondas electromagnéticas en su foco, las antenas parabólicas emplean la forma de una parábola. Esta tecnología es fundamental en las comunicaciones satelitales y en la radioastronomía, ya que permite recibir señales provenientes de grandes distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

Asimismo, esta forma se utiliza en objetos cotidianos como los faros de los vehículos y las linternas, donde se coloca una fuente luminosa en el foco del paraboloide. La luz generada se refleja en la superficie parabólica y se proyecta en un haz paralelo, lo que mejora tanto su alcance como su dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

En los sistemas solares, los paraboloides reúnen los rayos del sol en un punto, alcanzando temperaturas muy elevadas que pueden aprovecharse para producir energía térmica o eléctrica. Esta técnica se emplea en plantas solares de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Empleados tanto en la industria del entretenimiento como en la investigación, los micrófonos parabólicos dirigen las ondas sonoras hacia un micrófono situado en el foco del paraboloide, lo que permite amplificar los sonidos. Gracias a ello, es posible captar con claridad ruidos provenientes de una dirección determinada.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-12-04T10:43:58Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg|miniatura]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,6). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se considera una de las secciones cónicas, que se forma cuando un plano inclinado corta un cono de tal manera que su inclinación coincide con la generatriz del cono, obteniendo una curva cuya excentricidad es 1.

2. En dibujo técnico, se describe como el conjunto de puntos que están a la misma distancia de una recta, llamada directriz, y de un punto fijo situado frente a ella, llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se entiende como la curva que resulta de la envolvente de las líneas que unen puntos correspondientes en una proyectividad.

Esta curva aparece con frecuencia en distintas áreas científicas, ya que su forma coincide con la de las gráficas de funciones cuadráticas. Un ejemplo común es la trayectoria ideal de un objeto que se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad, la cual adopta una forma parabólica.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las características más notables de la parábola es su habilidad para repartir las cargas de forma equilibrada y dirigir la energía hacia un punto concreto, el foco. Esto es posible gracias a su simetría y a la manera en que los vectores de fuerza actúan sobre sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

A lo largo del tiempo, esta propiedad ha permitido desarrollar múltiples aplicaciones en el ámbito estructural y arquitectónico. Entre las más importantes se encuentran:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En estas estructuras, los cables principales adoptan una forma cercana a la de una parábola, aunque técnicamente responden al comportamiento de una catenaria. Gracias a esta geometría, las cargas se transmiten de manera eficiente desde el tablero hacia las torres. Un ejemplo emblemático es el Puente de la Torre en Londres.

[[Archivo:Puente Golden Gate.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente Golden Gate]]

1.2. Arcos parabólicos. Algunos puentes utilizan arcos con forma parabólica para sostener el tablero. Esta geometría mejora la estabilidad de la estructura y permite disminuir tanto el peso total como la cantidad de material requerido para su construcción. Un ejemplo destacado es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

2.1. Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

[[Archivo:Museo de Arte de Milwakee.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo de Arte de Milwaukee]]

3.2. Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

4.1. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

4.2. Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

5.2. Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

=== Otras apliacaciones en ingeniería ===

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-11-26T11:28:42Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad que hemos calculado anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas constituyen un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que garantiza las coordenadas polares del plano mediante el uso de parábolas como curvas coordenadas. Este sistema se representa mediante \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) esta dada por las siguientes expresiones:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se obtienen aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es especialmente útil cuando las coordenadas cartesianas dificultan la resolución de un problema, ya que permite simplificar los cálculos en situaciones donde predominan las geometrías parabólicas.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial cuantifica como cambia el volumen de un elemento de fluido al desplazarse bajo la influencia del campo. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, esta se calcula mediante la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Partiendo de la expresión anterior, se puede deducir la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas. Al incorporar los factores de la escala correspondiente, la expresión final se obtiene de la siguiente manera:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia queda así:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que indica la tendencia de un campo vectorial a generar rotación en un punto. En coordenadas cilíndricas parabólicas, el rotacional de un campo vectorial se expresa mediante la siguiente fórmula:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella que se puede describir a partir de una curva geométrica \(\gamma\), junto con segmentos de la longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Una superficie se considera reglada si admite una parametrización de la forma: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas ya que son cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) por ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=3
</math>
<math>
B=1
</math>

es decir

<math>
y=-3x^2+1;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x^2
</math>

<math>
x(t)'=2x
</math>

<math>
x(t)''=2
</math>

<math>
y(t)=-3x^2+1
</math>

<math>
y(t)'=-6x
</math>

<math>
y(t)''=-6
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{6}{1+(36x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ de una curva indica que, en torno al punto ‘‘γ(t)’’ , la curva que mejor aproxima a ‘‘γ’’ es un circulo de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Este círculo se conoce como círculo osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 3;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 6 ./ ((1 + 36*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'g-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Curvatura(ACLL).jpg]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,1). No existe mínimo de curvatura, ya que la curvatura tiende a 0 cuando el valor absoluto de x tiende a infinito.

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

La parábola puede describirse de diferentes formas según su el área de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el de la generatriz.

2. En dibujo técnico: se describe como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y de un punto interior definido foco.

3. En geometría proyectiva: se define como la curva envolvente de las rectas que conectan pares de puntos homólogos en una proyectividad semejantes.

La parábola es relevante en diversas ramas de las ciencias aplicadas, ya que su forma corresponde a las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo típico son las trayectorias ideales de los cuerpos bajo la acción exclusiva de la gravedad, que describen trayectorias parabólicas.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las propiedades más destacadas de la parábola es su capacidad para distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto específico, el foco, gracias a su simetría y a la forma en que los vectores de fuerza interactúan con sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

Esta característica ha dado lugar, a lo largo del tiempo, a numerosas aplicaciones tanto en el diseño estructural como en la arquitectura, siendo las siguientes las más relevantes:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales siguen una trayectoria aproximadamente parábolica, aunque en realidad se comportan como cilindros. Esta forma permite que las cargas se distribuyan de manera uniforme desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo representativo es el Puente Golden Gate.

[[Archivo:Puente Golden Gate.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente Golden Gate]]

1.2. Arcos parabólicos. En ciertos puentes, se utiliza el arco parabólico para soportar el tablero y así optmizar la estabilizad estructural a la vez que se reduce el peso y material requerido. Un ejemplo de ello es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

2.1. Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

[[Archivo:Museo de Arte de Milwakee.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo de Arte de Milwaukee]]

3.2. Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

4.1. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

4.2. Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

5.2. Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

=== Otras apliacaciones en ingeniería ===

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-11-26T10:18:19Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo analizaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil para estudiar campos físicos en situaciones donde aparecen geometrías parabólicas. Este sistema facilita la descripción de diversos problemas vinculados a distintos tipos de campos, como los potenciales. Examinaremos su funcionamiento y sus ventajas tanto en contextos físicos como en aplicaciones propias de nuestra área de la ingeniería. 
La relación que emplearemos a continuación es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad calculados anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiante del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial mide el cambio de volumen debido al desplazamiento que sufre. Para las coordenadas cilíndricas parabólicas, se utiliza:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Apoyándonos en la expresión anterior, deducimos la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas; sustituyendo además los factores de escala, nos queda la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas viene definida por la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas estan definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella superficie asociada a \(\gamma\) la cual esta definida mediante segmentos de longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Solo se considera reglada si existe una parametrización de ella tal que: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas al ser cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) al ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen una gran importancia en numerosos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería, existen varias razones que las hacen especialmente útiles: 
'''1. Flexibilidad de diseño''': mediante el desplazamiento controlado de las rectas generatrices, es posible obtener superficies con diferentes curvaturas y geometrías, lo que amplía considerablemente las posibilidades de diseño. 
'''2. Eficiencia constructiva''': su naturaleza geométrica facilita su fabricación, ya que permite emplear técnicas que reducen tanto el coste como el tiempo de producción. 
'''3. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, pueden soportar grandes cargas y resistir deformaciones. Esto las convierte en una excelente opción para la creación de estructuras sólidas, estables y duraderas. 
En cuanto a sus aplicaciones prácticas en ingeniería, estas superficies se emplean en la fabricación de componentes aerodinámicos (como las alas de los aviones), y en los productos que requieren formas ergonómicas y estéticamente atractivas. También desempeñan un papel fundamental en la construcción de techos, fachadas y otras estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=2
</math>
<math>
B=2
</math>

es decir

<math>
y=-2x+2;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x
</math>

<math>
x(t)'=1
</math>

<math>
x(t)''=0
</math>

<math>
y(t)=-2x^2+2
</math>

<math>
y(t)'=-4x
</math>

<math>
y(t)''=-4
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{4}{1+(4x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ indica que alrededor del punto ‘‘γ(t)’’ la curva que mejor aproxima a la curva ‘‘γ’’ es la circunferencia de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Esta circunferencia se denomina circunferencia osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 2;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 4 ./ ((1 + 16*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -2x^2 + 2');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Grafica curvatura1.jpg|centro|miniaturadeimagen]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0 y su minímo en x=1 y x=-1.
Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,2) y los de menor curvatura B(1,0) y C(-1,0)

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

Podemos describir la parábola de distintas formas, según su campo de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo de ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono igual al presentado por su generatriz.

2. En dibujo técnico, se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas ya que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo de ello las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, que son parábolas.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las propiedades características de la parábola es su capacidad de distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto, su foco, debido a su simetría y la forma en la que los vectores de fuerza interactuan con sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto provoca que durante los años se hayan desarrollado infinidad de aplicaciones tanto en diseño estructural como arquitectónico, siendo las siguientes las más relevantes:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales tienen un trayectoria cercana a la parábolica, aunque realmente es cilíndrica, lo que permite que las cargas se distribuyan uniformemente desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo significativo es el Puente Golden Gate.

[[Archivo:Puente Golden Gate.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente Golden Gate]]

1.2. Arcos parabólicos. En ciertos puentes, se utiliza el arco parabólico para soportar el tablero y así optmizar la estabilizad estructural a la vez que se reduce el peso y material requerido. Un ejemplo de ello es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

2.1. Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

[[Archivo:Museo de Arte de Milwakee.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo de Arte de Milwaukee]]

3.2. Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

4.1. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

4.2. Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

5.2. Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

=== Otras apliacaciones en ingeniería ===

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-11-26T09:49:48Z

Lu.alvarez:

{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Cristina Zamorano Reinoso Lucía Álvarez Cegarra Alba Jorge Urraca Guadalupe Moralo Alonso }}

''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo vamos a estudiar las coordenadas cilíndricas parabólicas que son un sistema de coordenadas que resulta útil para estudiar campos físicos en situaciones donde las formas parabólicas estas presentes. 
Este sistema permite describir de manera sencilla ciertos problemas relacionados con distintos campos (como por ejemplo los potenciales). Exploramos cómo funcionan estas coordenadas y su utilidad, tanto en contextos físicos, como en su aplicación a nuestra rama de la ingeniería. 
La relación que vamos a utilizar es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad calculados anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiante del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial mide el cambio de volumen debido al desplazamiento que sufre. Para las coordenadas cilíndricas parabólicas, se utiliza:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Apoyándonos en la expresión anterior, deducimos la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas; sustituyendo además los factores de escala, nos queda la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas viene definida por la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas estan definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella superficie asociada a \(\gamma\) la cual esta definida mediante segmentos de longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Solo se considera reglada si existe una parametrización de ella tal que: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas al ser cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) al ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen gran importancia en muchos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería estas son distintas razones que hacen a estas superficies tan útiles: 
'''1. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, son capaces de soportar grandes cargas y resistir deformaciones, lo que las hace perfectas para la construcción de estructuras muy sólidas y duraderas. 
'''2. Eficiencia constructiva''': son realmente fáciles de de construir y fabricar. Esto se debe a su naturaleza geométrica, ya que hace posible el uso de técnicas que reducen el coste y el tiempo de producción. 
'''3. Flexibilidad de diseño''': al desplazar las rectas generatrices de manera controlada, es posible crear superficies con curvaturas y formas distintas. 
Algunas de las aplicaciones prácticas en la ingeniería son, la fabricación de componentes aerodinámicos, como alas de aviones, o productos con formas ergonómicas y atractivas; también tienen gran importancia en la creación de techos, fachadas y estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=2
</math>
<math>
B=2
</math>

es decir

<math>
y=-2x+2;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x
</math>

<math>
x(t)'=1
</math>

<math>
x(t)''=0
</math>

<math>
y(t)=-2x^2+2
</math>

<math>
y(t)'=-4x
</math>

<math>
y(t)''=-4
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{4}{1+(4x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ indica que alrededor del punto ‘‘γ(t)’’ la curva que mejor aproxima a la curva ‘‘γ’’ es la circunferencia de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Esta circunferencia se denomina circunferencia osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 2;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 4 ./ ((1 + 16*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -2x^2 + 2');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Grafica curvatura1.jpg|centro|miniaturadeimagen]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0 y su minímo en x=1 y x=-1.
Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,2) y los de menor curvatura B(1,0) y C(-1,0)

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

Podemos describir la parábola de distintas formas, según su campo de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo de ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono igual al presentado por su generatriz.

2. En dibujo técnico, se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas ya que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo de ello las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, que son parábolas.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las propiedades características de la parábola es su capacidad de distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto, su foco, debido a su simetría y la forma en la que los vectores de fuerza interactuan con sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto provoca que durante los años se hayan desarrollado infinidad de aplicaciones tanto en diseño estructural como arquitectónico, siendo las siguientes las más relevantes:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales tienen un trayectoria cercana a la parábolica, aunque realmente es cilíndrica, lo que permite que las cargas se distribuyan uniformemente desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo significativo es el Puente Golden Gate.

[[Archivo:Puente Golden Gate.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente Golden Gate]]

1.2. Arcos parabólicos. En ciertos puentes, se utiliza el arco parabólico para soportar el tablero y así optmizar la estabilizad estructural a la vez que se reduce el peso y material requerido. Un ejemplo de ello es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

2.1. Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

[[Archivo:Museo de Arte de Milwakee.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo de Arte de Milwaukee]]

3.2. Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

4.1. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

4.2. Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

5.2. Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

=== Otras apliacaciones en ingeniería ===

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 51)

2025-11-26T09:47:52Z

Lu.alvarez: Página creada con «{{ TrabajoED |Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 51) | Teoría de Campos|2025-26 | Cristina Zamorano Rei...»

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''' <big>Coordenadas Cilíndricas Parabólicas</big> '''

'''<big>Introducción</big>'''

En este trabajo vamos a estudiar las coordenadas cilíndricas parabólicas que son un sistema de coordenadas que resulta útil para estudiar campos físicos en situaciones donde las formas parabólicas estas presentes. 
Este sistema permite describir de manera sencilla ciertos problemas relacionados con distintos campos (como por ejemplo los potenciales). Exploramos cómo funcionan estas coordenadas y su utilidad, tanto en contextos físicos, como en su aplicación a nuestra rama de la ingeniería. 
La relación que vamos a utilizar es la siguiente:

<center><math>\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center> 
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas ==
=== Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) ===

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
<math>
\gamma_u(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = wv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
<math>
\gamma_v(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
x_2 = uw \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
<math>
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
</math> 
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

===Gráficas y códigos MATLAB ===
[[Archivo:Grafica10.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones]]
====Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones====
{{matlab|codigo=
%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}
[[Archivo:Combinada.png|500px|thumb|center|Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones]]
====Código de la líneas coordenadas en 3 dimensiones====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title(' Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;
}}
[[Archivo:Graficaorigen.png|700px|thumb|center| Sucesión de líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones y centradas en el origen]]
====Código de las sucesión de las lineas coordenadas, partiendo del origen====
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Ajuste del origen común
u_const = 0;
v_const = 0;

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común)
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo
x2_f1 = u .* V;
x3_f1 = zeros(size(x1_f1)); % En el plano z = 0

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común)
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo
x2_f2 = U .* v;
x3_f2 = zeros(size(x1_f2)); % En el plano z = 0

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Líneas coordenadas de u y v');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;

}}

== CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) ==
===Campos de Velocidad Lineas Coordenadas ===
 
Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las coordenadas: 
 
1. ''Derivada respecto a \(u\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a \(v\)'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\
\frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\
\frac{\partial x_3}{\partial v} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a \(z\):''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

===Factores de Escala ===

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad: 
 

1. Para \(\gamma'_u\)→
<math>
h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2}
</math> 
 
2. Para \(\gamma'_v\)→
<math>
h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2}
</math> 
 
3. Para \(\gamma'_z\)→
<math>
h_z = |\gamma'_z| =1
</math>

===Vectores Tangentes ===

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad calculados anteriormente: 
 
1. <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math> 
 
2. <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math> 
 
3. <math>\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)</math> 

===Comprobación de Ortonormalidad y Orientación===

Para comprobar que estos vectores forman una '''base ortonormal''': 
 
1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = <math>\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0</math> 
 
2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= <math>\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 
3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=<math> \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0</math> 
 

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores '''unitarios'''. 
 

En cuanto a la '''orientación''', tenemos en cuenta que el producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) <math>
= \begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
\frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0
\end{bmatrix}
= \vec{k} = \vec{e}_z
</math>

La orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector. 
 
'''Conclusión''' 
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

===Representación Gráfica ===
[[Archivo:Grafica20.png|500px|thumb|right|Vectores tangentes a las líneas ]]
{{matlab|codigo=
clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;

%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;
}}

== Matrices de cambio de base ==

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas.
La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

<math>
Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
</math>

== Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico ==

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

<math>
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
</math>

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

''' Derivadas parciales '''

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

<math>
\frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
</math>

''' Matriz de cambio de base '''

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

<math>
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
</math>

'''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

<math>
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
</math>

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Conclusión '''

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.

== Gradiente de un campo escalar==
 
Se nos pide calcular el gradiante del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

===Cambio de coordenadas ===
 
<math>
x_2 = uv
</math>

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

===Cálculo del gradiente===
 
''' Expresión del gradiante '''

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es :
<math>\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z
</math>

''' Derivadas parciales '''

<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0
</math>

''' Cálculo de coordenadas '''\( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación.
<math>x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_2= uv ; x_3=z
</math>

Para el punto \( (0,1,1) \): <math> uv=1 </math> ; <math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 </math>. Por lo que <math> u^2=v^2, uv=1 → u=v=z=1
</math>

''' Sustitución en el gradiente ''' en el punto \( (u, v, z) \)=\( (1, 1, 1) \). 
 

Sabiendo que \( h_u, h_v, h_z \) corresponden a los factores de escala calculados en el punto 2.2 

Sustituyendo en el gradiante: <math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}}\vec{e_u} + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}
</math>

'''Conclusión:''' el Gradiente en el punto de interés es <math>\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v})
</math>

== Divergencia de un campo vectorial ==

La divergencia de un campo vectorial mide el cambio de volumen debido al desplazamiento que sufre. Para las coordenadas cilíndricas parabólicas, se utiliza:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] </math>

''' Divergencia del campo posición \(\vec{r}\) '''
Apoyándonos en la expresión anterior, deducimos la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas; sustituyendo además los factores de escala, nos queda la siguiente expresión:

<math>\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] </math>

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

'''Derivada parcial respecto u'''

<math>\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto v'''

<math>\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}</math>

'''Derivada parcial respecto z'''

<math>\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1</math>

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia:

<math>\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3</math>

'''Resultado final'''

<math>\nabla\cdot\vec r = 3</math>

== Rotacional de un campo vectorial ==

El rotacional es un operador vectorial que, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas viene definida por la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| </math>

teniendo en cuenta los factores de escala:

<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
</math>

y por tanto:

<math>h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2</math>

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| </math>

''' Rotacional del campo posición \(\vec{r}\) '''

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

<math>
r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_u \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0</math> ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

<math>
e_u = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_v \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z)
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0</math> ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0
</math>

<math>
e_v = 0
</math>

''' Cálculo de la componente \( e_z \)'''

<math>
e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u)
</math>

<math>
(h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu
</math>

<math>
(h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2}
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv
</math>

<math>
e_z = vu - uv = 0
</math>

''' Resultado final '''

<math>\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0</math>

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

== Superficies de nivel==
===¿Cómo son estas superficies?===
Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

* \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas estan definidas en términos de las cartesianas por:

<math>\begin{cases}

x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\
x_2 &= uv\\
x_3 &= z
\end{cases}</math>

*Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), <math>\bar{i}</math> 
*Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),<math>\bar{(-i)}</math> 
*Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

=== Código MATLAB y representación gráfica===
En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):
[[Archivo:Superficiesfinal.png|1000px|thumb|center|Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo=
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
====¿Son las superficies de nivel superficies regladas?====
Una superficie reglada es aquella superficie asociada a \(\gamma\) la cual esta definida mediante segmentos de longitud d y un vector director <math>\bar{w}</math>. Solo se considera reglada si existe una parametrización de ella tal que: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(v)+u\bar{w}(v) </math> con \(v\) perteneciente a \((a, b)\) y \(u\) a \((0,d)\)</center>
Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas al ser cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) al ser un plano horizontal generado por un vector. 
 
*La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante: 
<center><math>\phi(v,z)=\gamma(v)+z\bar{k}(v) </math>, siendo <math> \gamma(v):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{1 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>

*La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,z)=\gamma(u)+z\bar{k}(u) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - 1}{2}\right)\\
x_2 =v\\
x_3 = 0
\end{cases}
</math></center>
*La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante: 
<center><math>\phi(u,v)=\gamma(u)+v\bar{i}(v) </math>, siendo <math> \gamma(u):\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\
x_2 =uv\\
x_3 = 1
\end{cases}
</math></center>

====Uso de las superficies regladas en la ingeniería====
Estas superficies tienen gran importancia en muchos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería estas son distintas razones que hacen a estas superficies tan útiles: 
'''1. Estabilidad estructural''': gracias a su forma y a su método de construcción, son capaces de soportar grandes cargas y resistir deformaciones, lo que las hace perfectas para la construcción de estructuras muy sólidas y duraderas. 
'''2. Eficiencia constructiva''': son realmente fáciles de de construir y fabricar. Esto se debe a su naturaleza geométrica, ya que hace posible el uso de técnicas que reducen el coste y el tiempo de producción. 
'''3. Flexibilidad de diseño''': al desplazar las rectas generatrices de manera controlada, es posible crear superficies con curvaturas y formas distintas. 
Algunas de las aplicaciones prácticas en la ingeniería son, la fabricación de componentes aerodinámicos, como alas de aviones, o productos con formas ergonómicas y atractivas; también tienen gran importancia en la creación de techos, fachadas y estructuras curvas.

[[Archivo:Aplicacionessr.png|1100px|thumb|center|Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas ]]

== Curvatura de la parábola==

=== Curvatura ===

'''Cálculo'''

Dada la parábola

<math>
y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1]
</math>

<math>
A=2
</math>
<math>
B=2
</math>

es decir

<math>
y=-2x+2;
x ∈ [−1, 1]
</math>

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}
</math>

por lo que particularizando para nuestra parábola:

<math>
x(t)=x
</math>

<math>
x(t)'=1
</math>

<math>
x(t)''=0
</math>

<math>
y(t)=-2x^2+2
</math>

<math>
y(t)'=-4x
</math>

<math>
y(t)''=-4
</math>

La curvatura es:

<math>
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}}
</math>

<math>
\kappa(x)=\frac{4}{1+(4x^2)^{3/2}}
</math>

'''Interpretación de la curvatura'''

La curvatura ‘‘κ(t)’’ indica que alrededor del punto ‘‘γ(t)’’ la curva que mejor aproxima a la curva ‘‘γ’’ es la circunferencia de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Esta circunferencia se denomina circunferencia osculatriz.

=== Código MATLAB y representación gráfica ===

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

{{matlab|codigo=
% Parámetros
A = 2;
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 4 ./ ((1 + 16*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -2x^2 + 2');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;
}}

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

[[Archivo:Grafica curvatura1.jpg|centro|miniaturadeimagen]]

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0 y su minímo en x=1 y x=-1.
Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,2) y los de menor curvatura B(1,0) y C(-1,0)

== Uso de la parábola en ingeniería==
=== ¿Qué es la parabola? ===

Podemos describir la parábola de distintas formas, según su campo de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo de ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono igual al presentado por su generatriz.

2. En dibujo técnico, se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas ya que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo de ello las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, que son parábolas.

=== Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura ===

Una de las propiedades características de la parábola es su capacidad de distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto, su foco, debido a su simetría y la forma en la que los vectores de fuerza interactuan con sus puntos de apoyo.

[[Archivo:Distribucion cargas parabola.jpeg|miniaturadeimagen|centro]]

Esto provoca que durante los años se hayan desarrollado infinidad de aplicaciones tanto en diseño estructural como arquitectónico, siendo las siguientes las más relevantes:

'''1. Puentes colgantes y arcos'''

1.1. Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales tienen un trayectoria cercana a la parábolica, aunque realmente es cilíndrica, lo que permite que las cargas se distribuyan uniformemente desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo significativo es el Puente Golden Gate.

[[Archivo:Puente Golden Gate.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Puente Golden Gate]]

1.2. Arcos parabólicos. En ciertos puentes, se utiliza el arco parabólico para soportar el tablero y así optmizar la estabilizad estructural a la vez que se reduce el peso y material requerido. Un ejemplo de ello es el Puente de la Barqueta.

[[Archivo:Puente de la Barqueta.jpg|miniaturadeimagen|centro|Puente de la Barqueta]]

'''2. Techos y cúpulas'''

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

2.1. Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

[[Archivo:Estadio de Munich.jpg|miniaturadeimagen|centro|Estadio Olímpico de Munich]]

2.2. Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

'''3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales'''

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

[[Archivo:Museo de Arte de Milwakee.jpg|miniaturadeimagen|centro|Museo de Arte de Milwaukee]]

3.2. Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

'''4. Acueductos y canalizaciones'''

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

4.1. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

4.2. Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

'''5. Estructuras antisísmicas'''

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

5.2. Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

=== Otras apliacaciones en ingeniería ===

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

[[Archivo:Propiedad focal parabola.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

'''1. Antenas parabólicas y radiotelescopios'''

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

[[Archivo:Antena parabolica1.jpg|miniaturadeimagen|centro|Antena parabólica]]

'''2. Faros y linternas'''

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

'''3. Concentradores de energía solar'''

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

[[Archivo:Concentrador energia solar.jpeg|miniaturadeimagen|centro|Concentrador de energía solar]]

'''4. Micrófonos parabólicos'''

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.

=Bibliografía=
https://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/Leccion_Regladas.pdf información sobre las superficies regladas 
https://prezi.com/p/rueykj5pmi5_/superficie-reglada/ información sobre las aplicaciones en la ingeniería 
https://www.lifeder.com/aplicaciones-parabola-vida/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_universitaria_y_trigonometria_(Beveridge)/05%3A_Secciones_C%C3%B3nicas_-_C%C3%ADrculo_y_Par%C3%A1bola/5.03%3A_Aplicaciones_de_la_Par%C3%A1bola información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_elemental_(Corral)/07%3A_Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADtica_y_Curvas_Planas/7.02%3A_Par%C3%A1bolas información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://matematix.org/parabola-como-lugar-geometrico/ información sobre el uso de la parábola en ingeniería 
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) información sobre el uso de la parábola en ingeniería 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]